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概念建构
一般地，当n是正整数时，$a^{-n}=\_\_\_\_\_\_(a≠0)$。
一般地，当n是正整数时，$a^{-n}=\_\_\_\_\_\_(a≠0)$。
答案
$\dfrac{1}{a^n}$
解析
【分析】
解题时可从已掌握的同底数幂除法运算入手推导：①根据同底数幂的除法法则，a≠0时，$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，当被除数的指数m小于除数的指数n时，指数差为负整数；②从分式约分的角度计算，$a^m ÷ a^n = \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}$；③令两种计算方式的结果相等，即可推导出负整数指数幂的对应表达式，同时要注意a≠0的限制条件（保证分母不为0）。
【解析】
我们通过同底数幂的两种计算方式推导：
1. 依据同底数幂的除法法则：当$a≠0$，m、n均为正整数且$m＜n$时，
$a^m ÷ a^n = a^{m-n} = a^{-(n-m)}$
2. 依据分式约分计算：
$a^m ÷ a^n = \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}$
设$k = n-m$，则k为正整数，联立两个结果可得：
$a^{-k} = \frac{1}{a^k} \quad (a≠0)$
将k替换为n，即得$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a≠0)$。
【答案】
$\dfrac{1}{a^n}$
【知识点】
负整数指数幂的定义，同底数幂的除法，分式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，需要理解负整数指数幂的推导过程，熟记公式的同时注意公式成立的前提$a≠0$，是后续进行负指数相关运算的核心基础。
【难度系数】
0.9
解题时可从已掌握的同底数幂除法运算入手推导：①根据同底数幂的除法法则，a≠0时，$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，当被除数的指数m小于除数的指数n时，指数差为负整数；②从分式约分的角度计算，$a^m ÷ a^n = \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}$；③令两种计算方式的结果相等，即可推导出负整数指数幂的对应表达式，同时要注意a≠0的限制条件（保证分母不为0）。
【解析】
我们通过同底数幂的两种计算方式推导：
1. 依据同底数幂的除法法则：当$a≠0$，m、n均为正整数且$m＜n$时，
$a^m ÷ a^n = a^{m-n} = a^{-(n-m)}$
2. 依据分式约分计算：
$a^m ÷ a^n = \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}$
设$k = n-m$，则k为正整数，联立两个结果可得：
$a^{-k} = \frac{1}{a^k} \quad (a≠0)$
将k替换为n，即得$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a≠0)$。
【答案】
$\dfrac{1}{a^n}$
【知识点】
负整数指数幂的定义，同底数幂的除法，分式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，需要理解负整数指数幂的推导过程，熟记公式的同时注意公式成立的前提$a≠0$，是后续进行负指数相关运算的核心基础。
【难度系数】
0.9
1. [2026合肥期中]计算$3^{-1}$，结果正确的是（
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$3$
D.$-3$
B
）A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$3$
D.$-3$
答案
B
解析
【分析】
本题考查负整数指数幂的计算，解题思路如下：第一步，先回忆负整数指数幂的运算法则：任何非零数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，p是正整数）；第二步，确认本题中底数3不为0，满足法则的适用条件；第三步，代入公式计算出结果，对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
将$a=3$，$p=1$代入公式可得：
$3^{-1}=\dfrac{1}{3^1}=\dfrac{1}{3}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对负整数指数幂运算法则的掌握，计算量小，只要牢记法则即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查负整数指数幂的计算，解题思路如下：第一步，先回忆负整数指数幂的运算法则：任何非零数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，p是正整数）；第二步，确认本题中底数3不为0，满足法则的适用条件；第三步，代入公式计算出结果，对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
将$a=3$，$p=1$代入公式可得：
$3^{-1}=\dfrac{1}{3^1}=\dfrac{1}{3}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对负整数指数幂运算法则的掌握，计算量小，只要牢记法则即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
2.若$(2x-6)^{-2}$有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x≠0$
B.$x＜3$
C.$x＞3$
D.$x≠3$
D
）A.$x≠0$
B.$x＜3$
C.$x＞3$
D.$x≠3$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆负整数指数幂的相关规定：负整数指数幂本质是正整数指数幂的倒数，因此只有底数不为0时，负整数指数幂才有意义，否则会出现分母为0的无意义情况。解题时先找到式子的底数，令底数不等于0，解对应的一元一次不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：对于$a^{-p}$（$p$为正整数），当且仅当$a≠0$时，该式有意义。
本题中$(2x-6)^{-2}$的底数为$2x-6$，因此需满足：
$2x-6≠0$
解该不等式：
移项得$2x≠6$，两边同时除以2得$x≠3$
因此x的取值范围是$x≠3$，选D。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂的意义；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查负整数指数幂的成立限制，解题关键是牢记负指数幂的底数不能为0，属于得分率较高的常规题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆负整数指数幂的相关规定：负整数指数幂本质是正整数指数幂的倒数，因此只有底数不为0时，负整数指数幂才有意义，否则会出现分母为0的无意义情况。解题时先找到式子的底数，令底数不等于0，解对应的一元一次不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：对于$a^{-p}$（$p$为正整数），当且仅当$a≠0$时，该式有意义。
本题中$(2x-6)^{-2}$的底数为$2x-6$，因此需满足：
$2x-6≠0$
解该不等式：
移项得$2x≠6$，两边同时除以2得$x≠3$
因此x的取值范围是$x≠3$，选D。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂的意义；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查负整数指数幂的成立限制，解题关键是牢记负指数幂的底数不能为0，属于得分率较高的常规题。
【难度系数】
0.9
3.计算:
(1)$4^4 ÷ 4^6 =$
(2)$(-\dfrac{1}{2})^0 ÷ (-\dfrac{1}{2})^5 =$
(3)$2027^0 + (\dfrac{1}{2})^{-2} - (-1)^{2027} =$
(4)$(π + 1)^0 - (\dfrac{1}{3})^{-3} =$
(1)$4^4 ÷ 4^6 =$
$\dfrac{1}{16}$
;(2)$(-\dfrac{1}{2})^0 ÷ (-\dfrac{1}{2})^5 =$
$-32$
;(3)$2027^0 + (\dfrac{1}{2})^{-2} - (-1)^{2027} =$
$6$
;(4)$(π + 1)^0 - (\dfrac{1}{3})^{-3} =$
$-26$
.答案
(1)$\dfrac{1}{16}$；(2)$-32$；(3)$6$；(4)$-26$
解析
【分析】
这几道题均考查幂的相关运算，解题时先回忆相关运算法则：①同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}(a≠0,m、n为整数)$；②零指数幂：$a^0=1(a≠0)$；③负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$；④负数的奇次幂为负数，偶次幂为正数。按照对应法则逐步计算每道小题即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则：
$4^4÷4^6=4^{4-6}=4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$
(2) 先算零指数幂，再结合同底数幂除法法则计算：
$(-\frac{1}{2})^0÷(-\frac{1}{2})^5=(-\frac{1}{2})^{0-5}=(-\frac{1}{2})^{-5}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^5}=\frac{1}{-\frac{1}{32}}=-32$
(3) 分别计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再合并结果：
$2027^0=1$，$(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，$(-1)^{2027}=-1$
原式$=1+4-(-1)=1+4+1=6$
(4) 分别计算零指数幂、负整数指数幂，再合并结果：
$(π+1)^0=1$，$(\frac{1}{3})^{-3}=3^3=27$
原式$=1-27=-26$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{16}$；(2)$-32$；(3)$6$；(4)$-26$
【知识点】
同底数幂的除法、零指数幂运算、负整数指数幂运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查各类幂运算法则的理解与应用，计算时要注意符号判断，避免负指数幂转换、负数乘方的符号判断出现失误。
【难度系数】
0.7
这几道题均考查幂的相关运算，解题时先回忆相关运算法则：①同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}(a≠0,m、n为整数)$；②零指数幂：$a^0=1(a≠0)$；③负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$；④负数的奇次幂为负数，偶次幂为正数。按照对应法则逐步计算每道小题即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则：
$4^4÷4^6=4^{4-6}=4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$
(2) 先算零指数幂，再结合同底数幂除法法则计算：
$(-\frac{1}{2})^0÷(-\frac{1}{2})^5=(-\frac{1}{2})^{0-5}=(-\frac{1}{2})^{-5}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^5}=\frac{1}{-\frac{1}{32}}=-32$
(3) 分别计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再合并结果：
$2027^0=1$，$(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，$(-1)^{2027}=-1$
原式$=1+4-(-1)=1+4+1=6$
(4) 分别计算零指数幂、负整数指数幂，再合并结果：
$(π+1)^0=1$，$(\frac{1}{3})^{-3}=3^3=27$
原式$=1-27=-26$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{16}$；(2)$-32$；(3)$6$；(4)$-26$
【知识点】
同底数幂的除法、零指数幂运算、负整数指数幂运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查各类幂运算法则的理解与应用，计算时要注意符号判断，避免负指数幂转换、负数乘方的符号判断出现失误。
【难度系数】
0.7
4.计算:
(1)$(n^2)^{-4} ÷ n^{10}$;
(2)$(-\dfrac{n}{m})^{-3}$;
(3)$(3x^2y^{-1})^{-3}$;
(4)$2x^{-2}y · (xy^{-2})^{-4}$.
(1)$(n^2)^{-4} ÷ n^{10}$;
(2)$(-\dfrac{n}{m})^{-3}$;
(3)$(3x^2y^{-1})^{-3}$;
(4)$2x^{-2}y · (xy^{-2})^{-4}$.
答案
(1)$\dfrac{1}{n^{18}}$；(2)$-\dfrac{m^3}{n^3}$；(3)$\dfrac{y^3}{27x^6}$；(4)$\dfrac{2y^9}{x^6}$
解析
【分析】
解题前先明确幂的相关运算法则：①幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；②积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$；③同底数幂相乘：$a^m·a^n=a^{m+n}$；④同底数幂相除：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$；⑤负整数指数幂：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。解题时遵循先算乘方、再算乘除的顺序，先处理乘方类运算，再计算乘除，最后将负整数指数转化为正整数指数，整理得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法，最后转化为正指数：
$\begin{aligned}(n^2)^{-4} ÷ n^{10}&=n^{2×(-4)} ÷ n^{10}\\&=n^{-8} ÷ n^{10}\\&=n^{-8-10}\\&=n^{-18}\\&=\dfrac{1}{n^{18}}\end{aligned}$
(2) 先利用积的乘方拆分，再转化负指数：
$\begin{aligned}(-\dfrac{n}{m})^{-3}&=(-1)^{-3} · \dfrac{n^{-3}}{m^{-3}}\\&=-1 · \dfrac{\dfrac{1}{n^3}}{\dfrac{1}{m^3}}\\&=-\dfrac{m^3}{n^3}\end{aligned}$
(3) 先利用积的乘方拆分每个因式，分别计算乘方后转化负指数：
$\begin{aligned}(3x^2y^{-1})^{-3}&=3^{-3} · (x^2)^{-3} · (y^{-1})^{-3}\\&=\dfrac{1}{3^3} · x^{-6} · y^{3}\\&=\dfrac{y^3}{27x^6}\end{aligned}$
(4) 先计算乘方，再计算同底数幂的乘法，最后转化负指数：
$\begin{aligned}2x^{-2}y · (xy^{-2})^{-4}&=2x^{-2}y · x^{-4}y^{8}\\&=2 · x^{-2+(-4)} · y^{1+8}\\&=2x^{-6}y^9\\&=\dfrac{2y^9}{x^6}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{n^{18}}$；(2)$-\dfrac{m^3}{n^3}$；(3)$\dfrac{y^3}{27x^6}$；(4)$\dfrac{2y^9}{x^6}$
【知识点】
负整数指数幂运算，幂的乘方运算，同底数幂乘除运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考察负整数指数幂的转化和各类幂运算法则的应用，解题时要注意运算顺序，优先处理乘方运算，计算指数时注意符号，最终结果要化为正整数指数幂的形式。
【难度系数】
0.8
解题前先明确幂的相关运算法则：①幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；②积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$；③同底数幂相乘：$a^m·a^n=a^{m+n}$；④同底数幂相除：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$；⑤负整数指数幂：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。解题时遵循先算乘方、再算乘除的顺序，先处理乘方类运算，再计算乘除，最后将负整数指数转化为正整数指数，整理得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法，最后转化为正指数：
$\begin{aligned}(n^2)^{-4} ÷ n^{10}&=n^{2×(-4)} ÷ n^{10}\\&=n^{-8} ÷ n^{10}\\&=n^{-8-10}\\&=n^{-18}\\&=\dfrac{1}{n^{18}}\end{aligned}$
(2) 先利用积的乘方拆分，再转化负指数：
$\begin{aligned}(-\dfrac{n}{m})^{-3}&=(-1)^{-3} · \dfrac{n^{-3}}{m^{-3}}\\&=-1 · \dfrac{\dfrac{1}{n^3}}{\dfrac{1}{m^3}}\\&=-\dfrac{m^3}{n^3}\end{aligned}$
(3) 先利用积的乘方拆分每个因式，分别计算乘方后转化负指数：
$\begin{aligned}(3x^2y^{-1})^{-3}&=3^{-3} · (x^2)^{-3} · (y^{-1})^{-3}\\&=\dfrac{1}{3^3} · x^{-6} · y^{3}\\&=\dfrac{y^3}{27x^6}\end{aligned}$
(4) 先计算乘方，再计算同底数幂的乘法，最后转化负指数：
$\begin{aligned}2x^{-2}y · (xy^{-2})^{-4}&=2x^{-2}y · x^{-4}y^{8}\\&=2 · x^{-2+(-4)} · y^{1+8}\\&=2x^{-6}y^9\\&=\dfrac{2y^9}{x^6}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{n^{18}}$；(2)$-\dfrac{m^3}{n^3}$；(3)$\dfrac{y^3}{27x^6}$；(4)$\dfrac{2y^9}{x^6}$
【知识点】
负整数指数幂运算，幂的乘方运算，同底数幂乘除运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考察负整数指数幂的转化和各类幂运算法则的应用，解题时要注意运算顺序，优先处理乘方运算，计算指数时注意符号，最终结果要化为正整数指数幂的形式。
【难度系数】
0.8
5. [2026 滁州期末] 下列计算正确的是 （
A.$(\dfrac{1}{2})^{-2} × 4^{-1}=1$
B.$(-2)^0=0$
C.$(x-1)^0=1$
D.$3^0 ÷ 3^{-1}=-3$
A
）A.$(\dfrac{1}{2})^{-2} × 4^{-1}=1$
B.$(-2)^0=0$
C.$(x-1)^0=1$
D.$3^0 ÷ 3^{-1}=-3$
答案
A
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时首先回忆零指数幂、负整数指数幂的核心运算法则：①负整数指数幂：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；②零指数幂：$a^0=1$（$a≠0$），接下来对四个选项逐一计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：根据负整数指数幂法则，$(\dfrac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，$4^{-1}=\dfrac{1}{4}$，因此$(\dfrac{1}{2})^{-2} × 4^{-1}=4×\dfrac{1}{4}=1$，计算正确。
选项B：根据零指数幂法则，非零数的0次幂为1，$-2≠0$，因此$(-2)^0=1≠0$，计算错误。
选项C：零指数幂成立的前提是底数不为0，本题未说明$x-1≠0$，当$x=1$时$(x-1)^0$无意义，因此该式不一定成立，计算错误。
选项D：$3^0=1$，$3^{-1}=\dfrac{1}{3}$，因此$3^0 ÷ 3^{-1}=1÷\dfrac{1}{3}=3≠-3$，计算错误。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查零指数幂的成立条件和负整数指数幂的运算规则，其中忽略零指数幂要求底数不为0的限制是常见的失分点。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题时首先回忆零指数幂、负整数指数幂的核心运算法则：①负整数指数幂：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；②零指数幂：$a^0=1$（$a≠0$），接下来对四个选项逐一计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：根据负整数指数幂法则，$(\dfrac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，$4^{-1}=\dfrac{1}{4}$，因此$(\dfrac{1}{2})^{-2} × 4^{-1}=4×\dfrac{1}{4}=1$，计算正确。
选项B：根据零指数幂法则，非零数的0次幂为1，$-2≠0$，因此$(-2)^0=1≠0$，计算错误。
选项C：零指数幂成立的前提是底数不为0，本题未说明$x-1≠0$，当$x=1$时$(x-1)^0$无意义，因此该式不一定成立，计算错误。
选项D：$3^0=1$，$3^{-1}=\dfrac{1}{3}$，因此$3^0 ÷ 3^{-1}=1÷\dfrac{1}{3}=3≠-3$，计算错误。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查零指数幂的成立条件和负整数指数幂的运算规则，其中忽略零指数幂要求底数不为0的限制是常见的失分点。
【难度系数】
0.8
6.若$a=-0.2^2$，$b=-2^{-2}$，$c=(-\dfrac{1}{2})^{-2}$，$d=(-\dfrac{1}{5})^0$，则（
A.$a＜b＜c＜d$
B.$a＜b＜d＜c$
C.$c＜a＜d＜b$
D.$b＜a＜d＜c$
D
）A.$a＜b＜c＜d$
B.$a＜b＜d＜c$
C.$c＜a＜d＜b$
D.$b＜a＜d＜c$
答案
D
解析
【分析】
解题思路是先分别根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算出a、b、c、d四个数的具体值，再按照有理数大小比较的规则对四个数排序，最后匹配正确选项即可。计算时要注意区分负号在乘方内还是乘方外，避免运算出错。
【解析】
分别计算四个数的值：
1. 计算$a$：$a=-0.2^2 = -(0.2×0.2) = -0.04$
2. 计算$b$：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$b=-2^{-2} = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4} = -0.25$
3. 计算$c$：$c=(-\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$
4. 计算$d$：根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，得$d=(-\frac{1}{5})^0 = 1$
将四个数从小到大排序：$-0.25 ＜ -0.04 ＜ 1 ＜ 4$，即$b ＜ a ＜ d ＜ c$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算；零指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题重点考查幂的相关运算法则的应用，解题的核心是准确掌握零指数幂、负整数指数幂的运算规则，运算时需注意底数的符号及负号的位置，避免因运算顺序混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
解题思路是先分别根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算出a、b、c、d四个数的具体值，再按照有理数大小比较的规则对四个数排序，最后匹配正确选项即可。计算时要注意区分负号在乘方内还是乘方外，避免运算出错。
【解析】
分别计算四个数的值：
1. 计算$a$：$a=-0.2^2 = -(0.2×0.2) = -0.04$
2. 计算$b$：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$b=-2^{-2} = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4} = -0.25$
3. 计算$c$：$c=(-\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$
4. 计算$d$：根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，得$d=(-\frac{1}{5})^0 = 1$
将四个数从小到大排序：$-0.25 ＜ -0.04 ＜ 1 ＜ 4$，即$b ＜ a ＜ d ＜ c$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算；零指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题重点考查幂的相关运算法则的应用，解题的核心是准确掌握零指数幂、负整数指数幂的运算规则，运算时需注意底数的符号及负号的位置，避免因运算顺序混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
7. 运算能力 若$a^b=3$，则$a^{-2b}$的值是（
A.$-\dfrac{1}{9}$
B.$-\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{9}$
D.$\dfrac{1}{3}$
C
）A.$-\dfrac{1}{9}$
B.$-\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{9}$
D.$\dfrac{1}{3}$
答案
C
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求式的关系：已知$a^b=3$，待求式是$a^{-2b}$，首先利用负整数指数幂的性质将负指数转化为正指数，再逆用幂的乘方的运算性质，把指数为$2b$的幂转化为$(a^b)$的幂的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
根据负整数指数幂的运算性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$a^{-2b}=\frac{1}{a^{2b}}$
再逆用幂的乘方运算性质$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$a^{2b}=(a^b)^2$
已知$a^b=3$，代入得：
$a^{-2b}=\frac{1}{(a^b)^2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂的运算；幂的乘方的逆运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是灵活运用幂的运算性质对待求式进行变形，将未知向已知条件转化，解题时要注意负整数指数幂仅改变指数的符号，不改变幂本身的符号，避免误选带负号的选项。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和待求式的关系：已知$a^b=3$，待求式是$a^{-2b}$，首先利用负整数指数幂的性质将负指数转化为正指数，再逆用幂的乘方的运算性质，把指数为$2b$的幂转化为$(a^b)$的幂的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
根据负整数指数幂的运算性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$a^{-2b}=\frac{1}{a^{2b}}$
再逆用幂的乘方运算性质$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$a^{2b}=(a^b)^2$
已知$a^b=3$，代入得：
$a^{-2b}=\frac{1}{(a^b)^2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂的运算；幂的乘方的逆运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是灵活运用幂的运算性质对待求式进行变形，将未知向已知条件转化，解题时要注意负整数指数幂仅改变指数的符号，不改变幂本身的符号，避免误选带负号的选项。
【难度系数】
0.8
8. 中考趋势·阅读理解 阅读材料：
求 $1+2^{-1}+2^{-2}+\dots+2^{-2026}$ 的值.
解:设 $S=1+2^{-1}+2^{-2}+\dots+2^{-2026}$, ①
则 $2S=2+1+2^{-1}+\dots+2^{-2025}$. ②
②$-$①,得 $S=2-2^{-2026}$,
即原式$=2-2^{-2026}$.
请你仿照此方法计算:
(1)$1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-2026}$;
(2)$1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-m}$($m$ 为大于1的正整数).
求 $1+2^{-1}+2^{-2}+\dots+2^{-2026}$ 的值.
解:设 $S=1+2^{-1}+2^{-2}+\dots+2^{-2026}$, ①
则 $2S=2+1+2^{-1}+\dots+2^{-2025}$. ②
②$-$①,得 $S=2-2^{-2026}$,
即原式$=2-2^{-2026}$.
请你仿照此方法计算:
(1)$1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-2026}$;
(2)$1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-m}$($m$ 为大于1的正整数).
答案
(1)原式$=\dfrac{3-3^{-2026}}{2}$；(2)原式$=\dfrac{3-3^{-m}}{2}$
解析
【分析】
本题是方法迁移类题目，解题思路可仿照给出的示例使用错位相减法：首先观察所求式子的规律，每一项都是前一项的$3^{-1}$倍，与示例结构一致。解题步骤为：①设所求式子的和为S；②给S的两边同时乘3，得到和原式有大量重复项的新等式；③将两个等式相减，消去中间的重复项；④整理计算即可得到S的值，两小问解题思路完全一致，第二问仅将具体指数替换为字母m，方法不变。
【解析】
(1) 设$S=1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-2026}$，①
将①式两边同时乘3，得：
$3S=3+1+3^{-1}+\dots+3^{-2025}$，②
用②式减去①式，得：
$3S-S=(3+1+3^{-1}+\dots+3^{-2025})-(1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-2026})$
化简得$2S=3-3^{-2026}$，
两边同时除以2，得$S=\dfrac{3-3^{-2026}}{2}$。
(2) 设$S=1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-m}$（$m$为大于1的正整数），①
将①式两边同时乘3，得：
$3S=3+1+3^{-1}+\dots+3^{-(m-1)}$，②
用②式减去①式，得：
$3S-S=(3+1+3^{-1}+\dots+3^{-(m-1)})-(1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-m})$
化简得$2S=3-3^{-m}$，
两边同时除以2，得$S=\dfrac{3-3^{-m}}{2}$。
【答案】
(1)$\dfrac{3-3^{-2026}}{2}$；(2)$\dfrac{3-3^{-m}}{2}$
【知识点】
负整数指数幂运算；错位相减法求和；整式加减运算
【点评】
本题属于阅读理解类题型，核心考查对新方法的迁移应用能力，需要先读懂题干给出的错位相减求和的逻辑，再类比应用到同结构的式子计算中，计算时需注意两个式子相减后剩余的首尾项不要漏写或错写。
【难度系数】
0.7
本题是方法迁移类题目，解题思路可仿照给出的示例使用错位相减法：首先观察所求式子的规律，每一项都是前一项的$3^{-1}$倍，与示例结构一致。解题步骤为：①设所求式子的和为S；②给S的两边同时乘3，得到和原式有大量重复项的新等式；③将两个等式相减，消去中间的重复项；④整理计算即可得到S的值，两小问解题思路完全一致，第二问仅将具体指数替换为字母m，方法不变。
【解析】
(1) 设$S=1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-2026}$，①
将①式两边同时乘3，得：
$3S=3+1+3^{-1}+\dots+3^{-2025}$，②
用②式减去①式，得：
$3S-S=(3+1+3^{-1}+\dots+3^{-2025})-(1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-2026})$
化简得$2S=3-3^{-2026}$，
两边同时除以2，得$S=\dfrac{3-3^{-2026}}{2}$。
(2) 设$S=1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-m}$（$m$为大于1的正整数），①
将①式两边同时乘3，得：
$3S=3+1+3^{-1}+\dots+3^{-(m-1)}$，②
用②式减去①式，得：
$3S-S=(3+1+3^{-1}+\dots+3^{-(m-1)})-(1+3^{-1}+3^{-2}+\dots+3^{-m})$
化简得$2S=3-3^{-m}$，
两边同时除以2，得$S=\dfrac{3-3^{-m}}{2}$。
【答案】
(1)$\dfrac{3-3^{-2026}}{2}$；(2)$\dfrac{3-3^{-m}}{2}$
【知识点】
负整数指数幂运算；错位相减法求和；整式加减运算
【点评】
本题属于阅读理解类题型，核心考查对新方法的迁移应用能力，需要先读懂题干给出的错位相减求和的逻辑，再类比应用到同结构的式子计算中，计算时需注意两个式子相减后剩余的首尾项不要漏写或错写。
【难度系数】
0.7
