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1 [2026 如皋段测]如果关于 $x$ 的方程 $(ax+b)^2=c$（$a,b,c$ 为常数，$a ≠ 0$）能用直接开平方法求解，那么 $c$ 的取值范围是
（
A.$c ≥ 0$
B.$c ≤ 0$
C.$c ＜ 0$
D.$c ＞ 0$
（
A
）A.$c ≥ 0$
B.$c ≤ 0$
C.$c ＜ 0$
D.$c ＞ 0$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确直接开平方法解一元二次方程的核心条件：形如$M^2 = k$（$M$为整式）的方程，只有当$k ≥ 0$时，才能在实数范围内用直接开平方法求解（因为任何实数的平方都为非负数）。本题中方程$(ax+b)^2 = c$可将$ax+b$看作整体，对应$M^2 = k$中的$M^2$，因此需保证$c$满足平方数的非负性要求，进而确定$c$的取值范围。
【解析】
直接开平方法适用于形如$M^2 = k$的方程，根据平方的非负性，任何实数的平方都大于等于0，即$M^2 ≥ 0$。若方程$(ax+b)^2 = c$能用直接开平方法求解，则右边的$c$必须等于左边平方的结果，因此$c ≥ 0$。当$c ＜ 0$时，方程在实数范围内无意义，无法用直接开平方法求解；$c=0$时，方程有解，也能用直接开平方法。故$c$的取值范围是$c ≥ 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法、平方的非负性
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的适用条件，核心是利用平方数的非负性判断，属于基础题型，需熟练掌握直接开平方法的原理。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需明确直接开平方法解一元二次方程的核心条件：形如$M^2 = k$（$M$为整式）的方程，只有当$k ≥ 0$时，才能在实数范围内用直接开平方法求解（因为任何实数的平方都为非负数）。本题中方程$(ax+b)^2 = c$可将$ax+b$看作整体，对应$M^2 = k$中的$M^2$，因此需保证$c$满足平方数的非负性要求，进而确定$c$的取值范围。
【解析】
直接开平方法适用于形如$M^2 = k$的方程，根据平方的非负性，任何实数的平方都大于等于0，即$M^2 ≥ 0$。若方程$(ax+b)^2 = c$能用直接开平方法求解，则右边的$c$必须等于左边平方的结果，因此$c ≥ 0$。当$c ＜ 0$时，方程在实数范围内无意义，无法用直接开平方法求解；$c=0$时，方程有解，也能用直接开平方法。故$c$的取值范围是$c ≥ 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法、平方的非负性
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的适用条件，核心是利用平方数的非负性判断，属于基础题型，需熟练掌握直接开平方法的原理。
【难度系数】
0.8
2 [2026 如东段测]由平方根的定义,可将一元二次方程$(x-1)^{2}=9$转化为一元一次方程,正确的结果是（
A.$x-1=3$
B.$x-1=-3$
C.$x-1=3$ 或 $x-1=-3$
D.$x-1=3$ 且 $x-1=-3$
C
）A.$x-1=3$
B.$x-1=-3$
C.$x-1=3$ 或 $x-1=-3$
D.$x-1=3$ 且 $x-1=-3$
答案
2. C
解析
【分析】本题考查利用平方根的定义解一元二次方程，解题思路是：根据平方根的定义，若一个数的平方等于正数a，那么这个数有两个，分别为√a和-√a（互为相反数）。对于方程$(x-1)^2=9$，把$(x-1)$当作整体，它的平方等于9，因此这个整体的取值为9的两个平方根，即3和-3，据此转化为对应的一元一次方程，判断正确选项。
【解析】根据平方根的定义，若$a^2=b$（$b＞0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。在方程$(x-1)^2=9$中，令$a=x-1$，$b=9$，则$x-1=\sqrt{9}=3$或$x-1=-\sqrt{9}=-3$，因此转化后的一元一次方程为$x-1=3$或$x-1=-3$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】平方根的定义、一元二次方程的解法
【点评】本题是对平方根定义的基础考查，核心是理解正数的平方根有两个且互为相反数，解此类方程时需注意不要漏解，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.8
【解析】根据平方根的定义，若$a^2=b$（$b＞0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。在方程$(x-1)^2=9$中，令$a=x-1$，$b=9$，则$x-1=\sqrt{9}=3$或$x-1=-\sqrt{9}=-3$，因此转化后的一元一次方程为$x-1=3$或$x-1=-3$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】平方根的定义、一元二次方程的解法
【点评】本题是对平方根定义的基础考查，核心是理解正数的平方根有两个且互为相反数，解此类方程时需注意不要漏解，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.8
3 一元二次方程 $4x^{2}-9=0$ 的根为（
A.$x_{1}=x_{2}=\dfrac{2}{3}$
B.$x_{1}=x_{2}=\dfrac{3}{2}$
C.$x_{1}=\dfrac{3}{2},x_{2}=-\dfrac{3}{2}$
D.$x_{1}=\dfrac{2}{3},x_{2}=-\dfrac{2}{3}$
C
）A.$x_{1}=x_{2}=\dfrac{2}{3}$
B.$x_{1}=x_{2}=\dfrac{3}{2}$
C.$x_{1}=\dfrac{3}{2},x_{2}=-\dfrac{3}{2}$
D.$x_{1}=\dfrac{2}{3},x_{2}=-\dfrac{2}{3}$
答案
3. C
解析
【分析】本题考查一元二次方程的求解，由于所给方程无一次项，适合用直接开平方法解题。解题思路为：先移项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，最后对等式两边开平方，即可得到方程的两个根，再对应选项选出正确答案。
【解析】解：对一元二次方程$4x^2 -9=0$移项，得$4x^2=9$；两边同时除以4，得$x^2=\frac{9}{4}$；根据平方根的定义，开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$，因此方程的根为$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解法、直接开平方法
【点评】本题是一元二次方程的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题步骤清晰易懂，只要掌握基本的移项、化系数、开平方操作即可正确解答。
【难度系数】0.8
【解析】解：对一元二次方程$4x^2 -9=0$移项，得$4x^2=9$；两边同时除以4，得$x^2=\frac{9}{4}$；根据平方根的定义，开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$，因此方程的根为$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解法、直接开平方法
【点评】本题是一元二次方程的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题步骤清晰易懂，只要掌握基本的移项、化系数、开平方操作即可正确解答。
【难度系数】0.8
4 一个正方形的边长增加 2 cm 后的面积为 $144\ \mathrm{cm}^{2}$,那么原正方形的周长为 （
A.48 cm
B.40 cm
C.12 cm
D.10 cm
B
）A.48 cm
B.40 cm
C.12 cm
D.10 cm
答案
4. B
解析
【分析】要解决这个问题，需先根据边长增加后的正方形面积求出新边长，再计算原正方形的边长，最后依据正方形周长公式得出结果。具体思路：1. 利用正方形面积公式，由新面积算出新边长；2. 用新边长减去增加的2cm得到原边长；3. 用原边长乘以4得到周长，对应选项即可。
【解析】设原正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，边长增加2cm后为$ (x+2) \, \mathrm{cm} $。根据正方形面积公式：
$(x+2)^2 = 144$
因为边长为正数，所以$ x+2 = \sqrt{144} = 12 $（舍去负根$ x+2=-12 $，边长不能为负），解得$ x = 12 - 2 = 10 \, \mathrm{cm} $。
原正方形的周长为：$ 4 × 10 = 40 \, \mathrm{cm} $，对应选项B。
【答案】B
【知识点】正方形面积计算、正方形周长计算、平方根应用
【点评】本题是基础几何题，考查正方形的面积和周长公式，解题核心是通过面积反推边长，步骤清晰，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.7
【解析】设原正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，边长增加2cm后为$ (x+2) \, \mathrm{cm} $。根据正方形面积公式：
$(x+2)^2 = 144$
因为边长为正数，所以$ x+2 = \sqrt{144} = 12 $（舍去负根$ x+2=-12 $，边长不能为负），解得$ x = 12 - 2 = 10 \, \mathrm{cm} $。
原正方形的周长为：$ 4 × 10 = 40 \, \mathrm{cm} $，对应选项B。
【答案】B
【知识点】正方形面积计算、正方形周长计算、平方根应用
【点评】本题是基础几何题，考查正方形的面积和周长公式，解题核心是通过面积反推边长，步骤清晰，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.7
5 新考向 结论开放题 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(x+5)^2=c$ 有正整数根,则 $c$ 的值可以为
(写出一个即可).
答案不唯一，如36
(写出一个即可).
答案
5. 答案不唯一,如 36
解析
【分析】
首先用直接开平方法求解方程$(x+5)^2=c$，得到根的表达式为$x=-5\pm\sqrt{c}$。因为方程要有正整数根，所以$\sqrt{c}$必须是正整数（保证根为整数），且正根$x=-5+\sqrt{c}$需大于0，即$\sqrt{c}＞5$。只需取一个满足条件的正整数作为$\sqrt{c}$，其平方即为$c$的值，例如取$\sqrt{c}=6$，即可得到符合要求的$c$。
【解析】
对一元二次方程$(x+5)^2=c$直接开平方，得$x+5=\pm\sqrt{c}$，因此方程的根为$x_1=-5+\sqrt{c}$，$x_2=-5-\sqrt{c}$。
因为方程有正整数根，所以$\sqrt{c}$必须是正整数，且正根$x_1=-5+\sqrt{c}＞0$，即$\sqrt{c}＞5$。
取$\sqrt{c}=6$（满足$\sqrt{c}＞5$的正整数），则$c=6^2=36$，此时方程的根为$x=-5+6=1$，是正整数，符合题意。
【答案】
36
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根
【点评】
本题是结论开放题，考查直接开平方法解一元二次方程的灵活运用，关键是根据正整数根的条件确定参数$c$的取值，答案不唯一，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先用直接开平方法求解方程$(x+5)^2=c$，得到根的表达式为$x=-5\pm\sqrt{c}$。因为方程要有正整数根，所以$\sqrt{c}$必须是正整数（保证根为整数），且正根$x=-5+\sqrt{c}$需大于0，即$\sqrt{c}＞5$。只需取一个满足条件的正整数作为$\sqrt{c}$，其平方即为$c$的值，例如取$\sqrt{c}=6$，即可得到符合要求的$c$。
【解析】
对一元二次方程$(x+5)^2=c$直接开平方，得$x+5=\pm\sqrt{c}$，因此方程的根为$x_1=-5+\sqrt{c}$，$x_2=-5-\sqrt{c}$。
因为方程有正整数根，所以$\sqrt{c}$必须是正整数，且正根$x_1=-5+\sqrt{c}＞0$，即$\sqrt{c}＞5$。
取$\sqrt{c}=6$（满足$\sqrt{c}＞5$的正整数），则$c=6^2=36$，此时方程的根为$x=-5+6=1$，是正整数，符合题意。
【答案】
36
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根
【点评】
本题是结论开放题，考查直接开平方法解一元二次方程的灵活运用，关键是根据正整数根的条件确定参数$c$的取值，答案不唯一，难度适中。
【难度系数】
0.5
6 若要使整式 $3x^{2}-6$ 的值等于 21 , 则 $x$ 的值是
±3
。答案
6. ±3
解析
【分析】首先根据题目中整式的值等于21的条件，列出对应的一元二次方程，再通过移项、系数化为1等步骤化简方程，最后利用平方根的定义求出x的值，思路是先转化为方程，再逐步求解。
【解析】根据题意，列方程得：
$3x^2 - 6 = 21$
移项，得：$3x^2 = 21 + 6$
合并同类项，得：$3x^2 = 27$
两边同时除以3，得：$x^2 = 9$
根据平方根的定义，若$x^2=9$，则$x = ±3$
【答案】±3
【知识点】一元二次方程求解、平方根的应用
【点评】本题为基础题型，考查一元二次方程的简单解法，步骤清晰，计算量小，主要用于巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】根据题意，列方程得：
$3x^2 - 6 = 21$
移项，得：$3x^2 = 21 + 6$
合并同类项，得：$3x^2 = 27$
两边同时除以3，得：$x^2 = 9$
根据平方根的定义，若$x^2=9$，则$x = ±3$
【答案】±3
【知识点】一元二次方程求解、平方根的应用
【点评】本题为基础题型，考查一元二次方程的简单解法，步骤清晰，计算量小，主要用于巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
7 若关于 $x$ 的方程 $(ax-1)^2-4=0$ 的一个根是 $x=2$，则 $a$ 的值为
$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{3}{2}$
。答案
7. $-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
要确定a的值，根据方程根的定义，将已知根x=2代入原方程，可得到关于a的方程，解该方程即可求出a的值，注意开平方时会产生两个解，需全部求出。
【解析】
将x=2代入方程$(ax-1)^2 -4=0$，得：
$(2a -1)^2 -4 = 0$
移项得：$(2a -1)^2 = 4$
根据平方根的定义，开平方得：
$2a -1 = ±2$
分两种情况计算：
① 当$2a -1 = 2$时，$2a = 3$，解得$a = \dfrac{3}{2}$；
② 当$2a -1 = -2$时，$2a = -1$，解得$a = -\dfrac{1}{2}$；
综上，a的值为$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
方程的根的定义、解一元二次方程
【点评】
本题考查方程根的基础应用，难度较低，核心是利用方程根的定义代入求解，需注意开平方时的两个解，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要确定a的值，根据方程根的定义，将已知根x=2代入原方程，可得到关于a的方程，解该方程即可求出a的值，注意开平方时会产生两个解，需全部求出。
【解析】
将x=2代入方程$(ax-1)^2 -4=0$，得：
$(2a -1)^2 -4 = 0$
移项得：$(2a -1)^2 = 4$
根据平方根的定义，开平方得：
$2a -1 = ±2$
分两种情况计算：
① 当$2a -1 = 2$时，$2a = 3$，解得$a = \dfrac{3}{2}$；
② 当$2a -1 = -2$时，$2a = -1$，解得$a = -\dfrac{1}{2}$；
综上，a的值为$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
方程的根的定义、解一元二次方程
【点评】
本题考查方程根的基础应用，难度较低，核心是利用方程根的定义代入求解，需注意开平方时的两个解，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
8 教材变式题 解下列方程：
(1) $\dfrac{1}{2}y^{2}=10$；
(2) $(2x-3)^{2}=64$；
(3) $(3x+1)^{2}-32=0$；
(4) $(2x-3)^{2}=(x+5)^{2}.$
(1) $\dfrac{1}{2}y^{2}=10$；
(2) $(2x-3)^{2}=64$；
(3) $(3x+1)^{2}-32=0$；
(4) $(2x-3)^{2}=(x+5)^{2}.$
答案
8. (1) $y_1=2\sqrt{5},y_2=-2\sqrt{5}$ (2) $x_1=\dfrac{11}{2},x_2=-\dfrac{5}{2}$ (3) $x_1=\dfrac{-1+4\sqrt{2}}{3},x_2=\dfrac{-1-4\sqrt{2}}{3}$ (4) $x_1=8,x_2=-\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
这四个方程均为可通过直接开平方法求解的一元二次方程，解题思路是：对于形如$A^2 = B$（$B≥0$）的式子，根据平方根的定义，$A = \pm\sqrt{B}$，据此转化为一元一次方程求解。具体到各小题：(1)先将方程化为$y^2 = a$的形式再开平方；(2)直接对左边整体开平方；(3)移项后化为$(mx+n)^2 = a$的形式再开平方；(4)利用平方相等则平方根互为相反数或相等，转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 方程两边同乘2，得$y^2 = 20$，根据平方根的定义，$y = \pm\sqrt{20} = \pm2\sqrt{5}$，因此方程的解为$y_1 = 2\sqrt{5}$，$y_2 = -2\sqrt{5}$；
(2) 对等式两边直接开平方，得$2x - 3 = \pm8$，分两种情况：
① 当$2x - 3 = 8$时，移项得$2x = 11$，解得$x = \frac{11}{2}$；
② 当$2x - 3 = -8$时，移项得$2x = -5$，解得$x = -\frac{5}{2}$；
因此方程的解为$x_1 = \frac{11}{2}$，$x_2 = -\frac{5}{2}$；
(3) 移项得$(3x + 1)^2 = 32$，对等式两边开平方，得$3x + 1 = \pm\sqrt{32} = \pm4\sqrt{2}$，移项得$3x = -1 \pm4\sqrt{2}$，两边同除以3，得$x = \frac{-1 \pm4\sqrt{2}}{3}$，因此方程的解为$x_1 = \frac{-1 + 4\sqrt{2}}{3}$，$x_2 = \frac{-1 -4\sqrt{2}}{3}$；
(4) 对等式两边开平方，得$2x - 3 = \pm(x + 5)$，分两种情况：
① 当$2x - 3 = x + 5$时，移项得$2x - x = 5 + 3$，解得$x = 8$；
② 当$2x - 3 = -(x + 5)$时，展开得$2x - 3 = -x -5$，移项得$2x + x = -5 + 3$，合并同类项得$3x = -2$，解得$x = -\frac{2}{3}$；
因此方程的解为$x_1 = 8$，$x_2 = -\frac{2}{3}$；
【答案】
(1) $y_1=2\sqrt{5},y_2=-2\sqrt{5}$；(2) $x_1=\dfrac{11}{2},x_2=-\dfrac{5}{2}$；(3) $x_1=\dfrac{-1+4\sqrt{2}}{3},x_2=\dfrac{-1-4\sqrt{2}}{3}$；(4) $x_1=8,x_2=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的定义
【点评】
本题为教材变式题，聚焦直接开平方法解一元二次方程的核心知识点，题型基础，步骤清晰，需注意开平方后正负两种情况的讨论，以及移项、计算的准确性，是巩固一元二次方程基本解法的典型题目。
【难度系数】
0.6
这四个方程均为可通过直接开平方法求解的一元二次方程，解题思路是：对于形如$A^2 = B$（$B≥0$）的式子，根据平方根的定义，$A = \pm\sqrt{B}$，据此转化为一元一次方程求解。具体到各小题：(1)先将方程化为$y^2 = a$的形式再开平方；(2)直接对左边整体开平方；(3)移项后化为$(mx+n)^2 = a$的形式再开平方；(4)利用平方相等则平方根互为相反数或相等，转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 方程两边同乘2，得$y^2 = 20$，根据平方根的定义，$y = \pm\sqrt{20} = \pm2\sqrt{5}$，因此方程的解为$y_1 = 2\sqrt{5}$，$y_2 = -2\sqrt{5}$；
(2) 对等式两边直接开平方，得$2x - 3 = \pm8$，分两种情况：
① 当$2x - 3 = 8$时，移项得$2x = 11$，解得$x = \frac{11}{2}$；
② 当$2x - 3 = -8$时，移项得$2x = -5$，解得$x = -\frac{5}{2}$；
因此方程的解为$x_1 = \frac{11}{2}$，$x_2 = -\frac{5}{2}$；
(3) 移项得$(3x + 1)^2 = 32$，对等式两边开平方，得$3x + 1 = \pm\sqrt{32} = \pm4\sqrt{2}$，移项得$3x = -1 \pm4\sqrt{2}$，两边同除以3，得$x = \frac{-1 \pm4\sqrt{2}}{3}$，因此方程的解为$x_1 = \frac{-1 + 4\sqrt{2}}{3}$，$x_2 = \frac{-1 -4\sqrt{2}}{3}$；
(4) 对等式两边开平方，得$2x - 3 = \pm(x + 5)$，分两种情况：
① 当$2x - 3 = x + 5$时，移项得$2x - x = 5 + 3$，解得$x = 8$；
② 当$2x - 3 = -(x + 5)$时，展开得$2x - 3 = -x -5$，移项得$2x + x = -5 + 3$，合并同类项得$3x = -2$，解得$x = -\frac{2}{3}$；
因此方程的解为$x_1 = 8$，$x_2 = -\frac{2}{3}$；
【答案】
(1) $y_1=2\sqrt{5},y_2=-2\sqrt{5}$；(2) $x_1=\dfrac{11}{2},x_2=-\dfrac{5}{2}$；(3) $x_1=\dfrac{-1+4\sqrt{2}}{3},x_2=\dfrac{-1-4\sqrt{2}}{3}$；(4) $x_1=8,x_2=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的定义
【点评】
本题为教材变式题，聚焦直接开平方法解一元二次方程的核心知识点，题型基础，步骤清晰，需注意开平方后正负两种情况的讨论，以及移项、计算的准确性，是巩固一元二次方程基本解法的典型题目。
【难度系数】
0.6
