8 如图,直线 AB 交 CD 于点 O,OE 平分$∠BOD$,OF 平分$∠COB,∠AOD:∠BOE=4:1$,则$∠AOF$的度数为 ()

A.$130°$
B.$120°$
C.$110°$
D.$100°$

8. B

【分析】
解题时先观察已知条件：存在角平分线、角度比值、直线相交的结构。首先利用角平分线的性质得到∠BOD和∠BOE的倍数关系，再结合邻补角和为180°的性质，设未知数列方程求出未知角的度数，最后结合对顶角相等、角平分线的性质计算∠AOF的度数即可。
【解析】
设$∠ BOE=x$，
$\because ∠ AOD:∠ BOE=4:1$，
$\therefore ∠ AOD=4x$，
$\because OE$平分$∠ BOD$，
$\therefore ∠ BOD=2∠ BOE=2x$，
$\because $直线$AB$为平角，$∠ AOD$与$∠ BOD$是邻补角，
$\therefore ∠ AOD+∠ BOD=180°$，即$4x+2x=180°$，
解得$x=30°$，
$\therefore ∠ BOD=2×30°=60°$，
$\because ∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD=60°$，
$\because ∠ COB$与$∠ AOD$是对顶角，
$\therefore ∠ COB=∠ AOD=4×30°=120°$，
$\because OF$平分$∠ COB$，
$\therefore ∠ COF=\frac{1}{2}∠ COB=\frac{1}{2}×120°=60°$，
$\therefore ∠ AOF=∠ AOC+∠ COF=60°+60°=120°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；邻补角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是相交线角度计算的基础题型，解题的核心是结合角平分线、邻补角、对顶角的性质，通过设未知数建立方程求解角度，理清各角之间的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7

9 有下列说法:① 有公共顶点,没有公共边的两个角是对顶角;② 相等的两个角是对顶角;③ 如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;④ 若一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,则这两个角是对顶角;⑤ 如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.其中,正确的是(填序号).

9. ③④⑤

【分析】
要判断各说法的正误，首先明确对顶角的定义和性质：对顶角的定义是两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线；对顶角的性质是对顶角相等。我们围绕定义和性质逐一分析每个说法即可。
【解析】
我们结合对顶角的定义和性质逐个判断：
① 有公共顶点、没有公共边的两个角，不一定满足两边互为反向延长线，例如过同一顶点画4条互不重合的射线，相对的两个不相邻的角有公共顶点无公共边，但不是对顶角，故①错误；
② 相等的两个角不一定满足对顶角的定义，例如两个独立的30°角，角度相等但没有公共顶点，不是对顶角，故②错误；
③ 对顶角相等是对顶角的基本性质，故③正确；
④ 若一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，则这两个角必然有公共顶点，符合对顶角的定义，故④正确；
⑤ 因为对顶角一定相等，所以不相等的两个角一定不是对顶角，故⑤正确。
综上，正确的是③④⑤。
【答案】
③④⑤
【知识点】
对顶角的定义；对顶角的性质；命题真假判断
【点评】
本题考查对顶角相关概念的辨析，解题的关键是准确把握对顶角的判定条件和性质，不要混淆“对顶角相等”的逻辑，避免出现“相等的角就是对顶角”这类常见误区。
【难度系数】
0.8

10 如图，直线AB，CD，EF相交于点O.若∠AOE=46°，∠DOF=22°，则∠BOC的度数为.

10. $112°$

【分析】
解题思路：首先观察图形，三条直线交于点O，可利用对顶角相等、平角为180°的性质求解。要求∠BOC的度数，我们可以先通过对顶角相等得到与∠AOE相等的∠BOF的度数，再结合已知的∠DOF求出∠BOD的度数，最后根据∠BOC与∠BOD互为邻补角、和为180°的性质，即可算出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵直线AB和EF相交于点O，∠AOE=46°
∴根据对顶角相等，得∠BOF=∠AOE=46°
已知∠DOF=22°，则∠BOD=∠BOF+∠DOF=46°+22°=68°
又
∵直线CD为平角，∠BOC与∠BOD互为邻补角，即∠BOC+∠BOD=180°
∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-68°=112°
【答案】
$112°$
【知识点】
1.对顶角相等 2.平角的定义 3.邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线的基础计算题，核心是准确识别对顶角和邻补角的位置关系，结合角度的和差运算即可求解，熟练掌握相交线的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85

11 如图,直线AB,EF相交于点D,∠BDC=90°.
(1) ∠1的对顶角是,∠2的余角是;
(2) ∠ADC与∠BDC对顶角(填“是”或“不是”);
(3) 若∠2=5∠1,求∠CDF,∠EDB的度数.

11. (1) $∠ BDF$ $∠ 1,∠ BDF$ (2) 不是 (3) 因为$∠ ADC+∠ BDC=180°$,$∠ BDC=90°$,所以$∠ ADC=180°-∠ BDC=180°-90°=90°$.所以$∠ 1+∠ 2=90°$.因为$∠ 2=5∠ 1$,所以$∠ 1=\dfrac{1}{1+5}×90°=15°$.因为$∠ 1+∠ EDB=180°$,所以$∠ EDB=180°-∠ 1=180°-15°=165°$.因为直线 AB,EF 相交于点 D,所以$∠ BDF=∠ 1=15°$.所以$∠ CDF=∠ BDC+∠ BDF=90°+15°=105°$

【分析】
1. 第(1)问解题思路：先回忆对顶角定义，即有公共顶点、两边分别互为反向延长线的两个角为对顶角，据此找到∠1的对顶角；再结合余角定义（和为90°的两个角互为余角），已知∠BDC=90°可得∠1+∠2=90°，再结合对顶角相等的性质，即可确定∠2的余角。
2. 第(2)问解题思路：根据对顶角的定义判断，对顶角要求两个角的两边均互为反向延长线，观察∠ADC和∠BDC的边，即可得出结论。
3. 第(3)问解题思路：首先由CD与AB垂直得出∠1+∠2=90°，结合∠2=5∠1的数量关系求出∠1的度数；再利用邻补角和为180°求∠EDB，利用对顶角相等得∠BDF=∠1，最后结合角的和差关系求∠CDF的度数。
【解析】
(1) ∠1的两边是DA、DE，其反向延长线分别是DB、DF，因此∠1的对顶角是∠BDF；
已知∠BDC=90°，所以∠1+∠2=90°，又因为对顶角相等，∠BDF=∠1，因此∠BDF+∠2=90°，所以∠2的余角是∠1、∠BDF。
(2) 对顶角要求两个角的两边都互为反向延长线，∠ADC与∠BDC有公共边DC，不满足对顶角的定义，因此不是对顶角。
(3) 因为∠ADC+∠BDC=180°，∠BDC=90°，所以∠ADC=180°-∠BDC=180°-90°=90°，即∠1+∠2=90°。
已知∠2=5∠1，代入得∠1+5∠1=90°，解得∠1=15°。
因为∠1与∠EDB互为邻补角，所以∠EDB=180°-∠1=180°-15°=165°。
因为直线AB、EF相交于点D，根据对顶角相等，可得∠BDF=∠1=15°，因此∠CDF=∠BDC+∠BDF=90°+15°=105°。
【答案】
(1) $∠ BDF$；$∠ 1、∠ BDF$
(2) 不是
(3) $∠ CDF=105°$，$∠ EDB=165°$
【知识点】
对顶角的性质，余角的定义，邻补角的性质
【点评】
本题考查角度基本概念的识别与相关计算，核心是熟练掌握对顶角、余角、邻补角的定义和性质，准确梳理图中各角的位置关系和数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

12 新考向 探究题 如图,下列各图中,直线都交于一点,请探究交于一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律.

(1) 请填写下表:
| 交于一点的直线的条数 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 对顶角的对数 | | | |
(2) 若n条直线交于一点,则共有对对顶角(用含n的代数式表示);
(3) 当100条直线交于一点时,共有对对顶角.

12. (1) 2 6 12 【解析】根据题图,可得2条直线交于一点,共有2对对顶角;3条直线交于一点,共有6对对顶角;4条直线交于一点,共有12对对顶角.
(2) $n(n-1)$ 【解析】依据规律,可得n条直线交于一点,共有$n(n-1)$对对顶角.
(3) 9 900 【解析】当n=100时,$n(n-1)=100×99=9\ 900$.

【分析】
解决本题首先要明确对顶角的定义：两条直线相交，会形成2对对顶角。我们先从直线条数较少的情况入手，先分别数出2条、3条、4条直线交于一点时的对顶角对数，再观察这几个结果和对应直线条数的关系，归纳出n条直线交于一点时对顶角对数的通用公式，最后将n=100代入公式即可求出对应结果。
【解析】
(1) 观察图形计数：
① 2条直线交于一点时，相交形成2对对顶角；
② 3条直线交于一点时，每两条直线相交都形成2对对顶角，共有3组两两相交的直线，总对顶角对数为$3×2=6$；
③ 4条直线交于一点时，共有6组两两相交的直线，总对顶角对数为$6×2=12$。
因此表格依次填写2、6、12。
(2) 观察(1)的结果：$2=2×1$，$6=3×2$，$12=4×3$，可归纳得出规律：n条直线交于一点时，对顶角的总对数为$n(n-1)$。
(3) 当有100条直线交于一点时，即$n=100$，代入公式得：$n(n-1)=100×(100-1)=100×99=9900$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{6}$；$\boxed{12}$
(2) $\boxed{n(n-1)}$
(3) $\boxed{9900}$
【知识点】
对顶角的概念；规律探究；代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是从简单的特殊情况入手，通过观察、归纳总结出通用规律，再利用规律解决一般情况的问题，有助于提升逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7