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【变式2】化简求值：
(1)$\frac{\sqrt{b} · a^{\frac{1}{3}}}{b^{-\frac{1}{2}} · \sqrt[3]{a^{-2}}} ÷ ( \frac{a^{-2} · \sqrt{b^{-2}}}{ab^2} )^{-\frac{2}{3}} \ (a＞0,b＞0);$
(2)$( \frac{27}{8} )^{-\frac{1}{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + 2} + 2 · (π - 1)^0 - 8^{\frac{1}{4}} × \sqrt[4]{2}.$
(1)$\frac{\sqrt{b} · a^{\frac{1}{3}}}{b^{-\frac{1}{2}} · \sqrt[3]{a^{-2}}} ÷ ( \frac{a^{-2} · \sqrt{b^{-2}}}{ab^2} )^{-\frac{2}{3}} \ (a＞0,b＞0);$
(2)$( \frac{27}{8} )^{-\frac{1}{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + 2} + 2 · (π - 1)^0 - 8^{\frac{1}{4}} × \sqrt[4]{2}.$
答案
(1)
$\frac{b^{\frac{1}{2}}· a^{\frac{1}{3}}}{b^{-\frac{1}{2}}· a^{-\frac{2}{3}}}÷(\frac{a^{-2}· b^{-1}}{ab^2})^{-\frac{2}{3}}=ab÷(a^{-3}b^{-3})^{-\frac{2}{3}}=ab÷(a^2b^2)=\frac{1}{ab}$.
(2)
$[(\frac{3}{2})^3]^{-\frac{1}{3}}+\frac{\sqrt{7}-2}{7-4}+2-2^{\frac{3}{4}}×2^{\frac{1}{4}}=(\frac{3}{2})^{-1}+\frac{\sqrt{7}-2}{3}+2-2=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{7}}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3}$.
$\frac{b^{\frac{1}{2}}· a^{\frac{1}{3}}}{b^{-\frac{1}{2}}· a^{-\frac{2}{3}}}÷(\frac{a^{-2}· b^{-1}}{ab^2})^{-\frac{2}{3}}=ab÷(a^{-3}b^{-3})^{-\frac{2}{3}}=ab÷(a^2b^2)=\frac{1}{ab}$.
(2)
$[(\frac{3}{2})^3]^{-\frac{1}{3}}+\frac{\sqrt{7}-2}{7-4}+2-2^{\frac{3}{4}}×2^{\frac{1}{4}}=(\frac{3}{2})^{-1}+\frac{\sqrt{7}-2}{3}+2-2=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{7}}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3}$.
【典例3】(教材变式题)已知$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=2$,求$\frac{a^{3}+a^{-3}+2}{a+a^{-1}-1}$的值.
解题指导 第一步,先对$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=2$两边平方,求出$a+a^{-1}$;
第二步,对$a+a^{-1}$平方,求出$a^{2}+a^{-2}$;
第三步,对$a^{3}+a^{-3}$利用立方和公式分解因式;
第四步,代入求解.
答案 解:因为$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=2$,所以$a+a^{-1}=(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^2 -2=2$,
则$a^{2}+a^{-2}=(a+a^{-1})^2 -2=2$,
所以$\frac{a^{3}+a^{-3}+2}{a+a^{-1}-1}=\frac{(a+a^{-1})(a^{2}+a^{-2}-1)+2}{a+a^{-1}-1}=\frac{2×(2-1)+2}{2-1}=4$.(立方和公式忘记,致使$a^{3}+a^{-3}$不会分解,注:$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}))$
方法总结
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母的取值代入求值.当字母的取值不知道或不易求出时,可将所求代数式适当地变形,构造出与已知条件相同或相似的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.在利用“整体代入法”求值时,要注意平方差公式、立方和(差)公式及完全平方公式的应用.
初高衔接
常用公式
①完全平方公式:$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$;
②平方差公式:$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$;
③立方和公式:$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$;
④立方差公式:$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
解题指导 第一步,先对$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=2$两边平方,求出$a+a^{-1}$;
第二步,对$a+a^{-1}$平方,求出$a^{2}+a^{-2}$;
第三步,对$a^{3}+a^{-3}$利用立方和公式分解因式;
第四步,代入求解.
答案 解:因为$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=2$,所以$a+a^{-1}=(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^2 -2=2$,
则$a^{2}+a^{-2}=(a+a^{-1})^2 -2=2$,
所以$\frac{a^{3}+a^{-3}+2}{a+a^{-1}-1}=\frac{(a+a^{-1})(a^{2}+a^{-2}-1)+2}{a+a^{-1}-1}=\frac{2×(2-1)+2}{2-1}=4$.(立方和公式忘记,致使$a^{3}+a^{-3}$不会分解,注:$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}))$
方法总结
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母的取值代入求值.当字母的取值不知道或不易求出时,可将所求代数式适当地变形,构造出与已知条件相同或相似的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.在利用“整体代入法”求值时,要注意平方差公式、立方和(差)公式及完全平方公式的应用.
初高衔接
常用公式
①完全平方公式:$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$;
②平方差公式:$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$;
③立方和公式:$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$;
④立方差公式:$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
答案
解：
将$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 2$两边同时平方，得：
$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = a + 2· a^{\frac{1}{2}}· a^{-\frac{1}{2}} + a^{-1} = a + a^{-1} + 2 = 4$
因此$a + a^{-1} = 2$。
将$a + a^{-1} = 2$两边同时平方，得：
$(a + a^{-1})^2 = a^2 + 2· a· a^{-1} + a^{-2} = a^2 + a^{-2} + 2 = 4$
因此$a^2 + a^{-2} = 2$。
根据立方和公式$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$，令$b=a^{-1}$，可得：
$a^3 + a^{-3} = (a + a^{-1})(a^2 - a· a^{-1} + a^{-2}) = (a + a^{-1})(a^2 + a^{-2} - 1)$
将上述结果代入所求代数式：
$\frac{a^3 + a^{-3} + 2}{a + a^{-1} - 1} = \frac{(a + a^{-1})(a^2 + a^{-2} - 1) + 2}{a + a^{-1} - 1} = \frac{2×(2 - 1) + 2}{2 - 1} = 4$
最终结果为$\boldsymbol{4}$。
将$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 2$两边同时平方，得：
$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = a + 2· a^{\frac{1}{2}}· a^{-\frac{1}{2}} + a^{-1} = a + a^{-1} + 2 = 4$
因此$a + a^{-1} = 2$。
将$a + a^{-1} = 2$两边同时平方，得：
$(a + a^{-1})^2 = a^2 + 2· a· a^{-1} + a^{-2} = a^2 + a^{-2} + 2 = 4$
因此$a^2 + a^{-2} = 2$。
根据立方和公式$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$，令$b=a^{-1}$，可得：
$a^3 + a^{-3} = (a + a^{-1})(a^2 - a· a^{-1} + a^{-2}) = (a + a^{-1})(a^2 + a^{-2} - 1)$
将上述结果代入所求代数式：
$\frac{a^3 + a^{-3} + 2}{a + a^{-1} - 1} = \frac{(a + a^{-1})(a^2 + a^{-2} - 1) + 2}{a + a^{-1} - 1} = \frac{2×(2 - 1) + 2}{2 - 1} = 4$
最终结果为$\boldsymbol{4}$。
【变式3】若$a+a^{-1}=3$，求$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}$的值。
答案
因为$a+a^{-1}=3$,所以$a＞0$,$a^{-1}＞0$,$a^{\frac{1}{2}}＞0$,$a^{-\frac{1}{2}}＞0$.$a+a^{-1}=(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^2-2=3$,化简,得$(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^2=5$,所以$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$.
[图1]
[图1]
