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1.如图,在等边三角形 ABC 中,若$AD⊥BC,BE⊥AC,AD,BE$相交于点 F,则$∠AFE$的大小为()
A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$
A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，需结合等边三角形的性质和直角三角形的内角关系推导。首先明确等边三角形的内角均为60°，且等边三角形的高同时是角平分线；再利用直角三角形两锐角互余的性质计算目标角的度数。步骤：1. 确定等边三角形ABC的∠BAC=60°；2. 由BE⊥AC得∠AEB=90°，结合AD是等边三角形的高，得出AD平分∠BAC，进而得到∠EAF=30°；3. 在Rt△AEF中，利用直角三角形内角和计算∠AFE。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AD平分∠BAC（等边三角形的高与角平分线重合），且∠AEB=90°，
∴∠EAF = ½∠BAC = ½×60° = 30°，
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，
∴∠AFE = 90°−∠EAF = 90°−30° = 60°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形性质、直角三角形内角关系
【点评】
本题属于基础题，考查等边三角形的性质及直角三角形的角度计算，核心是利用等边三角形高的角平分线性质，快速求出相关角的度数，解题思路清晰，学生易掌握。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需结合等边三角形的性质和直角三角形的内角关系推导。首先明确等边三角形的内角均为60°，且等边三角形的高同时是角平分线；再利用直角三角形两锐角互余的性质计算目标角的度数。步骤：1. 确定等边三角形ABC的∠BAC=60°；2. 由BE⊥AC得∠AEB=90°，结合AD是等边三角形的高，得出AD平分∠BAC，进而得到∠EAF=30°；3. 在Rt△AEF中，利用直角三角形内角和计算∠AFE。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AD平分∠BAC（等边三角形的高与角平分线重合），且∠AEB=90°，
∴∠EAF = ½∠BAC = ½×60° = 30°，
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，
∴∠AFE = 90°−∠EAF = 90°−30° = 60°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形性质、直角三角形内角关系
【点评】
本题属于基础题，考查等边三角形的性质及直角三角形的角度计算，核心是利用等边三角形高的角平分线性质，快速求出相关角的度数，解题思路清晰，学生易掌握。
【难度系数】
0.3
2. 如图,已知$△ ABC$是等边三角形,点$B,C,D,E$在同一条直线上。若$CG=CD,DF=DE$,则$∠ E=(\quad)$
A.$25°$
B.$20°$
C.$15°$
D.$7.5°$
A.$25°$
B.$20°$
C.$15°$
D.$7.5°$
答案
C
解析
【分析】
先利用等边三角形的性质求出相关角度，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的关系，逐步推导计算出∠E的度数。
【解析】
1. 因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°，根据平角定义，∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°。
2. 由于CG=CD，△CGD是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，得∠CDG=(180°-∠ACD)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
3. 因为DF=DE，△DFE是等腰三角形，故∠E=∠DFE；又∠CDG是△DFE的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两内角和，即∠CDG=∠E+∠DFE=2∠E。
4. 因此∠E=∠CDG÷2=30°÷2=15°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合等边与等腰三角形的性质，利用外角关系求角度，关键是理清各角的关联，属于基础几何角度计算题型。
【难度系数】
0.5
先利用等边三角形的性质求出相关角度，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的关系，逐步推导计算出∠E的度数。
【解析】
1. 因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°，根据平角定义，∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°。
2. 由于CG=CD，△CGD是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，得∠CDG=(180°-∠ACD)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
3. 因为DF=DE，△DFE是等腰三角形，故∠E=∠DFE；又∠CDG是△DFE的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两内角和，即∠CDG=∠E+∠DFE=2∠E。
4. 因此∠E=∠CDG÷2=30°÷2=15°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合等边与等腰三角形的性质，利用外角关系求角度，关键是理清各角的关联，属于基础几何角度计算题型。
【难度系数】
0.5
3. 如图,在等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,延长BC至点E,使CE=CD,连接DE。若$DE=4$,则$BD=$。
答案
4
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合等边三角形和等腰三角形的性质推导边的关系：先利用等边三角形中线的“三线合一”性质得到∠DBC的度数，再通过CE=CD结合三角形外角性质求出∠E的度数，最后根据等角对等边得出BD与DE的等量关系，进而计算BD的长度。
【解析】
1. 因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=∠ABC=60°，且AB=BC=AC。
2. 由于BD是AC边上的中线，根据等边三角形“三线合一”的性质，BD平分∠ABC，因此∠DBC = ½∠ABC = ½×60° = 30°。
3. 又因为CE=CD，所以△CDE是等腰三角形，故∠CDE=∠E。
4. ∠ACB是△CDE的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E，因此∠E=½∠ACB=½×60°=30°。
5. 由此可得∠DBC=∠E=30°，根据“等角对等边”，可知BD=DE。
6. 已知DE=4，所以BD=4。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形性质，等腰三角形性质，等角对等边
【点评】
本题考查等边三角形与等腰三角形的性质应用，解题核心是利用等边三角形的三线合一和等腰三角形的外角性质找到等角，进而推导边相等，属于基础几何题，思路清晰易掌握。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需结合等边三角形和等腰三角形的性质推导边的关系：先利用等边三角形中线的“三线合一”性质得到∠DBC的度数，再通过CE=CD结合三角形外角性质求出∠E的度数，最后根据等角对等边得出BD与DE的等量关系，进而计算BD的长度。
【解析】
1. 因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=∠ABC=60°，且AB=BC=AC。
2. 由于BD是AC边上的中线，根据等边三角形“三线合一”的性质，BD平分∠ABC，因此∠DBC = ½∠ABC = ½×60° = 30°。
3. 又因为CE=CD，所以△CDE是等腰三角形，故∠CDE=∠E。
4. ∠ACB是△CDE的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E，因此∠E=½∠ACB=½×60°=30°。
5. 由此可得∠DBC=∠E=30°，根据“等角对等边”，可知BD=DE。
6. 已知DE=4，所以BD=4。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形性质，等腰三角形性质，等角对等边
【点评】
本题考查等边三角形与等腰三角形的性质应用，解题核心是利用等边三角形的三线合一和等腰三角形的外角性质找到等角，进而推导边相等，属于基础几何题，思路清晰易掌握。
【难度系数】
0.6
4.如图，$l_{1}// l_{2}$，等边三角形$ABC$的顶点$A$在直线$l_{1}$上，$l_{2}$与$△ ABC$的两边$AC$，$BC$相交。若$∠ 1=138°$，则$∠ 2=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
$102$
解析
【分析】
本题需结合等边三角形的性质、平行线的性质及三角形内角和定理求解。首先利用邻补角求出∠1对应的锐角，再通过三角形内角和得到AC与直线$l_2$的夹角，最后根据平行线同旁内角互补的性质计算∠2。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB = 60°。
∵∠1 = 138°，
∴∠1的邻补角为：$180° - 138° = 42°$。
设直线$l_2$与BC交于点D，与AC交于点E，在△CDE中，根据三角形内角和为180°，
得∠CED = $180° - ∠ACB - 42° = 180° - 60° - 42° = 78°$。
∵$l_1 // l_2$，
∴∠2与∠CED是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，
得∠2 = $180° - 78° = 102°$。
【答案】
102
【知识点】
平行线的性质，等边三角形的性质，三角形内角和
【点评】
本题综合考查多个几何知识点，需理清角度间的关系，关键是利用平行线的性质建立角度联系，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题需结合等边三角形的性质、平行线的性质及三角形内角和定理求解。首先利用邻补角求出∠1对应的锐角，再通过三角形内角和得到AC与直线$l_2$的夹角，最后根据平行线同旁内角互补的性质计算∠2。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB = 60°。
∵∠1 = 138°，
∴∠1的邻补角为：$180° - 138° = 42°$。
设直线$l_2$与BC交于点D，与AC交于点E，在△CDE中，根据三角形内角和为180°，
得∠CED = $180° - ∠ACB - 42° = 180° - 60° - 42° = 78°$。
∵$l_1 // l_2$，
∴∠2与∠CED是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，
得∠2 = $180° - 78° = 102°$。
【答案】
102
【知识点】
平行线的性质，等边三角形的性质，三角形内角和
【点评】
本题综合考查多个几何知识点，需理清角度间的关系，关键是利用平行线的性质建立角度联系，难度适中。
【难度系数】
0.5
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ C=2∠ A$,$BD$是$AC$边上的高,求$∠ DBC$的度数。
答案
$∠ DBC$的度数为$18°$
解析
【分析】
要解决本题，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求出∠C的度数；再根据BD是AC边上的高，得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠DBC的度数。
【解析】
设∠A = x，因为AB = AC，所以△ABC是等腰三角形，因此∠ABC = ∠C。已知∠C = 2∠A，即∠C = 2x，∠ABC = 2x。根据三角形内角和为180°，可得：
x + 2x + 2x = 180°，
解得5x = 180°，x = 36°，所以∠C = 2×36° = 72°。
因为BD是AC边上的高，所以∠BDC = 90°，在Rt△BDC中，∠DBC + ∠C = 90°，因此：
∠DBC = 90° - ∠C = 90° - 72° = 18°。
【答案】
18°
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和，直角三角形性质
【点评】
本题主要考查等腰三角形和直角三角形的角度计算，关键是先通过三角形内角和求出∠C，再利用直角三角形的性质计算∠DBC，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求出∠C的度数；再根据BD是AC边上的高，得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠DBC的度数。
【解析】
设∠A = x，因为AB = AC，所以△ABC是等腰三角形，因此∠ABC = ∠C。已知∠C = 2∠A，即∠C = 2x，∠ABC = 2x。根据三角形内角和为180°，可得：
x + 2x + 2x = 180°，
解得5x = 180°，x = 36°，所以∠C = 2×36° = 72°。
因为BD是AC边上的高，所以∠BDC = 90°，在Rt△BDC中，∠DBC + ∠C = 90°，因此：
∠DBC = 90° - ∠C = 90° - 72° = 18°。
【答案】
18°
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和，直角三角形性质
【点评】
本题主要考查等腰三角形和直角三角形的角度计算，关键是先通过三角形内角和求出∠C，再利用直角三角形的性质计算∠DBC，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
