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6. 如图6，在离地高4.5 m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，人只要移动至距离该门铃5 m及5 m以内时，即$AC≤5$ m，门铃就会自动发出语音。一个身高1.5 m的学生走到D处，即$CD=1.5$ m，门铃恰好自动响起，求BD的长。
答案
6. 由题意可知，$BE=CD=1.5$ m，$AE=AB-BE=4.5-1.5=3$ (m)，$AC=5$ m. 由勾股定理，得$BD=CE=\sqrt{5^2-3^2}=4$ (m)
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：CD垂直地面DB，AB垂直地面DB，CE是水平线段，因此四边形CDBE是矩形，可得BD=CE、BE=CD，要求BD的长只需先求CE的长。已知门铃响起时AC=5m，先计算直角三角形AEC的竖直直角边AE的长度：AE为门铃高度减去学生头顶高度，即AB减去BE，再在直角三角形AEC中用勾股定理，结合已知斜边AC和直角边AE，就能求出另一条直角边CE，即BD的长度。
【解析】
解：由题意得$CD⊥ DB$，$AB⊥ DB$，$CE// DB$，
∴四边形CDBE是矩形，
∴$BE=CD=1.5\ \mathrm{m}$，$BD=CE$。
∴$AE=AB-BE=4.5-1.5=3\ (\mathrm{m})$，
∵门铃恰好响起，此时$AC=5\ \mathrm{m}$，且$△ AEC$是直角三角形，$∠ AEC=90°$，
根据勾股定理可得：
$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ (\mathrm{m})$
∴$BD=CE=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
BD的长为4 m
【知识点】
1.勾股定理 2.矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理的实际应用问题，解题核心是将生活场景转化为直角三角形与矩形的几何模型，通过矩形对边相等的性质转化所求线段，再利用勾股定理计算，考查了学生将实际问题数学化的能力。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征：CD垂直地面DB，AB垂直地面DB，CE是水平线段，因此四边形CDBE是矩形，可得BD=CE、BE=CD，要求BD的长只需先求CE的长。已知门铃响起时AC=5m，先计算直角三角形AEC的竖直直角边AE的长度：AE为门铃高度减去学生头顶高度，即AB减去BE，再在直角三角形AEC中用勾股定理，结合已知斜边AC和直角边AE，就能求出另一条直角边CE，即BD的长度。
【解析】
解：由题意得$CD⊥ DB$，$AB⊥ DB$，$CE// DB$，
∴四边形CDBE是矩形，
∴$BE=CD=1.5\ \mathrm{m}$，$BD=CE$。
∴$AE=AB-BE=4.5-1.5=3\ (\mathrm{m})$，
∵门铃恰好响起，此时$AC=5\ \mathrm{m}$，且$△ AEC$是直角三角形，$∠ AEC=90°$，
根据勾股定理可得：
$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ (\mathrm{m})$
∴$BD=CE=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
BD的长为4 m
【知识点】
1.勾股定理 2.矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理的实际应用问题，解题核心是将生活场景转化为直角三角形与矩形的几何模型，通过矩形对边相等的性质转化所求线段，再利用勾股定理计算，考查了学生将实际问题数学化的能力。
【难度系数】
0.8
7. 消防车上的云梯最多只能伸长到25 m，消防车高5 m. 某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15 m（简单示意图如图7）.
（1）求B处与地面的距离.
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4 m的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？
（1）求B处与地面的距离.
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4 m的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？
答案
7. （1）在$Rt△ OAB$中，$\because AB=25$ m，$OA=15$ m，$\therefore OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20$ (m)，$OE=5$ m，$\therefore BE=OB+OE=20+5=25$ (m)
（2）由题意，得$BD=4$ m，$\because CD=25$ m，$OD=OB+BD=20+4=24$ (m)，$\therefore OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{25^2-24^2}=7$ (m)，$\therefore AC=OA-OC=15-7=8$ (m)
（2）由题意，得$BD=4$ m，$\because CD=25$ m，$OD=OB+BD=20+4=24$ (m)，$\therefore OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{25^2-24^2}=7$ (m)，$\therefore AC=OA-OC=15-7=8$ (m)
解析
【分析】
（1）求解B处与地面的距离，首先可将问题转化为直角三角形边长计算：△OAB是直角三角形，已知云梯AB为斜边长25m，水平距离OA为15m，先通过勾股定理求出竖直段OB的长度，再加上消防车的高度5m，即可得到B到地面的总高度。
（2）求解消防车靠近的距离AC，首先明确D点的竖直高度为OB加BD的长度，此时云梯CD仍为最大长度25m，△OCD也为直角三角形，用勾股定理求出此时的水平距离OC，再用原来的水平距离OA减去OC，即可得到AC的长度。
【解析】
（1）在$Rt△ OAB$中，$∠ AOB=90°$，已知$AB=25\ \mathrm{m}$，$OA=15\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$，
又知消防车高$OE=5\ \mathrm{m}$，因此B处与地面的距离为：
$BE=OB+OE=20+5=25\ \mathrm{m}$。
（2）由题意得$BD=4\ \mathrm{m}$，因此D点的竖直高度为：
$OD=OB+BD=20+4=24\ \mathrm{m}$，
此时云梯伸长至最长，故$CD=25\ \mathrm{m}$，在$Rt△ OCD$中，$∠ COD=90°$，
根据勾股定理得：
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7\ \mathrm{m}$，
因此消防车向着楼房靠近的距离为：
$AC=OA-OC=15-7=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）$\boxed{25\ \mathrm{m}}$；（2）$\boxed{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形实际应用
【点评】
本题结合实际救援场景考查勾股定理的应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，准确对应直角三角形的斜边和直角边的数值即可完成求解，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求解B处与地面的距离，首先可将问题转化为直角三角形边长计算：△OAB是直角三角形，已知云梯AB为斜边长25m，水平距离OA为15m，先通过勾股定理求出竖直段OB的长度，再加上消防车的高度5m，即可得到B到地面的总高度。
（2）求解消防车靠近的距离AC，首先明确D点的竖直高度为OB加BD的长度，此时云梯CD仍为最大长度25m，△OCD也为直角三角形，用勾股定理求出此时的水平距离OC，再用原来的水平距离OA减去OC，即可得到AC的长度。
【解析】
（1）在$Rt△ OAB$中，$∠ AOB=90°$，已知$AB=25\ \mathrm{m}$，$OA=15\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$，
又知消防车高$OE=5\ \mathrm{m}$，因此B处与地面的距离为：
$BE=OB+OE=20+5=25\ \mathrm{m}$。
（2）由题意得$BD=4\ \mathrm{m}$，因此D点的竖直高度为：
$OD=OB+BD=20+4=24\ \mathrm{m}$，
此时云梯伸长至最长，故$CD=25\ \mathrm{m}$，在$Rt△ OCD$中，$∠ COD=90°$，
根据勾股定理得：
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7\ \mathrm{m}$，
因此消防车向着楼房靠近的距离为：
$AC=OA-OC=15-7=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）$\boxed{25\ \mathrm{m}}$；（2）$\boxed{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形实际应用
【点评】
本题结合实际救援场景考查勾股定理的应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，准确对应直角三角形的斜边和直角边的数值即可完成求解，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
