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10 如图,点 O 在直线 AB 上,∠AOC=53°17'28'',则∠BOC=
126
°42
′32
″.答案
10. 126 42 32
解析
【分析】
首先观察图形，点O在直线AB上，因此∠AOB是平角，度数为180°，∠AOC和∠BOC之和等于平角的度数，所以求∠BOC只需用180°减去已知的∠AOC的度数即可。计算时要注意度分秒是60进制，不够减时需要向前一位借1当60再运算。
【解析】
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，
∴ ∠BOC = 180° - ∠AOC。
为方便度分秒减法运算，将180°转化为179°59'60''，代入∠AOC=53°17'28''得：
$\begin{split}∠BOC&= 179°59'60'' - 53°17'28''\\&= (179° - 53°) + (59' - 17') + (60'' - 28'')\\&= 126° + 42' + 32''\\&= 126°42'32''\end{split}$
【答案】
126；42；32
【知识点】
平角的定义；度分秒的运算；补角的定义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平角的性质和度分秒的减法计算，解题的关键是牢记度分秒为60进制，减法借位时要按60换算，避免误用十进制计算出错。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，点O在直线AB上，因此∠AOB是平角，度数为180°，∠AOC和∠BOC之和等于平角的度数，所以求∠BOC只需用180°减去已知的∠AOC的度数即可。计算时要注意度分秒是60进制，不够减时需要向前一位借1当60再运算。
【解析】
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，
∴ ∠BOC = 180° - ∠AOC。
为方便度分秒减法运算，将180°转化为179°59'60''，代入∠AOC=53°17'28''得：
$\begin{split}∠BOC&= 179°59'60'' - 53°17'28''\\&= (179° - 53°) + (59' - 17') + (60'' - 28'')\\&= 126° + 42' + 32''\\&= 126°42'32''\end{split}$
【答案】
126；42；32
【知识点】
平角的定义；度分秒的运算；补角的定义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平角的性质和度分秒的减法计算，解题的关键是牢记度分秒为60进制，减法借位时要按60换算，避免误用十进制计算出错。
【难度系数】
0.8
11 方程思想 已知∠1与∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x-8)°，则∠1的度数为
62°
，∠2的度数为28°
.答案
11. $62°\ \ 28°$
解析
【分析】
首先根据已知条件“∠1与∠2互余”，回忆余角的定义：互余的两个角的度数之和为90°，这是本题的核心等量关系。接下来将∠1、∠2的含x的代数式代入等量关系，即可得到关于x的一元一次方程，解出x的取值后，再分别代入∠1、∠2的表达式计算，就能求出两个角的度数，最后可通过两角和是否为90°验证结果正确性。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互余，根据余角的定义可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
将$∠ 1=(6x+8)°$，$∠ 2=(4x-8)°$代入上式，得：
$(6x + 8) + (4x - 8) = 90$
合并同类项，得：
$10x = 90$
解得：$x = 9$
将$x=9$代入$∠ 1$的表达式：
$∠ 1 = 6×9 + 8 = 62°$
将$x=9$代入$∠ 2$的表达式：
$∠ 2 = 4×9 - 8 = 28°$
验证：$62°+28°=90°$，符合互余的定义，结果正确。
【答案】
$62°$；$28°$
【知识点】
1. 余角的定义
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是方程思想在几何角度计算中的典型应用，核心是掌握余角的性质，找到等量关系列方程求解，属于基础类题型，熟练掌握互余、互补的性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85
首先根据已知条件“∠1与∠2互余”，回忆余角的定义：互余的两个角的度数之和为90°，这是本题的核心等量关系。接下来将∠1、∠2的含x的代数式代入等量关系，即可得到关于x的一元一次方程，解出x的取值后，再分别代入∠1、∠2的表达式计算，就能求出两个角的度数，最后可通过两角和是否为90°验证结果正确性。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互余，根据余角的定义可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
将$∠ 1=(6x+8)°$，$∠ 2=(4x-8)°$代入上式，得：
$(6x + 8) + (4x - 8) = 90$
合并同类项，得：
$10x = 90$
解得：$x = 9$
将$x=9$代入$∠ 1$的表达式：
$∠ 1 = 6×9 + 8 = 62°$
将$x=9$代入$∠ 2$的表达式：
$∠ 2 = 4×9 - 8 = 28°$
验证：$62°+28°=90°$，符合互余的定义，结果正确。
【答案】
$62°$；$28°$
【知识点】
1. 余角的定义
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是方程思想在几何角度计算中的典型应用，核心是掌握余角的性质，找到等量关系列方程求解，属于基础类题型，熟练掌握互余、互补的性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85
12 如图，$∠ ACB = ∠ CDB = 90°$，则$∠ ACD$的余角有________个，它们是________。
答案
12. 2 $∠ BCD,∠ A$
解析
【分析】
解题首先要明确余角的定义：和为90°的两个角互为余角。第一步先观察∠ACB是直角，被CD分成∠ACD和∠BCD，二者之和为90°，可得到第一个余角；第二步由∠CDB=90°，结合A、D、B共线可得∠ADC也是直角，直角的两个锐角和为90°，得到∠A是第二个余角，统计数量即可。
【解析】
根据余角的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互为余角。
1. 已知$∠ ACB=90°$，即$∠ ACD + ∠ BCD = ∠ ACB = 90°$，因此$∠ BCD$是$∠ ACD$的余角；
2. 已知$∠ CDB=90°$，点A、D、B在同一条直线上，因此$∠ ADC = 180° - ∠ CDB = 90°$，$∠ ADC$为直角，所以$∠ A + ∠ ACD = 90°$，因此$∠ A$也是$∠ ACD$的余角。
综上，$∠ ACD$的余角共有2个。
【答案】
2；$∠ BCD$，$∠ A$
【知识点】
余角的定义；平角的性质；直角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查余角的识别，解题时要结合图形的边角特征，全面梳理所有和目标角相加为90°的角，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确余角的定义：和为90°的两个角互为余角。第一步先观察∠ACB是直角，被CD分成∠ACD和∠BCD，二者之和为90°，可得到第一个余角；第二步由∠CDB=90°，结合A、D、B共线可得∠ADC也是直角，直角的两个锐角和为90°，得到∠A是第二个余角，统计数量即可。
【解析】
根据余角的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互为余角。
1. 已知$∠ ACB=90°$，即$∠ ACD + ∠ BCD = ∠ ACB = 90°$，因此$∠ BCD$是$∠ ACD$的余角；
2. 已知$∠ CDB=90°$，点A、D、B在同一条直线上，因此$∠ ADC = 180° - ∠ CDB = 90°$，$∠ ADC$为直角，所以$∠ A + ∠ ACD = 90°$，因此$∠ A$也是$∠ ACD$的余角。
综上，$∠ ACD$的余角共有2个。
【答案】
2；$∠ BCD$，$∠ A$
【知识点】
余角的定义；平角的性质；直角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查余角的识别，解题时要结合图形的边角特征，全面梳理所有和目标角相加为90°的角，避免漏解。
【难度系数】
0.8
13 新考向 探究题 如图,将一张长方形纸片先沿 CP 折叠,使点 A 落在点 E 处,再将纸片的另一角沿 PD 折叠,使点 B 落在点 F 处,且 PE 与 PF 在同一条直线上.
(1) $∠APC$ 与 $∠FPD$ 互余吗? 为什么?
(2) $∠CPF$ 与 $∠CPB$ 互补吗? 为什么?
(第 13 题)
(1) $∠APC$ 与 $∠FPD$ 互余吗? 为什么?
(2) $∠CPF$ 与 $∠CPB$ 互补吗? 为什么?
(第 13 题)
答案
13. (1) $∠ APC$ 与 $∠ FPD$ 互余 由折叠可知,$∠ APC=∠ CPE=\frac{1}{2}∠ APE,∠ BPD=∠ FPD=\frac{1}{2}∠ BPF$,所以$∠ APC+∠ FPD=\frac{1}{2}∠ APE+\frac{1}{2}∠ BPF=\frac{1}{2}(∠ APE+∠ BPF)=\frac{1}{2}∠ APB$.又因为$∠ APB=180°$,所以$∠ APC+∠ FPD=\frac{1}{2}× 180°=90°$,即$∠ APC$ 与 $∠ FPD$ 互余
(2) $∠ CPF$ 与 $∠ CPB$ 互补 由折叠可知,$∠ CPF=∠ CPA$,所以$∠ CPF+∠ CPB=∠ CPA+∠ CPB=∠ APB=180°$,即$∠ CPF$ 与 $∠ CPB$ 互补
(2) $∠ CPF$ 与 $∠ CPB$ 互补 由折叠可知,$∠ CPF=∠ CPA$,所以$∠ CPF+∠ CPB=∠ CPA+∠ CPB=∠ APB=180°$,即$∠ CPF$ 与 $∠ CPB$ 互补
解析
【分析】
解决本题的核心是利用折叠的性质（折叠前后对应角相等），结合余角、补角的定义和平角为180°的性质推导：
(1) 要判断两个角是否互余，只需证明两角之和为90°。先根据折叠得到两组相等的角，再结合平角180°的性质计算两角之和，即可判断；
(2) 要判断两个角是否互补，只需证明两角之和为180°。先根据折叠得到∠CPF与∠CPA相等，再结合邻补角和为180°的性质等量代换，即可证明。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠APC}$与$\boldsymbol{∠FPD}$互余，理由如下：
由折叠的性质可知：$∠APC=∠CPE=\frac{1}{2}∠APE$，$∠BPD=∠FPD=\frac{1}{2}∠BPF$，
因此$∠APC+∠FPD=\frac{1}{2}∠APE+\frac{1}{2}∠BPF=\frac{1}{2}(∠APE+∠BPF)$。
因为点$P$在直线$AB$上，$∠APB$是平角，即$∠APB=180°$，且$PE$、$PF$在同一条直线上，所以$∠APE+∠BPF=∠APB=180°$，
代入得$∠APC+∠FPD=\frac{1}{2}×180°=90°$，符合互余的定义。
(2) $\boldsymbol{∠CPF}$与$\boldsymbol{∠CPB}$互补，理由如下：
由折叠的性质可知：$∠CPF=∠CPA$，
因为$∠CPA$和$∠CPB$是邻补角，所以$∠CPA+∠CPB=∠APB=180°$，
等量代换得$∠CPF+∠CPB=∠CPA+∠CPB=180°$，符合互补的定义。
【答案】
(1) $∠APC$与$∠FPD$互余，理由见解析；
(2) $∠CPF$与$∠CPB$互补，理由见解析。
【知识点】
折叠的性质；余角的定义；补角的定义
【点评】
本题以长方形折叠为背景考查余角、补角的判定，解题关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征进行角度运算，属于基础探究题，注重对基础概念和性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用折叠的性质（折叠前后对应角相等），结合余角、补角的定义和平角为180°的性质推导：
(1) 要判断两个角是否互余，只需证明两角之和为90°。先根据折叠得到两组相等的角，再结合平角180°的性质计算两角之和，即可判断；
(2) 要判断两个角是否互补，只需证明两角之和为180°。先根据折叠得到∠CPF与∠CPA相等，再结合邻补角和为180°的性质等量代换，即可证明。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠APC}$与$\boldsymbol{∠FPD}$互余，理由如下：
由折叠的性质可知：$∠APC=∠CPE=\frac{1}{2}∠APE$，$∠BPD=∠FPD=\frac{1}{2}∠BPF$，
因此$∠APC+∠FPD=\frac{1}{2}∠APE+\frac{1}{2}∠BPF=\frac{1}{2}(∠APE+∠BPF)$。
因为点$P$在直线$AB$上，$∠APB$是平角，即$∠APB=180°$，且$PE$、$PF$在同一条直线上，所以$∠APE+∠BPF=∠APB=180°$，
代入得$∠APC+∠FPD=\frac{1}{2}×180°=90°$，符合互余的定义。
(2) $\boldsymbol{∠CPF}$与$\boldsymbol{∠CPB}$互补，理由如下：
由折叠的性质可知：$∠CPF=∠CPA$，
因为$∠CPA$和$∠CPB$是邻补角，所以$∠CPA+∠CPB=∠APB=180°$，
等量代换得$∠CPF+∠CPB=∠CPA+∠CPB=180°$，符合互补的定义。
【答案】
(1) $∠APC$与$∠FPD$互余，理由见解析；
(2) $∠CPF$与$∠CPB$互补，理由见解析。
【知识点】
折叠的性质；余角的定义；补角的定义
【点评】
本题以长方形折叠为背景考查余角、补角的判定，解题关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征进行角度运算，属于基础探究题，注重对基础概念和性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
14 新考向 探究题 [2025 扬州期末]数学活动：
（1）如图①，将两块直角三角尺的直角顶点 C 重合在一起，$∠ ACB=∠ DCH=90°$.
① 若$∠ ACH=25°$，则$∠ BCD=$25°；
② 猜想：$∠ ACH$与$∠ BCD$之间的数量关系，并说明理由.
（2）如图②，将两块相同的直角三角尺的$60°$角的顶点 A 重合在一起，$∠ CAB=∠ EAF=60°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系为$∠ CAF + ∠ EAB = 120°$.
（3）如图③，将两个相同的直角三角形卡纸的相等的锐角顶点 A 重合在一起，$∠ CAB=∠ EAF=n°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系为$∠ CAF + ∠ EAB = 2n°$.
（1）如图①，将两块直角三角尺的直角顶点 C 重合在一起，$∠ ACB=∠ DCH=90°$.
① 若$∠ ACH=25°$，则$∠ BCD=$25°；
② 猜想：$∠ ACH$与$∠ BCD$之间的数量关系，并说明理由.
（2）如图②，将两块相同的直角三角尺的$60°$角的顶点 A 重合在一起，$∠ CAB=∠ EAF=60°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系为$∠ CAF + ∠ EAB = 120°$.
（3）如图③，将两个相同的直角三角形卡纸的相等的锐角顶点 A 重合在一起，$∠ CAB=∠ EAF=n°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系为$∠ CAF + ∠ EAB = 2n°$.
答案
14. (1) ① $155°$ ② $∠ ACH+∠ BCD=180°$ 理由:因为$∠ ACB=∠ DCH=90°$,所以$∠ ACH+∠ BCD=∠ ACH+∠ BCH+∠ DCH=∠ ACB+∠ DCH=90°+90°=180°$.
(2) $∠ CAF+∠ EAB=120°$
(3) $∠ CAF+∠ EAB=2n°$ 【解析】因为$∠ CAF=∠ CAE+∠ EAF$,所以$∠ CAF+∠ EAB=∠ CAE+∠ EAF+∠ EAB=∠ EAF+∠ CAB=n°+n°=2n°$.所以$∠ CAF$ 与 $∠ EAB$ 之间的数量关系为$∠ CAF+∠ EAB=2n°$.
(2) $∠ CAF+∠ EAB=120°$
(3) $∠ CAF+∠ EAB=2n°$ 【解析】因为$∠ CAF=∠ CAE+∠ EAF$,所以$∠ CAF+∠ EAB=∠ CAE+∠ EAF+∠ EAB=∠ EAF+∠ CAB=n°+n°=2n°$.所以$∠ CAF$ 与 $∠ EAB$ 之间的数量关系为$∠ CAF+∠ EAB=2n°$.
解析
【分析】
本题围绕共顶点重叠角的数量关系展开，解题思路清晰：
1. 解决（1）①时，先明确两个直角∠ACB、∠DCH均为90°，将∠BCD拆分为∠DCH与∠BCH的和，先求出∠BCH=∠ACB-∠ACH，再代入数值计算即可；
2. 解决（1）②时，把∠BCD拆为∠BCH+∠DCH，将∠ACH与∠BCD相加后整合为∠ACB+∠DCH，即可得出二者的数量关系；
3. 解决（2）（3）时，类比（1）的思路，将∠CAF拆分为∠CAE+∠EAF，再与∠EAB相加，整合后得到两个相同定角的和，由特殊到一般推导即可得到通用数量关系。
【解析】
(1) ① 已知$∠ ACB=∠ DCH=90°$，$∠ ACH=25°$，
所以$∠ BCH = ∠ ACB - ∠ ACH = 90° - 25° = 65°$，
则$∠ BCD = ∠ DCH + ∠ BCH = 90° + 65° = 155°$。
② 数量关系：$\boldsymbol{∠ ACH + ∠ BCD = 180°}$，理由如下：
因为$∠ ACB=∠ DCH=90°$，
所以$∠ ACH + ∠ BCD = ∠ ACH + ∠ BCH + ∠ DCH = (∠ ACH + ∠ BCH) + ∠ DCH = ∠ ACB + ∠ DCH = 90° + 90° = 180°$。
(2) 已知$∠ CAB=∠ EAF=60°$，
$∠ CAF + ∠ EAB = (∠ CAE + ∠ EAF) + ∠ EAB = ∠ EAF + (∠ CAE + ∠ EAB) = ∠ EAF + ∠ CAB = 60° + 60° = 120°$。
(3) 已知$∠ CAB=∠ EAF=n°$，
$∠ CAF + ∠ EAB = (∠ CAE + ∠ EAF) + ∠ EAB = ∠ EAF + (∠ CAE + ∠ EAB) = ∠ EAF + ∠ CAB = n° + n° = 2n°$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{155°}$；② $\boldsymbol{∠ ACH + ∠ BCD = 180°}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{∠ CAF + ∠ EAB = 120°}$；
(3) $\boldsymbol{∠ CAF + ∠ EAB = 2n°}$
【知识点】
角的和差计算，补角的定义，规律探究
【点评】
本题是角度运算的典型探究题，从特殊角度到一般角度逐步推导，核心是掌握角的拆分与整合技巧，能有效训练逻辑推理能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕共顶点重叠角的数量关系展开，解题思路清晰：
1. 解决（1）①时，先明确两个直角∠ACB、∠DCH均为90°，将∠BCD拆分为∠DCH与∠BCH的和，先求出∠BCH=∠ACB-∠ACH，再代入数值计算即可；
2. 解决（1）②时，把∠BCD拆为∠BCH+∠DCH，将∠ACH与∠BCD相加后整合为∠ACB+∠DCH，即可得出二者的数量关系；
3. 解决（2）（3）时，类比（1）的思路，将∠CAF拆分为∠CAE+∠EAF，再与∠EAB相加，整合后得到两个相同定角的和，由特殊到一般推导即可得到通用数量关系。
【解析】
(1) ① 已知$∠ ACB=∠ DCH=90°$，$∠ ACH=25°$，
所以$∠ BCH = ∠ ACB - ∠ ACH = 90° - 25° = 65°$，
则$∠ BCD = ∠ DCH + ∠ BCH = 90° + 65° = 155°$。
② 数量关系：$\boldsymbol{∠ ACH + ∠ BCD = 180°}$，理由如下：
因为$∠ ACB=∠ DCH=90°$，
所以$∠ ACH + ∠ BCD = ∠ ACH + ∠ BCH + ∠ DCH = (∠ ACH + ∠ BCH) + ∠ DCH = ∠ ACB + ∠ DCH = 90° + 90° = 180°$。
(2) 已知$∠ CAB=∠ EAF=60°$，
$∠ CAF + ∠ EAB = (∠ CAE + ∠ EAF) + ∠ EAB = ∠ EAF + (∠ CAE + ∠ EAB) = ∠ EAF + ∠ CAB = 60° + 60° = 120°$。
(3) 已知$∠ CAB=∠ EAF=n°$，
$∠ CAF + ∠ EAB = (∠ CAE + ∠ EAF) + ∠ EAB = ∠ EAF + (∠ CAE + ∠ EAB) = ∠ EAF + ∠ CAB = n° + n° = 2n°$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{155°}$；② $\boldsymbol{∠ ACH + ∠ BCD = 180°}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{∠ CAF + ∠ EAB = 120°}$；
(3) $\boldsymbol{∠ CAF + ∠ EAB = 2n°}$
【知识点】
角的和差计算，补角的定义，规律探究
【点评】
本题是角度运算的典型探究题，从特殊角度到一般角度逐步推导，核心是掌握角的拆分与整合技巧，能有效训练逻辑推理能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
