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9. 定义一种新运算“△”：$a△ b = a^2 - ab$，则$\sqrt{2}△1$的值为（）
A.$1-\sqrt{2}$
B.$1+\sqrt{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$2+\sqrt{2}$
A.$1-\sqrt{2}$
B.$1+\sqrt{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$2+\sqrt{2}$
答案
C
解析
根据新运算“△”的定义$a△b=a^2-ab$，将$a=\sqrt{2}$，$b=1$代入运算式：
$\sqrt{2}△1=(\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}×1=2-\sqrt{2}$
$\sqrt{2}△1=(\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}×1=2-\sqrt{2}$
10.下列关于圆周率π的说法错误的是（）
A.它是无限不循环小数
B.它可以用数轴上唯一的一个点来表示
C.它的相反数小于－3
D.它与任何无理数的和是无理数
A.它是无限不循环小数
B.它可以用数轴上唯一的一个点来表示
C.它的相反数小于－3
D.它与任何无理数的和是无理数
答案
D
解析
逐一分析各选项：
1. 选项A：圆周率π是无限不循环小数，该说法正确。
2. 选项B：实数和数轴上的点一一对应，π属于实数，因此可以用数轴上唯一的一个点来表示，该说法正确。
3. 选项C：π≈3.14，它的相反数为-π≈-3.14，小于-3，该说法正确。
4. 选项D：举反例，π和无理数-π的和为0，0是有理数，因此“它与任何无理数的和是无理数”的说法错误。
1. 选项A：圆周率π是无限不循环小数，该说法正确。
2. 选项B：实数和数轴上的点一一对应，π属于实数，因此可以用数轴上唯一的一个点来表示，该说法正确。
3. 选项C：π≈3.14，它的相反数为-π≈-3.14，小于-3，该说法正确。
4. 选项D：举反例，π和无理数-π的和为0，0是有理数，因此“它与任何无理数的和是无理数”的说法错误。
二、填空题
11. 已知某数的一个平方根为$-\sqrt{13}$，则这个数为.
11. 已知某数的一个平方根为$-\sqrt{13}$，则这个数为.
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
解：根据平方根的定义，若一个数的一个平方根为$-\sqrt{13}$，则这个数为该平方根的平方，
即$(-\sqrt{13})^2 = 13$。
即$(-\sqrt{13})^2 = 13$。
12. 计算：$\sqrt{9} - |-2| =$ .
答案
解：
$\sqrt{9} - |-2| = 3 - 2 = 1$
$\sqrt{9} - |-2| = 3 - 2 = 1$
13. 在实数$\frac{2}{3}$，$\sqrt[3]{5}$，0，$π$中，无理数有个.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：根据无理数的定义逐一判断：
$\frac{2}{3}$是分数，属于有理数；
$\sqrt[3]{5}$是开方开不尽的数，属于无理数；
0是整数，属于有理数；
$π$是无限不循环小数，属于无理数。
因此无理数共有2个。
$\frac{2}{3}$是分数，属于有理数；
$\sqrt[3]{5}$是开方开不尽的数，属于无理数；
0是整数，属于有理数；
$π$是无限不循环小数，属于无理数。
因此无理数共有2个。
14. 比较大小：$-\sqrt{31}$ $-6$.（选填“＞”或“＜”）
答案
$＞$
解析
解：
∵ $6 = \sqrt{36}$，且$31 ＜ 36$，
∴ $\sqrt{31} ＜ \sqrt{36}$，即$\sqrt{31} ＜ 6$，
∴ $|-\sqrt{31}| ＜ |-6|$，
两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴ $-\sqrt{31} ＞ -6$。
∵ $6 = \sqrt{36}$，且$31 ＜ 36$，
∴ $\sqrt{31} ＜ \sqrt{36}$，即$\sqrt{31} ＜ 6$，
∴ $|-\sqrt{31}| ＜ |-6|$，
两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴ $-\sqrt{31} ＞ -6$。
15.若$2m-4$与$3m-1$是正数$a$的两个不同的平方根，则$a$为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
∵ 正数的两个不同平方根互为相反数，
∴ $(2m-4)+(3m-1)=0$，
整理得 $5m-5=0$，
解得 $m=1$。
将$m=1$代入$2m-4$，得$2×1 -4=-2$，
∴ $a=(-2)^2=4$。
最终
∵ 正数的两个不同平方根互为相反数，
∴ $(2m-4)+(3m-1)=0$，
整理得 $5m-5=0$，
解得 $m=1$。
将$m=1$代入$2m-4$，得$2×1 -4=-2$，
∴ $a=(-2)^2=4$。
最终
16. 已知 $ m ＜ \sqrt{19} ＜ m+1 $，且 $ m $ 为整数，则 $ m $ 的值为 。
答案
$\boxed{4}$
解析
解：
因为 $4^2 = 16$，$5^2 = 25$，
所以 $16 ＜ 19 ＜ 25$，
所以 $\sqrt{16} ＜ \sqrt{19} ＜ \sqrt{25}$，即 $4 ＜ \sqrt{19} ＜ 5$。
又因为 $m ＜ \sqrt{19} ＜ m+1$，且$m$为整数，
所以 $m = 4$。
最终
因为 $4^2 = 16$，$5^2 = 25$，
所以 $16 ＜ 19 ＜ 25$，
所以 $\sqrt{16} ＜ \sqrt{19} ＜ \sqrt{25}$，即 $4 ＜ \sqrt{19} ＜ 5$。
又因为 $m ＜ \sqrt{19} ＜ m+1$，且$m$为整数，
所以 $m = 4$。
最终
17. 数轴上点A表示$\sqrt{5}$，那么到点A的距离等于$3\sqrt{5}$的点所表示的数是。
答案
$4\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$
解析
解：
所求点有两个，分别位于点A的左右两侧：
当点在点A右侧时，对应的数为$\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$；
当点在点A左侧时，对应的数为$\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$。
所求点有两个，分别位于点A的左右两侧：
当点在点A右侧时，对应的数为$\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$；
当点在点A左侧时，对应的数为$\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$。
18. 若$4-\sqrt{5}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则代数式$2+\sqrt{5}a -b$的值为。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{5}-1}$
解析
解：
∵ $2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
∴ $-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$，
∴ $4-3 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 4-2$，即 $1 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 2$，
∴ $4-\sqrt{5}$的整数部分 $a=1$，
小数部分 $b = 4-\sqrt{5} - a = 4-\sqrt{5} - 1 = 3-\sqrt{5}$。
将$a=1$，$b=3-\sqrt{5}$代入代数式$2+\sqrt{5}a -b$：
$\begin{aligned}2+\sqrt{5}a -b&= 2 + \sqrt{5}×1 - (3-\sqrt{5})\\&= 2+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}\\&= 2\sqrt{5}-1\end{aligned}$
最终
∵ $2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
∴ $-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$，
∴ $4-3 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 4-2$，即 $1 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 2$，
∴ $4-\sqrt{5}$的整数部分 $a=1$，
小数部分 $b = 4-\sqrt{5} - a = 4-\sqrt{5} - 1 = 3-\sqrt{5}$。
将$a=1$，$b=3-\sqrt{5}$代入代数式$2+\sqrt{5}a -b$：
$\begin{aligned}2+\sqrt{5}a -b&= 2 + \sqrt{5}×1 - (3-\sqrt{5})\\&= 2+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}\\&= 2\sqrt{5}-1\end{aligned}$
最终
三、解答题
19. 计算：
(1)$(-2)^2 - (3 - 5) - \sqrt{4} + 2×3$； (2)$\sqrt[3]{27} - |2 - \sqrt{5}| - (1 - \sqrt{5}) + \sqrt{(-3)^2}$。
19. 计算：
(1)$(-2)^2 - (3 - 5) - \sqrt{4} + 2×3$； (2)$\sqrt[3]{27} - |2 - \sqrt{5}| - (1 - \sqrt{5}) + \sqrt{(-3)^2}$。
答案
解：
(1) 原式$=4 - (-2) - 2 + 6$
$=4 + 2 - 2 + 6$
$=10$
(2) 原式$=3 - (\sqrt{5} - 2) - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=3 - \sqrt{5} + 2 - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=7$
(1) 原式$=4 - (-2) - 2 + 6$
$=4 + 2 - 2 + 6$
$=10$
(2) 原式$=3 - (\sqrt{5} - 2) - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=3 - \sqrt{5} + 2 - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=7$
