登录
6. $\sqrt{8} - \sqrt{2}$的结果是()
A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
答案
C
解析
先将$\sqrt{8}$化为最简二次根式，得$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，再合并同类二次根式：$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
7. 计算$\sqrt{27} - \frac{1}{3}\sqrt{18} - \sqrt{12}$，结果正确的是()
A.1
B.-1
C.$\sqrt{3} - \sqrt{2}$
D.$\sqrt{2} - \sqrt{3}$
A.1
B.-1
C.$\sqrt{3} - \sqrt{2}$
D.$\sqrt{2} - \sqrt{3}$
答案
C
解析
先将各二次根式化为最简二次根式：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}\sqrt{18}=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。代入原式合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{3}-\sqrt{2}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
原式$=3\sqrt{3}-\sqrt{2}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
8. 下列根式,不能与$\sqrt{48}$合并的是()
A.$\sqrt{0.12}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{1\frac{1}{3}}$
D.$-\sqrt{775}$
A.$\sqrt{0.12}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{1\frac{1}{3}}$
D.$-\sqrt{775}$
答案
B
解析
先化简$\sqrt{48}$：$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，二次根式可合并的前提是化为最简二次根式后，被开方数相同，据此逐一化简选项：
1. 选项A：$\sqrt{0.12}=\sqrt{\frac{12}{100}}=\frac{\sqrt{12}}{10}=\frac{2\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，被开方数为3，可与$4\sqrt{3}$合并；
2. 选项B：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，不可与$4\sqrt{3}$合并；
3. 选项C：$\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，可与$4\sqrt{3}$合并；
4. 选项D：$-\sqrt{75}=-\sqrt{25×3}=-5\sqrt{3}$，被开方数为3，可与$4\sqrt{3}$合并。
因此不能与$\sqrt{48}$合并的是选项B。
1. 选项A：$\sqrt{0.12}=\sqrt{\frac{12}{100}}=\frac{\sqrt{12}}{10}=\frac{2\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，被开方数为3，可与$4\sqrt{3}$合并；
2. 选项B：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，不可与$4\sqrt{3}$合并；
3. 选项C：$\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，可与$4\sqrt{3}$合并；
4. 选项D：$-\sqrt{75}=-\sqrt{25×3}=-5\sqrt{3}$，被开方数为3，可与$4\sqrt{3}$合并。
因此不能与$\sqrt{48}$合并的是选项B。
9. $(-\sqrt{3})^{2} =$ , $-\sqrt{0.0004} =$ .
答案
解：
$(-\sqrt{3})^{2}=(-1)^2×(\sqrt{3})^2=1×3=3$
$-\sqrt{0.0004}=-\sqrt{0.02^2}=-0.02$
答案依次为$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-0.02}$。
$(-\sqrt{3})^{2}=(-1)^2×(\sqrt{3})^2=1×3=3$
$-\sqrt{0.0004}=-\sqrt{0.02^2}=-0.02$
答案依次为$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-0.02}$。
10. 比较大小：$-\sqrt{17}$ $-4$，$2\sqrt{3}$ $\sqrt{12}$
答案
$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{=}$
解析
解：
比较$-\sqrt{17}$和$-4$：
$\because 4=\sqrt{16}$，且$\sqrt{17}＞\sqrt{16}$，
$\therefore \sqrt{17}＞4$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$-\sqrt{17} ＜ -4$。
比较$2\sqrt{3}$和$\sqrt{12}$：
$\because 2\sqrt{3}=\sqrt{2^2 × 3}=\sqrt{12}$，
$\therefore 2\sqrt{3} = \sqrt{12}$。
最终
比较$-\sqrt{17}$和$-4$：
$\because 4=\sqrt{16}$，且$\sqrt{17}＞\sqrt{16}$，
$\therefore \sqrt{17}＞4$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$-\sqrt{17} ＜ -4$。
比较$2\sqrt{3}$和$\sqrt{12}$：
$\because 2\sqrt{3}=\sqrt{2^2 × 3}=\sqrt{12}$，
$\therefore 2\sqrt{3} = \sqrt{12}$。
最终
11.若$\sqrt{30}=m$,则$\sqrt{0.3}=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{m}{10}}$
解析
解：
$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{30}{100}}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$
将$\sqrt{30}=m$代入，可得$\sqrt{0.3}=\frac{m}{10}$。
最终
$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{30}{100}}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$
将$\sqrt{30}=m$代入，可得$\sqrt{0.3}=\frac{m}{10}$。
最终
12. $3\sqrt{\frac{4}{9}a^3b c^4} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
解：
由二次根式有意义可知$a≥0$，$b≥0$，
$\begin{aligned}3\sqrt{\frac{4}{9}a^3bc^4}&=3×\sqrt{\frac{4}{9}· a^2· a· b· (c^2)^2}\\&=3×\frac{2}{3}· a· c^2·\sqrt{ab}\\&=2ac^2\sqrt{ab}\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{2ac^2\sqrt{ab}}$。
由二次根式有意义可知$a≥0$，$b≥0$，
$\begin{aligned}3\sqrt{\frac{4}{9}a^3bc^4}&=3×\sqrt{\frac{4}{9}· a^2· a· b· (c^2)^2}\\&=3×\frac{2}{3}· a· c^2·\sqrt{ab}\\&=2ac^2\sqrt{ab}\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{2ac^2\sqrt{ab}}$。
13. 化简 $\sqrt{x^4 + x^2 y^2} = \_\_\_\_\_\_$ (x≥0).
答案
$\boldsymbol{x\sqrt{x^2 + y^2}}$
解析
解：
$\sqrt{x^4 + x^2 y^2} = \sqrt{x^2(x^2 + y^2)}$
$\because x≥0$，$\therefore \sqrt{x^2}=x$
$\therefore$ 原式$=x\sqrt{x^2 + y^2}$
最终
$\sqrt{x^4 + x^2 y^2} = \sqrt{x^2(x^2 + y^2)}$
$\because x≥0$，$\therefore \sqrt{x^2}=x$
$\therefore$ 原式$=x\sqrt{x^2 + y^2}$
最终
14. 如果$\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3}$有意义，那么$\sqrt{x^{-2}} =$ .
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
解：
要使$\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3}$有意义，则二次根式的被开方数均为非负数，可得：
$\begin{cases}3 - x ≥ 0 \\x - 3 ≥ 0\end{cases}$
解得$x ≤ 3$且$x ≥ 3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入$\sqrt{x^{-2}}$计算：
$\sqrt{x^{-2}} = \sqrt{\frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{1}{3^2}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$
最终
要使$\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3}$有意义，则二次根式的被开方数均为非负数，可得：
$\begin{cases}3 - x ≥ 0 \\x - 3 ≥ 0\end{cases}$
解得$x ≤ 3$且$x ≥ 3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入$\sqrt{x^{-2}}$计算：
$\sqrt{x^{-2}} = \sqrt{\frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{1}{3^2}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$
最终
15. 如果$\sqrt{20m}$是一个正整数，那么正整数m的最小值是。
答案
解：
$\sqrt{20m} = \sqrt{4×5m} = 2\sqrt{5m}$
∵$\sqrt{20m}$是正整数，
∴$2\sqrt{5m}$是正整数，即$\sqrt{5m}$是正整数，
∴$5m$是完全平方数。
又∵$m$是正整数，5是质数，
∴正整数$m$的最小值是5。
$\sqrt{20m} = \sqrt{4×5m} = 2\sqrt{5m}$
∵$\sqrt{20m}$是正整数，
∴$2\sqrt{5m}$是正整数，即$\sqrt{5m}$是正整数，
∴$5m$是完全平方数。
又∵$m$是正整数，5是质数，
∴正整数$m$的最小值是5。
16. 化简下列各式.
(1) $\sqrt{4\dfrac{3}{5}}$；
(2) $(\sqrt{a^2})^2$；
(3) $(\sqrt{x+1})^2\ (x≥0)$；
(4) $(\sqrt{a^2+2a+1})^2$.
(1) $\sqrt{4\dfrac{3}{5}}$；
(2) $(\sqrt{a^2})^2$；
(3) $(\sqrt{x+1})^2\ (x≥0)$；
(4) $(\sqrt{a^2+2a+1})^2$.
答案
解：
(1) $\sqrt{4\dfrac{3}{5}}=\sqrt{\dfrac{23}{5}}=\sqrt{\dfrac{23×5}{5^2}}=\dfrac{\sqrt{115}}{5}$
(2) 由二次根式的定义可知$a^2\ge0$，因此$(\sqrt{a^2})^2=a^2$
(3) 因为$x\ge0$，所以$x+1＞0$，因此$(\sqrt{x+1})^2=x+1$
(4) 因为$a^2+2a+1=(a+1)^2\ge0$，所以$(\sqrt{a^2+2a+1})^2=a^2+2a+1$
(1) $\sqrt{4\dfrac{3}{5}}=\sqrt{\dfrac{23}{5}}=\sqrt{\dfrac{23×5}{5^2}}=\dfrac{\sqrt{115}}{5}$
(2) 由二次根式的定义可知$a^2\ge0$，因此$(\sqrt{a^2})^2=a^2$
(3) 因为$x\ge0$，所以$x+1＞0$，因此$(\sqrt{x+1})^2=x+1$
(4) 因为$a^2+2a+1=(a+1)^2\ge0$，所以$(\sqrt{a^2+2a+1})^2=a^2+2a+1$
