6. [新情境·现实生活]如图所示为玲玲给她心爱的小猫绣的一个饰物,她是在一块$6\ \mathrm{cm} × 6\ \mathrm{cm}$的印有方格的布上用丝线(阴影部分)绣的,小猫抓这个饰物时,抓到丝线的概率有多大?

6. $\frac{1}{3}$

【分析】要计算抓到丝线的概率，本质是求阴影部分面积占整个正方形布面积的比例。首先先算出整个正方形的面积，再利用图形的对称性计算阴影部分的面积，最后用阴影面积除以总面积得到概率。
【解析】1. 计算总面积：这块布是边长为6cm的正方形，总面积$S_{总}=6×6=6×6=36\ \mathrm{cm^2}$；2. 计算阴影部分面积：观察图形的对称性，通过割补或面积分割可得阴影部分面积$S_{阴}=12\ \mathrm{cm^2}$；3. 计算概率：抓到丝线的概率$P=\frac{S_{阴}}{S_{总}}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$。
【答案】$\frac{1}{3}$
【知识点】几何概率、面积计算
【点评】本题结合实际情境考查几何概率的应用，核心是利用图形对称性简化面积计算，需要学生掌握几何概率的计算方法，难度适中。
【难度系数】0.5

7. 为了促进消费,助力经济发展,某商场决定"让利酬宾",于"五一"期间举办了抽奖促销活动.活动规定:凡在商场消费一定金额的顾客,均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下:从装有大小、质地完全相同的1个红球及编号为①、②、③的3个黄球的袋中,随机摸出1个球,若摸得红球,则中奖,可获得奖品;若摸得黄球,则不中奖.同时,还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小、质地与袋中的4个球完全相同),然后从中随机摸出1个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出1个球,若摸得的两个球的颜色相同,则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率;
(2)假如该顾客首次摸球未中奖,为了有更大机会获得精美礼品,他应往袋中加入哪种颜色的球?请说明理由.

7. (1) $\frac{1}{4}$ (2) 加入黄球

【分析】
本题分为两小问，第(1)问直接利用古典概型计算首次摸球中奖的概率；第(2)问需先明确首次未中奖后袋中球的情况，再分“加入红球”和“加入黄球”两种情况，分别计算两次摸球颜色相同的概率，通过比较概率大小确定应加入的球的颜色。
【解析】
(1) 袋中共有1个红球和3个黄球，总球数为 $1+3=4$ 个，其中红球有1个。根据古典概型概率公式，该顾客首次摸球中奖的概率为：
$P(\mathrm{首次中奖})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{1}{4}$
(2) 若首次摸球未中奖，此时袋中仍有4个球（已将摸得的黄球放回），需分两种情况讨论：
① 若往袋中加入1个红球，则袋中球变为：2个红球、3个黄球，共5个球。
不放回摸两次，摸得两球颜色相同的概率为“两红的概率”加“两黄的概率”：
$P_1(\mathrm{同色})=\frac{2}{5}×\frac{1}{4}+\frac{3}{5}×\frac{2}{4}=\frac{2}{20}+\frac{6}{20}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
② 若往袋中加入1个黄球，则袋中球变为：1个红球、4个黄球，共5个球。
同理，摸得两球颜色相同的概率为：
$P_2(\mathrm{同色})=\frac{1}{5}×\frac{0}{4}+\frac{4}{5}×\frac{3}{4}=0+\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
因为 $\frac{3}{5}＞\frac{2}{5}$，所以为了有更大机会获得精美礼品，应往袋中加入黄球。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) 黄球
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题结合实际抽奖场景考查概率的应用，第(1)问为基础的古典概型计算，第(2)问需通过分类讨论分析不同情况下的概率，重点考查学生的逻辑分析能力和概率运算能力，是概率部分的典型应用题型。
【难度系数】
0.5