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神奇的太空生活
在浩瀚无垠的宇宙中，人类正以前所未有的勇气和智慧探索着未知的领域.想象一下，当你身处地球之外的太空站，那里的每一天都充满了科幻般的色彩与挑战.今天，让我们一起揭开太空生活的神秘面纱，看看在这些遥远而奇妙的地方，人们是如何利用数学和先进技术维持正常生活的，特别是那座连接梦想与现实的桥梁——机械臂.
在太空的失重环境中，人们的生活习惯发生了翻天覆地的变化.吃饭不再是用筷子夹起食物那么简单，而是需要将食物固定在特定的容器里，以免它们到处飘；睡觉则需要依靠睡袋，将自己束缚在安全的位置；甚至连最简单的行走都需要借助脚底的特殊装置，模拟地球的引力感.
在这样的特殊环境中，机械臂成了太空探索不可或缺的好帮手.它们不仅能协助航天员进行精细的科学实验，还能在外部维修、更换卫星部件等高风险任务中大显身手.机械臂的设计深植于复杂的科学原理之中，包括运动学、动力学以及控制理论，确保它们能够精确无误地完成每一次操作.
我们可以看到，即使身处遥远而神秘的太空，数学依旧是我们解决实际问题的重要工具.它不仅帮助人类在太空中精准操作，保障了任务的顺利进行，还体现了科学与数学完美结合的无限魅力.让我们一起期待，未来的太空探索中，更多的数学智慧继续引领我们向星辰大海迈进！
现在，让我们通过一个简单的数学问题来体验一下机械臂在太空中的精确控制.
图(1)为某机械臂模型图，该机械臂底部是固定的，图(2)、图(3)所示的是处于工作状态的机械臂示意图，底座 MN 位于水平位置，支架 AB，BC 为固定支撑杆，支架 OC 可绕点C 旋转，从而控制机械手的方向.已知机械手张开的角度$∠DOE=52^{\circ },∠DOE$的平分线 OP 始终与 OC 垂直.
(1)求$∠COD$的度数；
(2)如图(2)，当支架 OC 旋转至水平位置时，OD 恰好与 BC 平行，求支架 BC 与水平方向夹角$∠θ$的度数；
(3)若(2)中支架 BC 与水平方向的夹角$∠θ$的度数保持不变，将 OC 绕点 C 旋转到如图(3)所示的位置，旋转后$∠OCB=84^{\circ }$，求此时 OD 与水平方向 QN 的夹角$∠OQN$的度数.
在浩瀚无垠的宇宙中，人类正以前所未有的勇气和智慧探索着未知的领域.想象一下，当你身处地球之外的太空站，那里的每一天都充满了科幻般的色彩与挑战.今天，让我们一起揭开太空生活的神秘面纱，看看在这些遥远而奇妙的地方，人们是如何利用数学和先进技术维持正常生活的，特别是那座连接梦想与现实的桥梁——机械臂.
在太空的失重环境中，人们的生活习惯发生了翻天覆地的变化.吃饭不再是用筷子夹起食物那么简单，而是需要将食物固定在特定的容器里，以免它们到处飘；睡觉则需要依靠睡袋，将自己束缚在安全的位置；甚至连最简单的行走都需要借助脚底的特殊装置，模拟地球的引力感.
在这样的特殊环境中，机械臂成了太空探索不可或缺的好帮手.它们不仅能协助航天员进行精细的科学实验，还能在外部维修、更换卫星部件等高风险任务中大显身手.机械臂的设计深植于复杂的科学原理之中，包括运动学、动力学以及控制理论，确保它们能够精确无误地完成每一次操作.
我们可以看到，即使身处遥远而神秘的太空，数学依旧是我们解决实际问题的重要工具.它不仅帮助人类在太空中精准操作，保障了任务的顺利进行，还体现了科学与数学完美结合的无限魅力.让我们一起期待，未来的太空探索中，更多的数学智慧继续引领我们向星辰大海迈进！
现在，让我们通过一个简单的数学问题来体验一下机械臂在太空中的精确控制.
图(1)为某机械臂模型图，该机械臂底部是固定的，图(2)、图(3)所示的是处于工作状态的机械臂示意图，底座 MN 位于水平位置，支架 AB，BC 为固定支撑杆，支架 OC 可绕点C 旋转，从而控制机械手的方向.已知机械手张开的角度$∠DOE=52^{\circ },∠DOE$的平分线 OP 始终与 OC 垂直.
(1)求$∠COD$的度数；
(2)如图(2)，当支架 OC 旋转至水平位置时，OD 恰好与 BC 平行，求支架 BC 与水平方向夹角$∠θ$的度数；
(3)若(2)中支架 BC 与水平方向的夹角$∠θ$的度数保持不变，将 OC 绕点 C 旋转到如图(3)所示的位置，旋转后$∠OCB=84^{\circ }$，求此时 OD 与水平方向 QN 的夹角$∠OQN$的度数.
答案
(1)
∵OP 平分∠DOE,
∴∠DOP=$\frac{1}{2}$∠DOE=26°.
∵OP⊥OC,
∴∠COP=90°.
∴∠COD=∠DOP+∠COP=116°.
(2)由题可知 OD//BC,
∴∠C+∠COD=180°.
∴∠C=180°−116°=64°.
由题可知 OC//BF,
∴∠θ=∠C=64°.
(3)如图
,分别过点 C,O 作 CG//MN,OH//MN.∵BF//MN,CG//MN,OH//MN,
∴OH//CG//BF//MN.
∴∠BCG=∠θ=64°.
∴∠OCG=∠OCB−∠BCG=84°−64°=20°.
∴∠COH=∠OCG=20°.
由(1)可知∠COD=116°,
∴∠QOH=∠COH+∠COD=20°+116°=136°.
∴∠OQN=180°−∠QOH=180°−136°=44°.
解析
【分析】
(1) 求∠COD的度数时，先根据角平分线的定义计算出∠DOP的度数，再结合OP与OC垂直得到∠COP=90°，最后通过角的和的关系即可求出∠COD。
(2) 已知OD//BC，可利用两直线平行同旁内角互补先求出∠C的度数，再结合OC、BF均为水平方向互相平行，根据两直线平行同位角相等就能得到∠θ的度数。
(3) 求∠OQN的度数时，直接计算缺少条件，因此过点C、O分别作平行于MN的辅助线，利用平行线的传递性得到多条直线平行，再结合平行线内错角相等的性质，通过角的和差关系逐步推导，最终求出∠OQN。
【解析】
(1)
∵OP 平分∠DOE，
∴∠DOP=$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$×52°=26°。
∵OP⊥OC，
∴∠COP=90°。
∴∠COD=∠DOP+∠COP=26°+90°=116°。
(2) 由题可知OD//BC，
∴∠C+∠COD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠C=180°−116°=64°。
由题可知OC为水平位置，BF也为水平方向，即OC//BF，
∴∠θ=∠C=64°（两直线平行，同位角相等）。
(3) 如图，分别过点 C,O 作 CG//MN,OH//MN。
∵BF//MN,CG//MN,OH//MN，
∴OH//CG//BF//MN（平行于同一条直线的多条直线互相平行）。
∴∠BCG=∠θ=64°（两直线平行，内错角相等）。
∴∠OCG=∠OCB−∠BCG=84°−64°=20°。
∴∠COH=∠OCG=20°（两直线平行，内错角相等）。
由(1)可知∠COD=116°，
∴∠QOH=∠COH+∠COD=20°+116°=136°。
∵OH//QN，
∴∠OQN+∠QOH=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠OQN=180°−136°=44°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{116°}$
(2) $\boldsymbol{64°}$
(3) 如图，$\boldsymbol{44°}$
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，垂直的定义
【点评】
本题以太空机械臂为实际背景，将几何知识和科技应用场景相结合，考查角的相关计算和平行线性质的运用，解题关键是合理添加辅助线构造平行关系，结合角的和差关系推导求解，能够锻炼学生将实际问题转化为几何问题的能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠COD的度数时，先根据角平分线的定义计算出∠DOP的度数，再结合OP与OC垂直得到∠COP=90°，最后通过角的和的关系即可求出∠COD。
(2) 已知OD//BC，可利用两直线平行同旁内角互补先求出∠C的度数，再结合OC、BF均为水平方向互相平行，根据两直线平行同位角相等就能得到∠θ的度数。
(3) 求∠OQN的度数时，直接计算缺少条件，因此过点C、O分别作平行于MN的辅助线，利用平行线的传递性得到多条直线平行，再结合平行线内错角相等的性质，通过角的和差关系逐步推导，最终求出∠OQN。
【解析】
(1)
∵OP 平分∠DOE，
∴∠DOP=$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$×52°=26°。
∵OP⊥OC，
∴∠COP=90°。
∴∠COD=∠DOP+∠COP=26°+90°=116°。
(2) 由题可知OD//BC，
∴∠C+∠COD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠C=180°−116°=64°。
由题可知OC为水平位置，BF也为水平方向，即OC//BF，
∴∠θ=∠C=64°（两直线平行，同位角相等）。
(3) 如图
，分别过点 C,O 作 CG//MN,OH//MN。∵BF//MN,CG//MN,OH//MN，
∴OH//CG//BF//MN（平行于同一条直线的多条直线互相平行）。
∴∠BCG=∠θ=64°（两直线平行，内错角相等）。
∴∠OCG=∠OCB−∠BCG=84°−64°=20°。
∴∠COH=∠OCG=20°（两直线平行，内错角相等）。
由(1)可知∠COD=116°，
∴∠QOH=∠COH+∠COD=20°+116°=136°。
∵OH//QN，
∴∠OQN+∠QOH=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠OQN=180°−136°=44°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{116°}$
(2) $\boldsymbol{64°}$
(3) 如图
，$\boldsymbol{44°}$【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，垂直的定义
【点评】
本题以太空机械臂为实际背景，将几何知识和科技应用场景相结合，考查角的相关计算和平行线性质的运用，解题关键是合理添加辅助线构造平行关系，结合角的和差关系推导求解，能够锻炼学生将实际问题转化为几何问题的能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
