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一、选择题
1. 把方程 $ 2x^{2}-4x - 1 = 0 $ 化为 $ (x + m)^{2} = n $ 的形式，则 $ m $，$ n $ 的值分别是(
A.$ m = 2 $，$ n = \dfrac{3}{2} $
B.$ m = - 1 $，$ n = \dfrac{3}{2} $
C.$ m = 1 $，$ n = 4 $
D.$ m = n = 2 $
1. 把方程 $ 2x^{2}-4x - 1 = 0 $ 化为 $ (x + m)^{2} = n $ 的形式，则 $ m $，$ n $ 的值分别是(
B
).A.$ m = 2 $，$ n = \dfrac{3}{2} $
B.$ m = - 1 $，$ n = \dfrac{3}{2} $
C.$ m = 1 $，$ n = 4 $
D.$ m = n = 2 $
答案
1. B
解析
$2x^{2}-4x - 1 = 0$
$2x^{2}-4x=1$
$x^{2}-2x=\dfrac{1}{2}$
$x^{2}-2x+1=\dfrac{1}{2}+1$
$(x - 1)^{2}=\dfrac{3}{2}$
则$m=-1$，$n=\dfrac{3}{2}$，答案选B。
$2x^{2}-4x=1$
$x^{2}-2x=\dfrac{1}{2}$
$x^{2}-2x+1=\dfrac{1}{2}+1$
$(x - 1)^{2}=\dfrac{3}{2}$
则$m=-1$，$n=\dfrac{3}{2}$，答案选B。
2. 若 $ x^{2}+8x + k^{2} $ 是一个完全平方式，则 $ k = $(
A.4
B.-4
C.$ \pm 4 $
D.不确定
C
).A.4
B.-4
C.$ \pm 4 $
D.不确定
答案
2. C
解析
因为$x^{2}+8x + k^{2}$是完全平方式，而$x^{2}+8x=(x + 4)^{2}-16$，所以$k^{2}=16$，解得$k = \pm 4$。
C
C
3. 一元二次方程 $ x^{2}+px + q = 0 $ 在用配方法配成 $ (x + m)^{2} = n $ 时，下面叙述正确的是(
A.$ m $ 是 $ p $ 的一半
B.$ m $ 是 $ p $ 的一半的平方
C.$ m $ 是 $ p $ 的 2 倍
D.$ m $ 是 $ p $ 一半的相反数
A
).A.$ m $ 是 $ p $ 的一半
B.$ m $ 是 $ p $ 的一半的平方
C.$ m $ 是 $ p $ 的 2 倍
D.$ m $ 是 $ p $ 一半的相反数
答案
3. A
解析
解：对于一元二次方程 $x^{2}+px + q = 0$，移项得$x^{2}+px=-q$。配方时，在等式两边同时加上$(\frac{p}{2})^{2}$，得到$x^{2}+px + (\frac{p}{2})^{2}=-q + (\frac{p}{2})^{2}$，即$(x+\frac{p}{2})^{2}=\frac{p^{2}}{4}-q$。对比$(x + m)^{2}=n$，可得$m = \frac{p}{2}$，所以$m$是$p$的一半。
A
A
二、填空题
$4. 9x^{2}+ \_\_\_\_\_\_ + 1 )^{2} .$
$4. 9x^{2}+ \_\_\_\_\_\_ + 1 )^{2} .$
答案
4. 答案不唯一,如6x 1 3x
解析
6x 1 3x
5. 将方程 $ x^{2}-6x + 12 = 0 $ 的左边配成一个完全平方式，则配方后的方程是
$(x-3)^{2}=-3$
，此方程没有
(填“有”或“没有”)实数根，理由是实数的平方应是非负数
.答案
5. $(x-3)^{2}=-3$ 没有 实数的平方应是非负数
解析
【分析】
要将方程左边配成完全平方式，需遵循配方法的步骤：先把常数项移到方程右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。对于方程$x^2 - 6x + 12 = 0$，先移项得到$x^2 - 6x = -12$，一次项系数为-6，其一半的平方是9，两边加9后左边可化为完全平方式。判断方程是否有实数根时，依据实数的平方是非负数的性质，若完全平方式等于负数，则不存在对应的实数根。
【解析】
1. 配方操作：
原方程为$x^2 - 6x + 12 = 0$，
移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 6x = -12$，
配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方$(-6÷2)^2=9$：
$x^2 - 6x + 9 = -12 + 9$，
整理得完全平方式：$(x - 3)^2 = -3$。
2. 实数根判断：
由于实数的平方均为非负数，而$(x - 3)^2 = -3$中等号右侧为$-3 ＜ 0$，不存在实数$x$能满足该等式，因此此方程没有实数根。
【答案】
$(x-3)^{2}=-3$；没有；实数的平方应是非负数
【知识点】
配方法，实数平方的非负性
【点评】
本题考查配方法的应用及实数的基本性质，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方式，再利用实数平方的非负性判断根的存在性，是对基础代数方法和实数性质的综合考查，需熟练掌握配方法的步骤。
【难度系数】
0.8
要将方程左边配成完全平方式，需遵循配方法的步骤：先把常数项移到方程右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。对于方程$x^2 - 6x + 12 = 0$，先移项得到$x^2 - 6x = -12$，一次项系数为-6，其一半的平方是9，两边加9后左边可化为完全平方式。判断方程是否有实数根时，依据实数的平方是非负数的性质，若完全平方式等于负数，则不存在对应的实数根。
【解析】
1. 配方操作：
原方程为$x^2 - 6x + 12 = 0$，
移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 6x = -12$，
配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方$(-6÷2)^2=9$：
$x^2 - 6x + 9 = -12 + 9$，
整理得完全平方式：$(x - 3)^2 = -3$。
2. 实数根判断：
由于实数的平方均为非负数，而$(x - 3)^2 = -3$中等号右侧为$-3 ＜ 0$，不存在实数$x$能满足该等式，因此此方程没有实数根。
【答案】
$(x-3)^{2}=-3$；没有；实数的平方应是非负数
【知识点】
配方法，实数平方的非负性
【点评】
本题考查配方法的应用及实数的基本性质，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方式，再利用实数平方的非负性判断根的存在性，是对基础代数方法和实数性质的综合考查，需熟练掌握配方法的步骤。
【难度系数】
0.8
6. $ 4y^{2}-8y + $
4
$ = ( 2y - $2
$ )^{2} $；$ y^{2}+y + 1 = ( y + $$\frac{1}{2}$
$ )^{2}+ $$\frac{3}{4}$
.答案
6. 4 2 $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，核心是掌握完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，通过对比等式两边的项，利用对应系数相等或配方思想来求解未知项。
1. 对于第一个等式$4y^{2}-8y + \mathrm{\_\_\_\_\_\_} = ( 2y - \mathrm{\_\_\_\_\_\_} )^{2}$：
先将右边的完全平方展开，设右边括号里的常数为$b$，展开后与左边式子对比，通过一次项系数对应相等求出$b$的值，再计算出对应的常数项。
2. 对于第二个等式$y^{2}+y + 1 = ( y + \mathrm{\_\_\_\_\_\_} )^{2}+ \mathrm{\_\_\_\_\_\_}$：
先对$y^2+y$进行配方，利用完全平方公式的结构，加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，再通过变形求出等式右边的常数项。
【解析】
1. 求解第一个等式的未知项：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，设右边为$(2y - b)^2$，展开得：
$(2y - b)^2=4y^2 -4by +b^2$
对比左边$4y^2-8y + c$（$c$为待求常数），一次项系数对应相等：
$-4b=-8$，解得$b=2$
则常数项$c=b^2=2^2=4$
因此第一个空填$4$，第二个空填$2$。
2. 求解第二个等式的未知项：
对$y^2+y$进行配方，一次项系数为$1$，其一半的平方为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，则：
$y^2+y=(y+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$
将其代入原式$y^2+y + 1$得：
$y^2+y + 1=(y+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}+1=(y+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$
因此第三个空填$\frac{1}{2}$，第四个空填$\frac{3}{4}$。
【答案】
4；2；$\frac{1}{2}$；$\frac{3}{4}$
【知识点】
完全平方公式；配方思想
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，既考查了完全平方公式的逆用，也考查了配方的基本方法，通过对应项系数分析或配方变形，能帮助学生强化对完全平方公式结构特征的理解。
【难度系数】
0.7
这道题考查完全平方公式的应用，核心是掌握完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，通过对比等式两边的项，利用对应系数相等或配方思想来求解未知项。
1. 对于第一个等式$4y^{2}-8y + \mathrm{\_\_\_\_\_\_} = ( 2y - \mathrm{\_\_\_\_\_\_} )^{2}$：
先将右边的完全平方展开，设右边括号里的常数为$b$，展开后与左边式子对比，通过一次项系数对应相等求出$b$的值，再计算出对应的常数项。
2. 对于第二个等式$y^{2}+y + 1 = ( y + \mathrm{\_\_\_\_\_\_} )^{2}+ \mathrm{\_\_\_\_\_\_}$：
先对$y^2+y$进行配方，利用完全平方公式的结构，加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，再通过变形求出等式右边的常数项。
【解析】
1. 求解第一个等式的未知项：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，设右边为$(2y - b)^2$，展开得：
$(2y - b)^2=4y^2 -4by +b^2$
对比左边$4y^2-8y + c$（$c$为待求常数），一次项系数对应相等：
$-4b=-8$，解得$b=2$
则常数项$c=b^2=2^2=4$
因此第一个空填$4$，第二个空填$2$。
2. 求解第二个等式的未知项：
对$y^2+y$进行配方，一次项系数为$1$，其一半的平方为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，则：
$y^2+y=(y+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$
将其代入原式$y^2+y + 1$得：
$y^2+y + 1=(y+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}+1=(y+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$
因此第三个空填$\frac{1}{2}$，第四个空填$\frac{3}{4}$。
【答案】
4；2；$\frac{1}{2}$；$\frac{3}{4}$
【知识点】
完全平方公式；配方思想
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，既考查了完全平方公式的逆用，也考查了配方的基本方法，通过对应项系数分析或配方变形，能帮助学生强化对完全平方公式结构特征的理解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 用配方法解下列方程：
(1) $ x^{2}-6x - 11 = 0 $；
(2) $ 3x^{2}-2x - 7 = 0 $.
7. 用配方法解下列方程：
(1) $ x^{2}-6x - 11 = 0 $；
(2) $ 3x^{2}-2x - 7 = 0 $.
答案
7. (1) $x_{1}=3+2\sqrt{5}$, $x_{2}=3-2\sqrt{5}$ (2) $x_{1}=\frac{\sqrt{22}+1}{3}$, $x_{2}=\frac{1-\sqrt{22}}{3}$
解析
(1)移项，得$x^{2}-6x=11$，配方，得$x^{2}-6x+9=11+9$，即$(x-3)^{2}=20$，开方，得$x-3=\pm 2\sqrt{5}$，解得$x_{1}=3+2\sqrt{5}$，$x_{2}=3-2\sqrt{5}$；
(2)方程两边同除以3，得$x^{2}-\frac{2}{3}x-\frac{7}{3}=0$，移项，得$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{7}{3}$，配方，得$x^{2}-\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^{2}=\frac{7}{3}+(\frac{1}{3})^{2}$，即$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{22}{9}$，开方，得$x-\frac{1}{3}=\pm \frac{\sqrt{22}}{3}$，解得$x_{1}=\frac{1+\sqrt{22}}{3}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{22}}{3}$。
(2)方程两边同除以3，得$x^{2}-\frac{2}{3}x-\frac{7}{3}=0$，移项，得$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{7}{3}$，配方，得$x^{2}-\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^{2}=\frac{7}{3}+(\frac{1}{3})^{2}$，即$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{22}{9}$，开方，得$x-\frac{1}{3}=\pm \frac{\sqrt{22}}{3}$，解得$x_{1}=\frac{1+\sqrt{22}}{3}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{22}}{3}$。
8. 用配方法证明：
(1) $ a^{2}-a + 1 $ 的值恒为正；
(2) $ - 9x^{2}+8x - 2 $ 的值恒为负.
(1) $ a^{2}-a + 1 $ 的值恒为正；
(2) $ - 9x^{2}+8x - 2 $ 的值恒为负.
答案
8. (1) $\because a^{2}-a+1=(a-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}＞0$,$\therefore a^{2}-a+1$的值恒为正 (2) $\because -9x^{2}+8x-2=-9(x-\frac{4}{9})^{2}-\frac{2}{9}＜0$,$\therefore -9x^{2}+8x-2$的值恒为负
解析
(1) $\because a^{2}-a + 1 = a^{2}-a+(\frac{1}{2})^{2}-(\frac{1}{2})^{2}+1 = (a - \frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$，又$\because (a - \frac{1}{2})^{2}≥0$，$\therefore (a - \frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$，$\therefore a^{2}-a + 1$的值恒为正；
(2) $\because -9x^{2}+8x - 2 = -9(x^{2}-\frac{8}{9}x)-2 = -9[x^{2}-\frac{8}{9}x+(\frac{4}{9})^{2}-(\frac{4}{9})^{2}]-2 = -9(x - \frac{4}{9})^{2}+\frac{16}{9}-2 = -9(x - \frac{4}{9})^{2}-\frac{2}{9}$，又$\because -9(x - \frac{4}{9})^{2}≤0$，$\therefore -9(x - \frac{4}{9})^{2}-\frac{2}{9}≤-\frac{2}{9}＜0$，$\therefore -9x^{2}+8x - 2$的值恒为负.
(2) $\because -9x^{2}+8x - 2 = -9(x^{2}-\frac{8}{9}x)-2 = -9[x^{2}-\frac{8}{9}x+(\frac{4}{9})^{2}-(\frac{4}{9})^{2}]-2 = -9(x - \frac{4}{9})^{2}+\frac{16}{9}-2 = -9(x - \frac{4}{9})^{2}-\frac{2}{9}$，又$\because -9(x - \frac{4}{9})^{2}≤0$，$\therefore -9(x - \frac{4}{9})^{2}-\frac{2}{9}≤-\frac{2}{9}＜0$，$\therefore -9x^{2}+8x - 2$的值恒为负.
