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6. (2025·天津)计算$\frac{2}{a^{2}-1}+\frac{1}{a + 1}$的结果是(
A.$\frac{1}{a - 1}$
B.$\frac{1}{a + 1}$
C.$\frac{1}{1 - a}$
D.1
A
)A.$\frac{1}{a - 1}$
B.$\frac{1}{a + 1}$
C.$\frac{1}{1 - a}$
D.1
答案
6. A
解析
$\begin{aligned}\frac{2}{a^{2}-1}+\frac{1}{a + 1}&=\frac{2}{(a+1)(a-1)}+\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{2 + a - 1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a + 1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{1}{a - 1}\end{aligned}$
A
A
7.(2024.雅安)已知$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1(a+b≠0),则$\frac{a+ab}{a+b}$的值为 ( )
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.2
D.3
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.2
D.3
答案
7. C
解析
由$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，通分得$\frac{2b + a}{ab}=1$，即$a + 2b = ab$，移项得$ab - a = 2b$，$a(b - 1)=2b$，$a=\frac{2b}{b - 1}$。
将$a=\frac{2b}{b - 1}$代入$\frac{a + ab}{a + b}$：
分子：$a + ab = a(1 + b)=\frac{2b}{b - 1}(b + 1)=\frac{2b(b + 1)}{b - 1}$
分母：$a + b=\frac{2b}{b - 1}+b=\frac{2b + b(b - 1)}{b - 1}=\frac{2b + b^2 - b}{b - 1}=\frac{b^2 + b}{b - 1}=\frac{b(b + 1)}{b - 1}$
则$\frac{a + ab}{a + b}=\frac{\frac{2b(b + 1)}{b - 1}}{\frac{b(b + 1)}{b - 1}}=2$
答案：C
将$a=\frac{2b}{b - 1}$代入$\frac{a + ab}{a + b}$：
分子：$a + ab = a(1 + b)=\frac{2b}{b - 1}(b + 1)=\frac{2b(b + 1)}{b - 1}$
分母：$a + b=\frac{2b}{b - 1}+b=\frac{2b + b(b - 1)}{b - 1}=\frac{2b + b^2 - b}{b - 1}=\frac{b^2 + b}{b - 1}=\frac{b(b + 1)}{b - 1}$
则$\frac{a + ab}{a + b}=\frac{\frac{2b(b + 1)}{b - 1}}{\frac{b(b + 1)}{b - 1}}=2$
答案：C
8. (整体思想)(2025·泗阳期中)已知$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=2$，且$x + y = 2$，则$\frac{x - y + 3xy}{2xy - 3x + 3y}=$
$ \frac{2}{5} $
.答案
8. $ \frac{2}{5} $ 解析：$ \because \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = 2 $，$ \therefore \frac{y^2 - x^2}{xy} = 2 $。$ \therefore (y + x)(y - x) = 2xy $。$ \because x + y = 2 $，$ \therefore y - x = xy $。$ \therefore $ 原式 $ = \frac{-(y - x) + 3xy}{2xy + 3(y - x)} = \frac{-xy + 3xy}{2xy + 3xy} = \frac{2xy}{5xy} = \frac{2}{5} $。
9. 计算：
(1) (2025·宿迁期中)$\frac{x^{2}}{x + 1}-x + 1$；
(2) $\frac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}-4}+\frac{x - 2}{x^{2}+2x}+2$.
(1) (2025·宿迁期中)$\frac{x^{2}}{x + 1}-x + 1$；
(2) $\frac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}-4}+\frac{x - 2}{x^{2}+2x}+2$.
答案
9. (1) $ \frac{1}{x + 1} $ (2) $ \frac{3x^2 + 3x - 2}{x^2 + 2x} $
解析
(1) $\frac{x^{2}}{x + 1}-x + 1$
$=\frac{x^{2}}{x + 1}-\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$
$=\frac{x^{2}-(x^{2}-1)}{x + 1}$
$=\frac{x^{2}-x^{2}+1}{x + 1}$
$=\frac{1}{x + 1}$
(2) $\frac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}-4}+\frac{x - 2}{x^{2}+2x}+2$
$=\frac{(x - 2)^{2}}{(x + 2)(x - 2)}+\frac{x - 2}{x(x + 2)}+2$
$=\frac{x - 2}{x + 2}+\frac{x - 2}{x(x + 2)}+2$
$=\frac{x(x - 2)}{x(x + 2)}+\frac{x - 2}{x(x + 2)}+\frac{2x(x + 2)}{x(x + 2)}$
$=\frac{x^{2}-2x + x - 2 + 2x^{2}+4x}{x(x + 2)}$
$=\frac{3x^{2}+3x - 2}{x^{2}+2x}$
$=\frac{x^{2}}{x + 1}-\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$
$=\frac{x^{2}-(x^{2}-1)}{x + 1}$
$=\frac{x^{2}-x^{2}+1}{x + 1}$
$=\frac{1}{x + 1}$
(2) $\frac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}-4}+\frac{x - 2}{x^{2}+2x}+2$
$=\frac{(x - 2)^{2}}{(x + 2)(x - 2)}+\frac{x - 2}{x(x + 2)}+2$
$=\frac{x - 2}{x + 2}+\frac{x - 2}{x(x + 2)}+2$
$=\frac{x(x - 2)}{x(x + 2)}+\frac{x - 2}{x(x + 2)}+\frac{2x(x + 2)}{x(x + 2)}$
$=\frac{x^{2}-2x + x - 2 + 2x^{2}+4x}{x(x + 2)}$
$=\frac{3x^{2}+3x - 2}{x^{2}+2x}$
10. 先化简，再求值：
(1) $\frac{a^{2}-a}{a^{2}-2a + 1}+\frac{1}{a - 1}$，其中$a = 2$；
(2) $\frac{2n}{m + 2n}+\frac{m}{2n - m}+\frac{4mn}{4n^{2}-m^{2}}$，其中$\frac{m}{n}=\frac{1}{5}$.
(1) $\frac{a^{2}-a}{a^{2}-2a + 1}+\frac{1}{a - 1}$，其中$a = 2$；
(2) $\frac{2n}{m + 2n}+\frac{m}{2n - m}+\frac{4mn}{4n^{2}-m^{2}}$，其中$\frac{m}{n}=\frac{1}{5}$.
答案
10. (1) 原式 $ = \frac{a + 1}{a - 1} $。当 $ a = 2 $ 时，原式 $ = 3 $ (2) 原式 $ = \frac{2n + m}{2n - m} $。$ \because \frac{m}{n} = \frac{1}{5} $，$ \therefore n = 5m $。$ \therefore $ 原式 $ = \frac{2 × 5m + m}{2 × 5m - m} = \frac{11}{9} $
解析
(1) 原式$=\frac{a(a-1)}{(a-1)^2}+\frac{1}{a-1}=\frac{a}{a-1}+\frac{1}{a-1}=\frac{a+1}{a-1}$。当$a=2$时，原式$=\frac{2+1}{2-1}=3$。
(2) 原式$=\frac{2n}{m+2n}+\frac{m}{2n-m}+\frac{4mn}{(2n-m)(2n+m)}=\frac{2n(2n-m)+m(2n+m)+4mn}{(2n-m)(2n+m)}=\frac{4n^2-2mn+2mn+m^2+4mn}{(2n-m)(2n+m)}=\frac{4n^2+4mn+m^2}{(2n-m)(2n+m)}=\frac{(2n+m)^2}{(2n-m)(2n+m)}=\frac{2n+m}{2n-m}$。$\because\frac{m}{n}=\frac{1}{5}$，$\therefore n=5m$。$\therefore$原式$=\frac{2×5m+m}{2×5m-m}=\frac{11m}{9m}=\frac{11}{9}$。
(2) 原式$=\frac{2n}{m+2n}+\frac{m}{2n-m}+\frac{4mn}{(2n-m)(2n+m)}=\frac{2n(2n-m)+m(2n+m)+4mn}{(2n-m)(2n+m)}=\frac{4n^2-2mn+2mn+m^2+4mn}{(2n-m)(2n+m)}=\frac{4n^2+4mn+m^2}{(2n-m)(2n+m)}=\frac{(2n+m)^2}{(2n-m)(2n+m)}=\frac{2n+m}{2n-m}$。$\because\frac{m}{n}=\frac{1}{5}$，$\therefore n=5m$。$\therefore$原式$=\frac{2×5m+m}{2×5m-m}=\frac{11m}{9m}=\frac{11}{9}$。
11. (易错题)若$\frac{A}{x}+\frac{B}{x + 1}+\frac{C}{x + 2}$($A$，$B$，$C$均为常数)的计算结果为$\frac{x^{2}+2}{x(x + 1)(x + 2)}$，求$A + B + 2C$的值.
答案
11. 原式 $ = \frac{A(x + 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x + 1)}{x(x + 1)(x + 2)} = \frac{Ax^2 + 3Ax + 2A + Bx^2 + 2Bx + Cx^2 + Cx}{x(x + 1)(x + 2)} = \frac{(A + B + C)x^2 + (3A + 2B + C)x + 2A}{x(x + 1)(x + 2)} = \frac{x^2 + 2}{x(x + 1)(x + 2)} $。$ \therefore A + B + C = 1 $，$ 3A + 2B + C = 0 $，$ 2A = 2 $，解得 $ A = 1 $，$ B = -3 $，$ C = 3 $。$ \therefore A + B + 2C = 1 - 3 + 6 = 4 $ [易错分析]通分后比较系数时，易因忽略常数项或一次项系数的匹配，导致求解错误。
解析
$\frac{A}{x}+\frac{B}{x + 1}+\frac{C}{x + 2}$
$=\frac{A(x + 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x + 1)}{x(x + 1)(x + 2)}$
$=\frac{A(x^2 + 3x + 2) + B(x^2 + 2x) + C(x^2 + x)}{x(x + 1)(x + 2)}$
$=\frac{(A + B + C)x^2 + (3A + 2B + C)x + 2A}{x(x + 1)(x + 2)}$
因为结果为$\frac{x^2 + 2}{x(x + 1)(x + 2)}$，所以可得：
$\begin{cases}A + B + C = 1 \\ 3A + 2B + C = 0 \\ 2A = 2\end{cases}$
由$2A = 2$，得$A = 1$。
将$A = 1$代入$A + B + C = 1$，得$1 + B + C = 1$，即$B + C = 0$。
将$A = 1$代入$3A + 2B + C = 0$，得$3 + 2B + C = 0$。
联立$B + C = 0$和$3 + 2B + C = 0$，解得$B = -3$，$C = 3$。
所以$A + B + 2C = 1 + (-3) + 2×3 = 4$。
答案：$4$
$=\frac{A(x + 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x + 1)}{x(x + 1)(x + 2)}$
$=\frac{A(x^2 + 3x + 2) + B(x^2 + 2x) + C(x^2 + x)}{x(x + 1)(x + 2)}$
$=\frac{(A + B + C)x^2 + (3A + 2B + C)x + 2A}{x(x + 1)(x + 2)}$
因为结果为$\frac{x^2 + 2}{x(x + 1)(x + 2)}$，所以可得：
$\begin{cases}A + B + C = 1 \\ 3A + 2B + C = 0 \\ 2A = 2\end{cases}$
由$2A = 2$，得$A = 1$。
将$A = 1$代入$A + B + C = 1$，得$1 + B + C = 1$，即$B + C = 0$。
将$A = 1$代入$3A + 2B + C = 0$，得$3 + 2B + C = 0$。
联立$B + C = 0$和$3 + 2B + C = 0$，解得$B = -3$，$C = 3$。
所以$A + B + 2C = 1 + (-3) + 2×3 = 4$。
答案：$4$
