【变式4】已知函数$f(x)=\tan(\dfrac{π}{3}-2x)$。
(1)求$f(x)$的定义域；
(2)求$f(x)$的单调区间。

解：(1)由于函数$f(x)=\tan(\dfrac{π}{3}-2x)=-\tan(2x-\dfrac{π}{3})$，要使$f(x)$有意义，则$2x-\dfrac{π}{3}≠ kπ+\dfrac{π}{2},k\in\mathbf{Z}$，解得$x≠ \dfrac{kπ}{2}+\dfrac{5π}{12},k\in\mathbf{Z}$，
故$f(x)$的定义域为$\{x∣ x≠ \dfrac{kπ}{2}+\dfrac{5π}{12},k\in\mathbf{Z}\}$。
(2)由(1)，得$f(x)=-\tan(2x-\dfrac{π}{3})$，
所以$kπ-\dfrac{π}{2}＜2x-\dfrac{π}{3}＜kπ+\dfrac{π}{2},k\in\mathbf{Z}$，
解得$\dfrac{kπ}{2}-\dfrac{π}{12}＜x＜\dfrac{kπ}{2}+\dfrac{5π}{12},k\in\mathbf{Z}$，所以$f(x)$的单调递减区间为$(\dfrac{kπ}{2}-\dfrac{π}{12},\dfrac{kπ}{2}+\dfrac{5π}{12}),k\in\mathbf{Z}$，无单调递增区间。

【典例4】(1)(多选)已知函数$f(x)=\tan(2x-\dfrac{π}{6})$,则 ()
A.$f(x)$在定义域内是增函数
B.$f(x)$的最小正周期为$\dfrac{π}{2}$
C.$(\dfrac{7π}{12},0)$是$f(x)$图象的一个对称中心
D.直线$x=\dfrac{π}{6}$是$y=|f(x)|$图象的一条对称轴
(2)若函数$f(x)=3\tan(2x+\dfrac{π}{6}+\varphi)(\varphi＞0)$为奇函数,则$\varphi$的最小值为________.
解题指导 (1)对于A:举反例说明即可;对于B:根据正切型函数的最小正周期公式求解即可;对于C:根据正切函数的对称中心的特征分析判断即可;对于D:根据$y=|\tan x|$的对称轴分析判断即可.
(2)先根据奇函数的定义,求得$\varphi=-\dfrac{π}{6}-\dfrac{kπ}{2}(k\in\mathbf{Z})$,再根据$\varphi＞0$,即可得答案.
解析 (1)已知函数$f(x)=\tan(2x-\dfrac{π}{6})$.
对于A:因为$f(\dfrac{π}{12})=f(\dfrac{7π}{12})=0$,所以函数$f(x)$在定义域内不单调,故该选项错误;
对于B:$f(x)$的最小正周期为$T=\dfrac{π}{2}$,故该选项正确;
对于C:因为$f(\dfrac{7π}{12})=0$,所以$(\dfrac{7π}{12},0)$是$f(x)$图象的一个对称中心,故该选项正确;
对于D:因为$y=|\tan x|$的对称轴为$x=\dfrac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z}$,
所以在函数$f(x)=\tan(2x-\dfrac{π}{6})$中,当$x=\dfrac{π}{6}$时,$2x-\dfrac{π}{6}=\dfrac{π}{6}≠\dfrac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z}$,
所以直线$x=\dfrac{π}{6}$不是$y=|f(x)|$图象的一条对称轴,故该选项错误.
(2)因为函数$f(x)=3\tan(2x+\dfrac{π}{6}+\varphi)(\varphi＞0)$为奇函数,所以由$f(-x)=-f(x)$,得$3\tan(-2x+\dfrac{π}{6}+\varphi)=-3\tan(2x+\dfrac{π}{6}+\varphi)$,即$\tan(2x-\dfrac{π}{6}-\varphi)=\tan(2x+\dfrac{π}{6}+\varphi)$,
所以$2x-\dfrac{π}{6}-\varphi=2x+\dfrac{π}{6}+\varphi+kπ,k\in\mathbf{Z}$,
解得$\varphi=-\dfrac{π}{6}-\dfrac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z}$.
因为$\varphi＞0$,所以取$k=-1$,得$\varphi=\dfrac{π}{3}$,所以$\varphi$的最小值为$\dfrac{π}{3}$.(也可直接利用本考法【方法总结】(1)中的结论,得$\dfrac{π}{6}+\varphi=\dfrac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z}$,进而求解)
答案 (1)BC (2)$\dfrac{π}{3}$

(1) $\mathrm{BC}$；(2) $\frac{π}{3}$

解：
(1) 对于函数$f(x)=\tan(2x-\frac{π}{6})$：
选项A：正切型函数仅在各自的单调区间内递增，在整个定义域内不单调，例如$f(\frac{π}{12})=\tan0=0$，$f(\frac{7π}{12})=\tanπ=0$，存在不同自变量对应相等的函数值，故$f(x)$在定义域内不是增函数，A错误。
选项B：正切型函数的最小正周期公式为$T=\frac{π}{|ω|}$，此处$ω=2$，因此$T=\frac{π}{2}$，B正确。
选项C：正切函数$y=\tan x$的对称中心为$(\frac{kπ}{2},0),k\in\mathbb{Z}$，令$2x-\frac{π}{6}=\frac{kπ}{2}$，解得$x=\frac{kπ}{4}+\frac{π}{12},k\in\mathbb{Z}$，当$k=2$时，$x=\frac{7π}{12}$，故$(\frac{7π}{12},0)$是$f(x)$图象的一个对称中心，C正确。
选项D：$y=|\tan x|$的对称轴为$x=\frac{kπ}{2},k\in\mathbb{Z}$，令$2x-\frac{π}{6}=\frac{kπ}{2}$，得$y=|f(x)|$的对称轴为$x=\frac{kπ}{4}+\frac{π}{12},k\in\mathbb{Z}$，$x=\frac{π}{6}$不满足该形式，故直线$x=\frac{π}{6}$不是$y=|f(x)|$图象的对称轴，D错误。
因此(1)的答案为$\mathrm{BC}$。
(2) 因为$f(x)=3\tan(2x+\frac{π}{6}+\varphi)(\varphi＞0)$为奇函数，所以$\frac{π}{6}+\varphi=\frac{kπ}{2},k\in\mathbb{Z}$，即$\varphi=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6},k\in\mathbb{Z}$。
由$\varphi＞0$，取$k=1$，得$\varphi=\frac{π}{2}-\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，即$\varphi$的最小值为$\frac{π}{3}$。
最终