46. 阅读素材,解决下列问题.
核心素养:模型观念、应用意识、运算能力.
素材
书籍和纸张的长与宽都有固定的规格,表1和表2给出了两种常用纸张的规格.(单位:mm×mm)
表1
A型 宽×长
A5 148×210
A4 210×297
A3 297×420
A2 420×594
A1 594×841
表2
B型 宽×长
B5 182×257
B4 257×364
B3 364×515
B2 515×728
B1 728×1 030
问题解决
任务1
(1)①使用计算器求出素材中各规格纸张长与宽的比值为(保留两位小数);
②通过查阅资料,可知系列纸的长与宽的比值为一个固定的无理数.请你猜想这个无理数是.
任务2
(2)如图1所示,长方形纸片ABCD的长与宽的比值为$\sqrt{2}$.
①如图2所示,若E,F分别是长边AD,BC的中点,将纸片ABCD沿直线EF对折,得到的长方形ABFE是否仍为“长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形”?为什么?
②若按图3所示的方式折叠纸片ABCD,长方形GHID是否仍为“长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形”?为什么?

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解：
(1)① 计算各规格纸张长与宽的比值，保留两位小数均为$\boldsymbol{1.41}$；
② 猜想这个无理数是$\boldsymbol{\sqrt{2}}$。
(2)① 是，理由如下：
设$AB = a$，由题意得$\dfrac{AD}{AB} = \sqrt{2}$，因此$AD = \sqrt{2}a$。
因为$E$是$AD$的中点，所以$AE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{\sqrt{2}a}{2}$。
长方形$ABFE$的长为$AB = a$，宽为$AE = \dfrac{\sqrt{2}a}{2}$，
长与宽的比值为$\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}a}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，
因此得到的长方形$ABFE$仍是长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形。
② 是，理由如下：
设$AB = a$，则$CD = a$，由题意得$AD = \sqrt{2}a$。
由折叠的性质可知$AG = AB = a$，
所以$GD = AD - AG = \sqrt{2}a - a$。
由折叠的性质可知，$CH = CD = a$，且$CG = BC = \sqrt{2}a$，因此$HG = CG - CH = \sqrt{2}a - a$。
因为四边形$GHID$是长方形，所以$DI = GH$，且$∠ GHI = 90°$，$△ GHI$为等腰直角三角形，可得$HI = \sqrt{2}DI$，即$GD = \sqrt{2}DI$，
因此长与宽的比值为$\dfrac{GD}{DI} = \sqrt{2}$，
因此长方形$GHID$仍是长与宽的比值为$\sqrt{2}$的长方形。