8 (2025苏州太仓期末)如图，已知$AB // CD$，则$∠ α$，$∠ β$和$∠ \gamma$之间的关系为()


A.$α + β - \gamma = 180°$
B.$α + \gamma = β$
C.$α + β + \gamma = 360°$
D.$α + β - 2\gamma = 180°$

8. A

9 用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设：。

9. 三个内角都不是锐角

10 (2025扬州广陵期末)近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中$BC ⊥ AB$，$DE // AB$，经使用发现，当$∠ EDC = 126°$时，台灯光线最佳，则此时$∠ DCB$的度数为。

10. $ 144 ^ { \circ } $

11 (2025南京鼓楼月考)已知$m$是正整数，且$m^{2}$是偶数，求证：$m$是偶数。（用反证法证明）

11. 证明：假设 $ m $ 不是偶数，则 $ m $ 为奇数。
设 $ m = 2 n + 1 $（$ n $ 为整数），
则 $ m ^ { 2 } = ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } = 4 n ^ { 2 } + 4 n + 1 = 4 ( n ^ { 2 } + n ) + 1 $。
因为 $ 4 ( n ^ { 2 } + n ) $ 为偶数，
所以 $ 4 ( n ^ { 2 } + n ) + 1 $ 为奇数，与 $ m ^ { 2 } $ 为偶数矛盾，
所以假设不成立，所以 $ m $ 为偶数。

12 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

12. 解：已知：$ AB // CD $，直线 $ EF $ 分别交 $ AB $，$ CD $ 于点 $ G $，$ H $。
求证：$ ∠ B G F = ∠ D H F $。
证明：假设 $ ∠ B G F ≠ ∠ D H F $。
过点 $ G $ 作直线 $ P Q $，使得 $ ∠ P G F = ∠ D H F $，
则 $ P Q // CD $（同位角相等，两直线平行）。
由题意，得 $ AB // CD $，且 $ AB $ 也过点 $ G $，
这与经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾，
所以假设错误，即 $ ∠ B G F = ∠ D H F $，
所以两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

13 如图，已知点$E$，$F$分别在直线$AB$，$CD$上，若$AB // CD$，过点$E$，$F$任意作一个$∠ EGF$，使$∠ EGF = 90°$（直角顶点$G$在直线$AB$与$CD$之间，且在$EF$的右侧），在$EG$上取一点$Q$，当满足$2∠ BEG + ∠ DFQ = 180°$时，请判断$∠ DFG$与$∠ QFG$的大小关系，并说明理由。

13. 解：$ ∠ D F G = ∠ Q F G $。理由如下：
过点 $ G $ 作 $ H G // A B $。
因为 $ A B // C D $，所以 $ A B // C D // G H $，
所以 $ ∠ B E G = ∠ E G H $，$ ∠ H G F = ∠ G F D $。
因为 $ ∠ E G H + ∠ H G F = 90 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ B E G + ∠ G F D = 90 ^ { \circ } $。
因为 $ 2 ∠ B E G + ∠ D F Q = 180 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ G F D = \frac { 1 } { 2 } ∠ D F Q $。
因为 $ ∠ D F Q = ∠ Q F G + ∠ G F D $，
所以 $ ∠ D F G = ∠ Q F G $。