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7. 下列对$△ ABC$的判断,错误的是（
A.若$AB=AC,∠ B=60°$,则$△ ABC$是等边三角形
B.若$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$,则$△ ABC$是直角三角形
C.若$∠ A=20°,∠ B=80°$,则$△ ABC$是等腰三角形
D.$AB=BC,∠ C=40°$,则$∠ B=40°$
D
）A.若$AB=AC,∠ B=60°$,则$△ ABC$是等边三角形
B.若$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$,则$△ ABC$是直角三角形
C.若$∠ A=20°,∠ B=80°$,则$△ ABC$是等腰三角形
D.$AB=BC,∠ C=40°$,则$∠ B=40°$
答案
7.D
8. 如图,$D,E$是$BC$上的三等分点,$△ ADE$是等边三角形,那么$∠ BAC$的度数为
120°
.答案
8.120°
9.(2024·灌南县期中)如图，$△ ABC$是边长为2的等边三角形，直线$l$经过顶点$A$，且与边$BC$平行，在直线$l$上有一点$P$，当$AP$的值为
2或4
时，使得$∠ APC=\dfrac{1}{2}∠ ACB$.答案
9.2或4
10.(2024·东海县期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120^{ \circ }$,$AD ⊥ AB$交$BC$于点$D$,$AE ⊥ AC$交$BC$于点$E$.求证:$△ ADE$是等边三角形.
答案
10.证明:
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵AD⊥AB,AE⊥AC,
∴∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠ADB=∠AEC=60°,
∴∠DAE=180°-∠AEC-∠ADB=60°=∠AED=∠ADE,
∴△ADE是等边三角形.
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵AD⊥AB,AE⊥AC,
∴∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠ADB=∠AEC=60°,
∴∠DAE=180°-∠AEC-∠ADB=60°=∠AED=∠ADE,
∴△ADE是等边三角形.
11. (2025·灌南县期中)在边长为9的等边$△ ABC$中，$P$是$AB$上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点$A$向点$B$运动，设运动时间为$t$秒.
(1) 如图①，若$Q$是$BC$上一定点，$BQ=6$，当$PQ// AC$时，求$t$的值；
(2) 如图②，若点$P$出发的同时，点$Q$以每秒2个单位长度的速度从点$B$经点$C$向点$A$运动，当$t$为何值时，$△ APQ$为等边三角形？
(1) 如图①，若$Q$是$BC$上一定点，$BQ=6$，当$PQ// AC$时，求$t$的值；
(2) 如图②，若点$P$出发的同时，点$Q$以每秒2个单位长度的速度从点$B$经点$C$向点$A$运动，当$t$为何值时，$△ APQ$为等边三角形？
答案
11.解:(1)
∵△ABC是等边三角形,PQ//AC,
∴∠BQP=∠C=60°,∠BPQ=∠A=60°.
又
∵∠B=60°,
∴∠B=∠BPQ=∠BQP,
∴△BPQ是等边三角形,
∴BP=BQ.由题意知AP=t,则BP=9-t,
∴9-t=6,解得t=3,
∴t的值为3.
(2)如答图①,当点Q在BC上时,易知△APQ不可能是等边三角形.
如答图②,当点Q在AC上时,若△APQ是等边三角形,则AP=AQ,
此时AP=t,BC+CQ=2t,则AQ=18-2t,
∴18-2t=t,解得t=6.
综上,当t=6时,△APQ是等边三角形.
[模型]共顶点双等边三角形
[条件]$△ ABC,△ ADE$ 都是等边三角形
[结论]$△ ABD ≌ △ ACE$
[条件]$△ ABC,△ ADE$ 都是等边三角形
[结论]$△ ABD ≌ △ ACE$
答案
证明：
∵ △ABC，△ADE都是等边三角形，
∴ AB = AC，AD = AE，
∠BAC = ∠DAE = 60°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即 ∠BAD = ∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAD = ∠CAE \\AD = AE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（SAS）
∵ △ABC，△ADE都是等边三角形，
∴ AB = AC，AD = AE，
∠BAC = ∠DAE = 60°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即 ∠BAD = ∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAD = ∠CAE \\AD = AE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（SAS）
