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1. 下列计算中正确的是 （）
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{6}-2\sqrt{6}=3$
C.$2(\sqrt{3}+1)=2\sqrt{3}+1$
D.$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{2}$
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{6}-2\sqrt{6}=3$
C.$2(\sqrt{3}+1)=2\sqrt{3}+1$
D.$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{2}$
答案
D
解析
逐个分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并相加，计算错误；
2. 选项B：合并同类二次根式，$5\sqrt{6}-2\sqrt{6}=(5-2)\sqrt{6}=3\sqrt{6}≠3$，计算错误；
3. 选项C：根据乘法分配律，$2(\sqrt{3}+1)=2\sqrt{3}+2≠2\sqrt{3}+1$，计算错误；
4. 选项D：根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$，计算正确。
1. 选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并相加，计算错误；
2. 选项B：合并同类二次根式，$5\sqrt{6}-2\sqrt{6}=(5-2)\sqrt{6}=3\sqrt{6}≠3$，计算错误；
3. 选项C：根据乘法分配律，$2(\sqrt{3}+1)=2\sqrt{3}+2≠2\sqrt{3}+1$，计算错误；
4. 选项D：根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$，计算正确。
2. 下列计算中正确的是 （）
A.$(m-1)^2=m^2-1$
B.$(2m^3)^3=8m^9$
C.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}-\sqrt{5}=2$
A.$(m-1)^2=m^2-1$
B.$(2m^3)^3=8m^9$
C.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}-\sqrt{5}=2$
答案
B
解析
逐一验证各选项：
1. 选项A：由完全平方公式得$(m-1)^2=m^2-2m+1 ≠ m^2-1$，计算错误。
2. 选项B：由积的乘方运算法则得$(2m^3)^3=2^3 · (m^3)^3=8m^9$，计算正确。
3. 选项C：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{2}+\sqrt{3} ≠ \sqrt{5}$，计算错误。
4. 选项D：由同类二次根式合并法则得$2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5} ≠ 2$，计算错误。
1. 选项A：由完全平方公式得$(m-1)^2=m^2-2m+1 ≠ m^2-1$，计算错误。
2. 选项B：由积的乘方运算法则得$(2m^3)^3=2^3 · (m^3)^3=8m^9$，计算正确。
3. 选项C：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{2}+\sqrt{3} ≠ \sqrt{5}$，计算错误。
4. 选项D：由同类二次根式合并法则得$2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5} ≠ 2$，计算错误。
3. 下列等式中一定成立的是 （）
A.$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$
B.$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$
C.$\sqrt{a^2 - b^2}=a - b(a＞b)$
D.$\frac{1}{\sqrt{a}} · \frac{1}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{ab}}$
A.$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$
B.$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$
C.$\sqrt{a^2 - b^2}=a - b(a＞b)$
D.$\frac{1}{\sqrt{a}} · \frac{1}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{ab}}$
答案
D
解析
逐个验证选项：
1. 选项A：取a=1，b=1，左边$\sqrt{1}+\sqrt{1}=2$，右边$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，$2≠\sqrt{2}$，等式不成立。
2. 选项B：取a=4，b=1，左边$\sqrt{4}-\sqrt{1}=1$，右边$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，$1≠\sqrt{3}$，等式不成立。
3. 选项C：取a=5，b=3（满足a＞b），左边$\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，右边$5-3=2$，$4≠2$，等式不成立。
4. 选项D：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a＞0,b＞0$），因此$\frac{1}{\sqrt{a}}·\frac{1}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{a}·\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{ab}}$，等式一定成立。
1. 选项A：取a=1，b=1，左边$\sqrt{1}+\sqrt{1}=2$，右边$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，$2≠\sqrt{2}$，等式不成立。
2. 选项B：取a=4，b=1，左边$\sqrt{4}-\sqrt{1}=1$，右边$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，$1≠\sqrt{3}$，等式不成立。
3. 选项C：取a=5，b=3（满足a＞b），左边$\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，右边$5-3=2$，$4≠2$，等式不成立。
4. 选项D：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a＞0,b＞0$），因此$\frac{1}{\sqrt{a}}·\frac{1}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{a}·\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{ab}}$，等式一定成立。
4. 下列二次根式中是最简二次根式的是 （）
A.$\sqrt{a^3}$
B.$\sqrt{a^2+2a+1}$
C.$\sqrt{\frac{a}{2}}$
D.$\sqrt{a^2-1}$
A.$\sqrt{a^3}$
B.$\sqrt{a^2+2a+1}$
C.$\sqrt{\frac{a}{2}}$
D.$\sqrt{a^2-1}$
答案
D
解析
根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断：
1. 选项A：$\sqrt{a^3}=\sqrt{a^2· a}=a\sqrt{a}$，被开方数含能开得尽方的因式$a^2$，不是最简二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{a^2+2a+1}=\sqrt{(a+1)^2}=|a+1|$，被开方数是完全平方式，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{\frac{a}{2}}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{a^2-1}$，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，是最简二次根式。
1. 选项A：$\sqrt{a^3}=\sqrt{a^2· a}=a\sqrt{a}$，被开方数含能开得尽方的因式$a^2$，不是最简二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{a^2+2a+1}=\sqrt{(a+1)^2}=|a+1|$，被开方数是完全平方式，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{\frac{a}{2}}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{a^2-1}$，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，是最简二次根式。
5. 下列计算中正确的是（）
A.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
B.$\sqrt{5}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$
C.$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=2$
D.$\sqrt{(-5)^2}=\pm5$
A.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
B.$\sqrt{5}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$
C.$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=2$
D.$\sqrt{(-5)^2}=\pm5$
答案
C
解析
逐个分析选项：
1. 选项A：合并同类二次根式，$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，计算错误。
2. 选项B：$\sqrt{5}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{5}+\sqrt{2}≠\sqrt{7}$，计算错误。
3. 选项C：用平方差公式计算，$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2 - 1^2=3-1=2$，计算正确。
4. 选项D：算术平方根的结果为非负数，$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5≠\pm5$，计算错误。
1. 选项A：合并同类二次根式，$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，计算错误。
2. 选项B：$\sqrt{5}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{5}+\sqrt{2}≠\sqrt{7}$，计算错误。
3. 选项C：用平方差公式计算，$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2 - 1^2=3-1=2$，计算正确。
4. 选项D：算术平方根的结果为非负数，$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5≠\pm5$，计算错误。
6. 已知一个长方形的面积是$\sqrt{24}$，宽是$\sqrt{2}$，则它的长是（）
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
A
解析
根据长方形面积公式：长=面积÷宽，代入已知条件得长=$\sqrt{24} ÷ \sqrt{2}$，由二次根式除法运算法则可得$\sqrt{24} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{24÷2} = \sqrt{12}$，化简得$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
