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1.某班级组织同学乘大巴前往“研学旅行"基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，队伍8:00从学校出发，苏老师因有事情，8:30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后保持原来的速度继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地.
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
答案
1.解:(1)设大巴车的平均速度为x km/h，
则$\frac{90}{x}-\frac{90}{1.5x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$,
$x=40$,
经检验:$x=40$是原方程的解.
答:大巴车的平均速度为40 km/h,小车的平均速度为60 km/h.
(2)设小车y小时追上大巴车，
则$60y=40(y+\frac{1}{2}),y=1$,
$\therefore 90-1×60=30(\mathrm{km})$.
答:追上大巴车的地点到基地30 km.
则$\frac{90}{x}-\frac{90}{1.5x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$,
$x=40$,
经检验:$x=40$是原方程的解.
答:大巴车的平均速度为40 km/h,小车的平均速度为60 km/h.
(2)设小车y小时追上大巴车，
则$60y=40(y+\frac{1}{2}),y=1$,
$\therefore 90-1×60=30(\mathrm{km})$.
答:追上大巴车的地点到基地30 km.
解析
【分析】
这是行程类应用题，核心公式为路程=速度×时间。(1)问求速度，可通过时间差建立等量关系：大巴走完全程的总时间比小车多，多出的时间为苏老师晚出发的30分钟（$\frac{1}{2}$小时）加上比大巴早到的15分钟（$\frac{1}{4}$小时），据此设未知数列分式方程求解即可，注意分式方程要检验解的合理性。(2)问是追及问题，追上时两车行驶的路程相等，大巴比小车多行驶半小时，据此列一元一次方程求出追及时间，再用总路程减去追及时小车行驶的路程，即可得到追上点到基地的距离。
【解析】
(1)设大巴车的平均速度为$x$ km/h，则小车的平均速度为$1.5x$ km/h。
根据大巴与小车的时间差列方程：
$\frac{90}{x}-\frac{90}{1.5x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$
解方程得：$x=40$
经检验：$x=40$是原方程的解，且符合实际意义。
则小车的平均速度为$1.5×40=60$（km/h）。
(2)设小车$y$小时追上大巴车，此时大巴车已行驶$(y+\frac{1}{2})$小时。
根据追及时两车路程相等列方程：
$60y=40(y+\frac{1}{2})$
解得：$y=1$
则追上大巴时小车已行驶路程为$1×60=60$（km），
苏老师追上大巴的地点到基地的路程为$90-60=30$（km）。
【答案】
(1)大巴车的平均速度为40 km/h，小车的平均速度为60 km/h；
(2)苏老师追上大巴的地点到基地的路程为30 km。
【知识点】
分式方程应用，行程追及问题，列方程解应用题
【点评】
本题是行程应用题的典型题型，既考查了分式方程的应用，也结合了追及问题的等量关系，解题的关键是准确梳理两种车辆的时间差、路程相等的等量关系，注意列分式方程时要统一单位，求解后必须检验解的合理性。
【难度系数】
0.6
这是行程类应用题，核心公式为路程=速度×时间。(1)问求速度，可通过时间差建立等量关系：大巴走完全程的总时间比小车多，多出的时间为苏老师晚出发的30分钟（$\frac{1}{2}$小时）加上比大巴早到的15分钟（$\frac{1}{4}$小时），据此设未知数列分式方程求解即可，注意分式方程要检验解的合理性。(2)问是追及问题，追上时两车行驶的路程相等，大巴比小车多行驶半小时，据此列一元一次方程求出追及时间，再用总路程减去追及时小车行驶的路程，即可得到追上点到基地的距离。
【解析】
(1)设大巴车的平均速度为$x$ km/h，则小车的平均速度为$1.5x$ km/h。
根据大巴与小车的时间差列方程：
$\frac{90}{x}-\frac{90}{1.5x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$
解方程得：$x=40$
经检验：$x=40$是原方程的解，且符合实际意义。
则小车的平均速度为$1.5×40=60$（km/h）。
(2)设小车$y$小时追上大巴车，此时大巴车已行驶$(y+\frac{1}{2})$小时。
根据追及时两车路程相等列方程：
$60y=40(y+\frac{1}{2})$
解得：$y=1$
则追上大巴时小车已行驶路程为$1×60=60$（km），
苏老师追上大巴的地点到基地的路程为$90-60=30$（km）。
【答案】
(1)大巴车的平均速度为40 km/h，小车的平均速度为60 km/h；
(2)苏老师追上大巴的地点到基地的路程为30 km。
【知识点】
分式方程应用，行程追及问题，列方程解应用题
【点评】
本题是行程应用题的典型题型，既考查了分式方程的应用，也结合了追及问题的等量关系，解题的关键是准确梳理两种车辆的时间差、路程相等的等量关系，注意列分式方程时要统一单位，求解后必须检验解的合理性。
【难度系数】
0.6
2.从2007年4月18日开始，我国铁路第六次提速，某次列车平均提速$ v $ km/h.
(1)若提速前列车的平均速度为$ x $ km/h，行驶1200 km的路程，提速后比提速前少用多长时间？
(2)若$ v=50 $，行驶1200 km的路程，提速后所用时间是提速前的$\frac{4}{5}$，求提速前列车的平均速度？
(3)用相同的时间，列车提速前行驶$ s $ km，提速后比提速前多行驶50 km，则提速前的平均速度为多少？
(1)若提速前列车的平均速度为$ x $ km/h，行驶1200 km的路程，提速后比提速前少用多长时间？
(2)若$ v=50 $，行驶1200 km的路程，提速后所用时间是提速前的$\frac{4}{5}$，求提速前列车的平均速度？
(3)用相同的时间，列车提速前行驶$ s $ km，提速后比提速前多行驶50 km，则提速前的平均速度为多少？
答案
2.解:(1)$\frac{1200}{x}-\frac{1200}{x+v}=\frac{1200v}{x(x+v)}$(小时).
答:提速后少用$\frac{1200v}{x(x+v)}$小时.
(2)设提速前列车平均速度为x km/h.依题意,有$\frac{1200}{x+50}=\frac{4}{5}×\frac{1200}{x},x=200$,
经检验,$x=200$是原方程的解,
且符合题意.
答:提速前列车的平均速度为200 km/h.
(3)设提速前列车平均速度为x km/h.
依题意得$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x+v},x=\frac{sv}{50}$,
经检验,$x=\frac{sv}{50}$是原方程的解,且符合题意.
答:提速前的平均速度为$\frac{sv}{50}$ km/h.
答:提速后少用$\frac{1200v}{x(x+v)}$小时.
(2)设提速前列车平均速度为x km/h.依题意,有$\frac{1200}{x+50}=\frac{4}{5}×\frac{1200}{x},x=200$,
经检验,$x=200$是原方程的解,
且符合题意.
答:提速前列车的平均速度为200 km/h.
(3)设提速前列车平均速度为x km/h.
依题意得$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x+v},x=\frac{sv}{50}$,
经检验,$x=\frac{sv}{50}$是原方程的解,且符合题意.
答:提速前的平均速度为$\frac{sv}{50}$ km/h.
解析
【分析】
本题属于行程类分式应用问题，核心依据“路程=速度×时间”的关系解题：
(1) 分别根据公式求出提速前、后行驶1200km的用时，二者的差就是少用的时间，最后对结果通分化简即可；
(2) 设提速前列车平均速度为x km/h，抓住“提速后所用时间是提速前的$\frac{4}{5}$”这一等量关系列分式方程，解出结果后需检验是否符合实际及方程要求；
(3) 设提速前列车平均速度为x km/h，抓住“提速前后行驶时间相同”这一等量关系列方程，求解后检验即可。
【解析】
(1) 提速前行驶1200km的用时为$\frac{1200}{x}$小时，提速后速度为$(x+v)$km/h，行驶1200km的用时为$\frac{1200}{x+v}$小时，
则少用的时间为：$\frac{1200}{x}-\frac{1200}{x+v}=\frac{1200(x+v)-1200x}{x(x+v)}=\frac{1200v}{x(x+v)}$（小时）。
答：提速后比提速前少用$\frac{1200v}{x(x+v)}$小时。
(2) 设提速前列车平均速度为$x$ km/h，依题意得：
$\frac{1200}{x+50}=\frac{4}{5}×\frac{1200}{x}$
约去1200后交叉相乘得$5x=4(x+50)$，
解得$x=200$，
经检验，$x=200$是原方程的解，且符合实际意义。
答：提速前列车的平均速度为200 km/h。
(3) 设提速前列车平均速度为$x$ km/h，依题意得提速前后行驶时间相等：
$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x+v}$
交叉相乘得$s(x+v)=x(s+50)$，
展开化简得$sv=50x$，解得$x=\frac{sv}{50}$，
经检验，$x=\frac{sv}{50}$是原方程的解，且符合实际意义。
答：提速前的平均速度为$\frac{sv}{50}$ km/h。
【答案】
(1) $\frac{1200v}{x(x+v)}$小时；
(2) 200 km/h；
(3) $\frac{sv}{50}$ km/h
【知识点】
行程问题基本关系，分式运算，分式方程的应用
【点评】
本题是分式应用的典型行程类题型，解题核心是找准题干中的等量关系列代数式或方程，需要注意分式方程求解后必须检验根是否满足方程和实际要求，能有效考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题属于行程类分式应用问题，核心依据“路程=速度×时间”的关系解题：
(1) 分别根据公式求出提速前、后行驶1200km的用时，二者的差就是少用的时间，最后对结果通分化简即可；
(2) 设提速前列车平均速度为x km/h，抓住“提速后所用时间是提速前的$\frac{4}{5}$”这一等量关系列分式方程，解出结果后需检验是否符合实际及方程要求；
(3) 设提速前列车平均速度为x km/h，抓住“提速前后行驶时间相同”这一等量关系列方程，求解后检验即可。
【解析】
(1) 提速前行驶1200km的用时为$\frac{1200}{x}$小时，提速后速度为$(x+v)$km/h，行驶1200km的用时为$\frac{1200}{x+v}$小时，
则少用的时间为：$\frac{1200}{x}-\frac{1200}{x+v}=\frac{1200(x+v)-1200x}{x(x+v)}=\frac{1200v}{x(x+v)}$（小时）。
答：提速后比提速前少用$\frac{1200v}{x(x+v)}$小时。
(2) 设提速前列车平均速度为$x$ km/h，依题意得：
$\frac{1200}{x+50}=\frac{4}{5}×\frac{1200}{x}$
约去1200后交叉相乘得$5x=4(x+50)$，
解得$x=200$，
经检验，$x=200$是原方程的解，且符合实际意义。
答：提速前列车的平均速度为200 km/h。
(3) 设提速前列车平均速度为$x$ km/h，依题意得提速前后行驶时间相等：
$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x+v}$
交叉相乘得$s(x+v)=x(s+50)$，
展开化简得$sv=50x$，解得$x=\frac{sv}{50}$，
经检验，$x=\frac{sv}{50}$是原方程的解，且符合实际意义。
答：提速前的平均速度为$\frac{sv}{50}$ km/h。
【答案】
(1) $\frac{1200v}{x(x+v)}$小时；
(2) 200 km/h；
(3) $\frac{sv}{50}$ km/h
【知识点】
行程问题基本关系，分式运算，分式方程的应用
【点评】
本题是分式应用的典型行程类题型，解题核心是找准题干中的等量关系列代数式或方程，需要注意分式方程求解后必须检验根是否满足方程和实际要求，能有效考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
3.一辆汽车开往距离出发地 180 km 的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的 1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度.
答案
3.解:设汽车前1小时的速度为x千米/小时,依题意得:
$\frac{180-x}{1.5x}+1=\frac{180}{x}-\frac{2}{3}$,
解得:$x=60$,
经检验:$x=60$是原方程的解,且符合题意.
答:汽车前一小时的速度为60千米/小时.
$\frac{180-x}{1.5x}+1=\frac{180}{x}-\frac{2}{3}$,
解得:$x=60$,
经检验:$x=60$是原方程的解,且符合题意.
答:汽车前一小时的速度为60千米/小时.
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的关系找等量关系。首先明确已知条件：总路程180km，前1小时按原计划速度行驶，1小时后速度变为原速度的1.5倍，最终比原计划提前40分钟（即$\frac{2}{3}$小时）到达。我们可以设前一小时的行驶速度为x千米/小时，原计划走完全程的时间为$\frac{180}{x}$小时；实际行驶时间分为两部分：前1小时，加上行驶剩余路程（180-x）km、速度为1.5x千米/小时的用时，即$1+\frac{180-x}{1.5x}$小时。根据“实际用时=原计划用时-提前的时间”列方程即可，求解后需检验分式方程的根是否符合题意。
【解析】
解：设汽车前1小时的行驶速度为x千米/小时，40分钟=$\frac{2}{3}$小时。
依题意列方程：
$\frac{180-x}{1.5x}+1=\frac{180}{x}-\frac{2}{3}$
解方程：
方程两边同时乘3x消去分母，得：
$2(180-x)+3x=540-2x$
展开括号：$360-2x+3x=540-2x$
移项合并同类项：$3x=180$
解得：$x=60$
检验：当$x=60$时，$3x≠0$，所以$x=60$是原方程的解，且速度为60千米/小时符合实际行驶情况。
【答案】
前一小时的行驶速度为60千米/小时
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式；分式方程检验
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，解题关键是梳理清楚不同行驶阶段速度、路程、时间的对应关系，找准实际用时和原计划用时的等量关系。解题时要注意时间单位的统一，求解后不要遗漏检验环节，既要验证根是否为原分式方程的解，也要确认根符合实际意义。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的关系找等量关系。首先明确已知条件：总路程180km，前1小时按原计划速度行驶，1小时后速度变为原速度的1.5倍，最终比原计划提前40分钟（即$\frac{2}{3}$小时）到达。我们可以设前一小时的行驶速度为x千米/小时，原计划走完全程的时间为$\frac{180}{x}$小时；实际行驶时间分为两部分：前1小时，加上行驶剩余路程（180-x）km、速度为1.5x千米/小时的用时，即$1+\frac{180-x}{1.5x}$小时。根据“实际用时=原计划用时-提前的时间”列方程即可，求解后需检验分式方程的根是否符合题意。
【解析】
解：设汽车前1小时的行驶速度为x千米/小时，40分钟=$\frac{2}{3}$小时。
依题意列方程：
$\frac{180-x}{1.5x}+1=\frac{180}{x}-\frac{2}{3}$
解方程：
方程两边同时乘3x消去分母，得：
$2(180-x)+3x=540-2x$
展开括号：$360-2x+3x=540-2x$
移项合并同类项：$3x=180$
解得：$x=60$
检验：当$x=60$时，$3x≠0$，所以$x=60$是原方程的解，且速度为60千米/小时符合实际行驶情况。
【答案】
前一小时的行驶速度为60千米/小时
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式；分式方程检验
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，解题关键是梳理清楚不同行驶阶段速度、路程、时间的对应关系，找准实际用时和原计划用时的等量关系。解题时要注意时间单位的统一，求解后不要遗漏检验环节，既要验证根是否为原分式方程的解，也要确认根符合实际意义。
【难度系数】
0.6
