三、解答题
11 如图,二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象经过点 $A(1,-2),B(0,-5)$.
(1) 求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标;
(2) 当 $y ≤ -2$ 时,请根据图象直接写出 $x$ 的取值范围.

11. (1) 把 $A(1,-2),B(0,-5)$代入 $y=x^2+bx+c$,得
$\begin{cases}1+b+c=-2,\\c=-5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=-5.\end{cases}$ $\therefore$ 二次函数的解析式为 $y=x^2+2x-5.$ $\because y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6,\therefore$ 图象的顶点坐标为$(-1,-6)$
(2) 如图,易得点 $A(1,-2)$关于对称轴直线$x=-1$ 的对称点为 $C(-3,-2),\therefore$ 当 $y≤-2$时,$x$ 的取值范围是$-3≤ x≤1$

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用待定系数法，将已知点A、B的坐标代入二次函数解析式，求解系数b、c，再通过配方得到顶点坐标；第(2)问利用二次函数的对称性，找到点A关于对称轴的对称点，结合图像确定y≤-2时x的取值范围。
【解析】
(1) 将点A(1,-2)、B(0,-5)代入二次函数$y=x^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}1 + b + c = -2 \\ c = -5\end{cases}$
将$c=-5$代入第一个方程，解得$b=2$，因此二次函数的解析式为$y=x^2+2x-5$。
将解析式配方：$y=x^2+2x-5=(x+1)^2 - 6$，所以顶点坐标为$(-1,-6)$。
(2) 二次函数$y=x^2+2x-5$的对称轴为直线$x=-1$，点A(1,-2)关于对称轴$x=-1$的对称点为$C(-3,-2)$，结合图像可知，当$y≤-2$时，$x$的取值范围是$-3≤x≤1$。
【答案】
(1) 二次函数解析式为$y=x^2+2x-5$，顶点坐标为$(-1,-6)$；
(2) $x$的取值范围是$-3≤x≤1$

【知识点】
二次函数解析式、二次函数顶点坐标、二次函数对称性
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，需掌握待定系数法求解析式、配方求顶点，以及利用对称性确定函数值对应的自变量范围，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7

12 把抛物线 $C_1:y=x^2+2x+3$ 先向右平移 4 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度得到抛物线 $C_2$.
(1) 直接写出抛物线 $C_2$ 对应的函数解析式.
(2) 动点 $P(a,-6)$ 是否在抛物线 $C_2$ 上? 请说明理由.
(3) 若点 $A(m,y_1),B(n,y_2)$ 都在抛物线 $C_2$ 上,且 $m＜n＜0$,请比较 $y_1,y_2$ 的大小,并说明理由.

12. (1) $y=(x-3)^2-3$
(2) 动点 $P(a,-6)$不在抛物线 $C_2$ 上
理由:由(1),知抛物线 $C_2$ 对应的函数解析式为 $y=(x-3)^2-3,\therefore$ 函数的最小值为$-3.$ $\because -6＜-3,\therefore$ 动点 $P(a,-6)$不在抛物线 $C_2$ 上.
(3) $y_1＞y_2$ 理由:$\because$ 抛物线 $C_2$ 对应的函数解析式为 $y=(x-3)^2-3,\therefore$ 抛物线的开口向上,对称轴为直线$x=3.$ $\therefore$ 当 $x＜3$时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小. $\because$ 点 $A(m,y_1)$,$B(n,y_2)$都在抛物线 $C_2$ 上,且 $m＜n＜0＜3,\therefore y_1＞y_2.$

【分析】
本题主要考查二次函数的平移规律及图像性质，解题思路如下：
1. 处理抛物线平移问题时，先将原抛物线化为顶点式，再依据“左加右减，上加下减”的平移规则，逐步推导平移后的解析式；
2. 判断动点是否在抛物线上，可通过分析抛物线的最值：开口向上时，函数最小值为顶点纵坐标，若点的纵坐标小于该最小值，则点不在抛物线上；
3. 比较抛物线上两点的函数值大小，需先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据对称轴两侧的增减性，结合两点横坐标的范围判断函数值的大小关系。
【解析】
(1) 先将抛物线$ C_1: y=x^2+2x+3 $配方化为顶点式：
$ y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2 $，
根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，向右平移4个单位长度，即将$ x $替换为$ x-4 $，得：
$ y=(x+1-4)^2+2=(x-3)^2+2 $，
再向下平移5个单位长度，即将常数项减5，得：
$ y=(x-3)^2+2-5=(x-3)^2-3 $，
故抛物线$ C_2 $的函数解析式为$ y=(x-3)^2-3 $。
(2) 由(1)知抛物线$ C_2 $的解析式为$ y=(x-3)^2-3 $，该抛物线开口向上，顶点纵坐标为$-3$，因此函数的最小值为$-3$。
因为动点$ P(a,-6) $的纵坐标$-6 ＜ -3$，小于函数的最小值，所以动点$ P(a,-6) $不在抛物线$ C_2 $上。
(3) 由(1)知抛物线$ C_2 $的解析式为$ y=(x-3)^2-3 $，该抛物线开口向上，对称轴为直线$ x=3 $。
根据二次函数的性质：当$ x ＜ 3 $时，$ y $随$ x $的增大而减小。
已知点$ A(m,y_1) $、$ B(n,y_2) $都在抛物线$ C_2 $上，且$ m ＜ n ＜ 0 ＜ 3 $，即两点都在对称轴$ x=3 $的左侧，因此$ y_1 ＞ y_2 $。
【答案】
(1) $ y=(x-3)^2-3 $；
(2) 动点$ P(a,-6) $不在抛物线$ C_2 $上；
(3) $ y_1 ＞ y_2 $。
【知识点】
抛物线的平移；二次函数的图像与性质
【点评】
本题考查二次函数的平移规律、最值及增减性，属于二次函数的基础应用题型，需熟练掌握顶点式平移规则和图像性质，难度适中。
【难度系数】
0.3

13 [2024 甘南]如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y=ax^2+bx-5(a ≠ 0)$ 交 $x$ 轴于 $A,C$ 两点,交 $y$ 轴于点 $B$,$5OA=OB=OC$,连接 $BC$.
(1) 求此抛物线对应的函数解析式.
(2) 已知抛物线的对称轴上存在一点 $M$,使得 $△ ABM$ 的周长最小,请求出点 $M$ 的坐标.
(3) 若 $P$ 是线段 $BC$ 上一点,过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交抛物线于点 $Q$. 当四边形 $OBQP$ 为平行四边形时,求点 $P$ 的坐标.

13. (1) 由抛物线对应的函数解析式知,$-5=y_B$,则 $OB=5.$
$\because 5OA=OB=OC,\therefore OA=1,OC=5.$ $\therefore$ 点 $A,C,B$ 的坐标分别为$(1,0),(-5,0),(0,-5).$ 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)(x+5)=a(x^2+4x-5)=ax^2+4ax-5a=ax^2+bx-5,$则$-5a=-5,$即 $a=1.$ $\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2+4x-5$
(2) 点 $A$ 关于抛物线的对称轴直线$x=-2$对称的点为 $C$,则 $BC$ 交抛物线的对称轴于点 $M$,此时$△ ABM$ 的周长最小. 由点 $B,C$ 的坐标易得直线 $BC$ 对应的函数解析式为$y=-x-5,$当 $x=-2$时,$y=-3,\therefore$ 点 $M$ 的坐标为$(-2,-3)$
(3) 设 $P(x,-x-5)$,则 $Q(x,x^2+4x-5).$ $\therefore PQ=(-x-5)-(x^2+4x-5)=-x^2-5x.$ $\because PQ// OB,\therefore$ 当 $PQ=OB$ 时,满足条件,即$-x^2-5x=5,$解得 $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5}}{2}.$ $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(\dfrac{-5+\sqrt{5}}{2},\dfrac{-5-\sqrt{5}}{2})$或$(\dfrac{-5-\sqrt{5}}{2},\dfrac{-5+\sqrt{5}}{2})$

【分析】
1. 第(1)问：先根据抛物线解析式确定B点坐标，由OB=5，结合5OA=OB=OC算出OA、OC的长度，得到A、C两点坐标，再用交点式设抛物线解析式，代入求解得函数式。
2. 第(2)问：△ABM的周长=AB+AM+BM，AB为定值，要使周长最小，需AM+BM最小，利用对称点性质，A关于抛物线对称轴的对称点为C，连接BC与对称轴的交点即为M，求出BC的直线解析式，代入对称轴横坐标得M坐标。
3. 第(3)问：四边形OBQP为平行四边形，因OB//PQ，故只需PQ=OB，先求BC的直线解析式，设P、Q的坐标，计算PQ的长度，令其等于OB=5，解方程得x，进而得到P点坐标。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+bx-5$，当$x=0$时，$y=-5$，故$B(0,-5)$，则$OB=5$。
由$5OA=OB=OC$，得$OA=1$，$OC=5$，结合图像知$A(1,0)$，$C(-5,0)$。
设抛物线解析式为$y=a(x-1)(x+5)$，展开得$y=ax^2+4ax-5a$，对比$y=ax^2+bx-5$，得$-5a=-5$，解得$a=1$，故抛物线解析式为$y=x^2+4x-5$。
(2) 抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$。
要使$△ ABM$周长最小，因$AB$为定长，需$AM+BM$最小，A关于对称轴的对称点为C，故连接BC，BC与对称轴的交点即为M。
设直线BC解析式为$y=kx+m$，代入$B(0,-5)$、$C(-5,0)$，得$\begin{cases}m=-5\\-5k+m=0\end{cases}$，解得$k=-1$，$m=-5$，故直线BC：$y=-x-5$。
当$x=-2$时，$y=-(-2)-5=-3$，故$M(-2,-3)$。
(3) 设$P(x,-x-5)$，因Q在抛物线上且横坐标与P相同，故$Q(x,x^2+4x-5)$。
四边形OBQP为平行四边形，$OB// PQ$，故需$PQ=OB=5$。
计算$PQ=(-x-5)-(x^2+4x-5)=-x^2-5x$，令$-x^2-5x=5$，整理得$x^2+5x+5=0$，解得$x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2}$。
代入P的解析式，得P点坐标为$(\frac{-5+\sqrt{5}}{2},\frac{-5-\sqrt{5}}{2})$或$(\frac{-5-\sqrt{5}}{2},\frac{-5+\sqrt{5}}{2})$。
【答案】
(1) $y=x^2+4x-5$；
(2) $(-2,-3)$；
(3) $(\frac{-5+\sqrt{5}}{2},\frac{-5-\sqrt{5}}{2})$、$(\frac{-5-\sqrt{5}}{2},\frac{-5+\sqrt{5}}{2})$
【知识点】
二次函数解析式、最短路径问题、平行四边形性质
【点评】
本题为二次函数综合题，融合了坐标求解、对称求最短路径、平行四边形性质等知识点，需熟练掌握二次函数基本性质及几何图形的判定与性质，综合性较强，对学生的综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.5