1. 下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是 （）

A.$a=7,b=24,c=25$
B.$a=1.5,b=2,c=2.5$
C.$a=\frac{2}{3},b=2,c=\frac{5}{4}$
D.$a=15,b=8,c=17$

C

根据勾股定理的逆定理，验证每组数中两短边的平方和是否等于最长边的平方：
1. 选项A：$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，符合直角三角形三边关系；
2. 选项B：$1.5^2+2^2=2.25+4=6.25=2.5^2$，符合直角三角形三边关系；
3. 选项C：最长边为2，$(\frac{2}{3})^2+(\frac{5}{4})^2=\frac{4}{9}+\frac{25}{16}=\frac{289}{144}$，$2^2=4$，$\frac{289}{144}≠4$，不符合直角三角形三边关系；
4. 选项D：$15^2+8^2=225+64=289=17^2$，符合直角三角形三边关系。

2.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边的长分别为5里，12里，13里，这块沙田的面积为 （）

A.30平方里
B.32.5平方里
C.60平方里
D.65平方里

A

先验证三角形形状：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理逆定理，该三角形为直角三角形，直角边长为5里、12里。
计算面积：$S=\frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$ 平方里。

3. 若三角形的三边长从①9,12,15；②7,24,25；③$3^2,4^2,5^2$；④$1,\sqrt{3},2$中选取，则构成的是直角三角形的有（）

A.2个
B.3个
C.4个
D.1个

B

根据勾股定理的逆定理，逐一验证各组边长：
① 计算得$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，满足勾股定理，是直角三角形；
② 计算得$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，满足勾股定理，是直角三角形；
③ $3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，计算得$9^2+16^2=81+256=337≠625=25^2$，不满足勾股定理，不是直角三角形；
④ 计算得$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4=2^2$，满足勾股定理，是直角三角形。
综上，共3组可以构成直角三角形。

4.在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别记为$a$，$b$，$c$，则下列结论中不正确的是（）

A.如果$∠ A - ∠ B = ∠ C$，那么$△ ABC$是直角三角形
B.如果$a^2 = b^2 - c^2$，那么$△ ABC$是直角三角形且$∠ C = 90°$
C.如果$∠ A : ∠ B : ∠ C = 1:3:2$，那么$△ ABC$是直角三角形
D.如果$a^2 : b^2 : c^2 = 9:16:25$，那么$△ ABC$是直角三角形

B

逐个分析选项：
1. 选项A：由∠A-∠B=∠C得∠A=∠B+∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，可得2∠A=180°，即∠A=90°，△ABC是直角三角形，结论正确。
2. 选项B：由a²=b²-c²移项得a²+c²=b²，根据勾股定理逆定理，斜边为b，对应直角是∠B≠90°，结论错误。
3. 选项C：设∠A=x，∠B=3x，∠C=2x，由x+3x+2x=180°得x=30°，则∠B=90°，△ABC是直角三角形，结论正确。
4. 选项D：设a²=9k，b²=16k，c²=25k，可得a²+b²=25k=c²，满足勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形，结论正确。
综上，不正确的是B。

5.如图，四边形ABCD是一块空地，已知$AD=4$，$CD=3$，$∠ D=90°$，$AB=13$，$BC=12$，则这块空地的面积为 （）

A.6
B.78
C.24
D.26

C

连接AC，
1. 在Rt△ADC中，∠D=90°，AD=4，CD=3，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，即$AC=5$。
2. 在△ABC中，$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，验证得：
$AC^2+BC^2=5^2+12^2=169=13^2=AB^2$，由勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
3. 空地面积 = $S_{△ ABC}-S_{△ ADC}$ = $\frac{1}{2}×5×12 - \frac{1}{2}×3×4$ = $30-6=24$。