数学活动课上，小慧同学用剪刀剪出一张三角形纸片 ABC，如图 $ \textcircled{1} $所示，用直尺测量得 AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm.
(1) 判断 $ △ ABC $的形状，并说明理由；
(2) 小慧同学将三角形纸片折叠，使点 B与点 A重合，如图 $ \textcircled{2} $所示，折痕交 AB于点 M，交 BC于点 N，求 AN的长度.

解（1） $ △ ABC $是直角三角形.
理由：因为 $ AC=6 \mathrm{~cm} $ $ BC=8 \mathrm{~cm} $ AB=10cm，所以 $ A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}. $
所以 $ ∠ C=90°. $
所以 $ △ ABC $是直角三角形.
(2) 由折叠的性质可知 AN=BN.设 AN=BN=x cm.
在 $ \mathrm{Rt}△ A C N $中， $ A N^{2}=A C^{2}+C N^{2} $
所以 $ x^{2}=6^{2}+(8-x)^{2}.$ 所以 $ x=\frac{25}{4}. $
所以 $ A N=\frac{2 5}{4} \mathrm{c m}. $

解：(1) $△ABC$是直角三角形。
理由：$\because AC=6\mathrm{cm}$，$BC=8\mathrm{cm}$，$AB=10\mathrm{cm}$，
$\therefore AC^2+BC^2=6^2+8^2=100$，$AB^2=10^2=100$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore ∠C=90°$，
$\therefore △ABC$是直角三角形。
(2) 由折叠的性质可知$AN=BN$，设$AN=BN=x\mathrm{cm}$，则$CN=(8-x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ACN$中，由勾股定理得：
$AN^2=AC^2+CN^2$，
即$x^2=6^2+(8-x)^2$，
解得：$x=\frac{25}{4}$，
$\therefore AN=\frac{25}{4}\mathrm{cm}$。

3. 如图，将长方形纸片 ABCD沿对角线 AC翻折，点B落在点 $ B^{\prime} $处， $ B^{\prime} C $交AD于点E.
(1) 求证： $ A E=C E $；
(2) 若 AB=8，BC=12，求 DE的长.

3. (1)证明 将长方形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B'处，B'C交AD于点E，
所以AB = CD，∠B = ∠D = 90°，
∠B' = ∠B = 90°，AB' = AB.
所以AB' = CD，∠B' = ∠D = 90°.
在△AEB'与△CED中，
$\begin{cases}∠ B'=∠ D,\\∠ AEB'=∠ CED,\\AB'=CD,\end{cases}$
所以△AEB'≌△CED（AAS）.
所以AE = CE.
(2)解 由(1)知AE = CE.
设DE = x，则AE = CE = 12 - x.
在Rt△DCE中，DE² + CD² = CE²，
所以x² + 8² = (12 - x)².解得x = $\dfrac{10}{3}$.
所以DE = $\dfrac{10}{3}$.