三、解答题
11. 如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成3:4两部分，∠DBE=8°，求∠ABC的度数.

解：设∠ABC的度数为$x$。
∵ $BD$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{x}{2}$。
∵ $BE$分$∠ ABC$成$3:4$两部分，由图可知$∠ ABE:∠ EBC=3:4$，
∴ $∠ ABE = \frac{3}{3+4}∠ ABC = \frac{3x}{7}$。
∵ $∠ DBE = ∠ ABD - ∠ ABE = 8°$，
∴ $\frac{x}{2} - \frac{3x}{7} = 8$，
通分整理得：$7x - 6x = 112$，
解得：$x=112$。
答：$∠ ABC$的度数为$112°$。

【分析】
本题可通过方程思想求解：首先设∠ABC的度数为未知数，再根据角平分线的定义表示出∠ABD的度数，接着依据BE分∠ABC的比例关系表示出∠ABE的度数，最后结合图形中∠DBE=∠ABD-∠ABE的和差关系列方程，解方程即可得到∠ABC的度数。
【解析】
解：设∠ABC的度数为$x$。
∵ $BD$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{x}{2}$。
∵ $BE$分$∠ ABC$成$3:4$两部分，由图可知$∠ ABE:∠ EBC=3:4$，
∴ $∠ ABE = \frac{3}{3+4}∠ ABC = \frac{3x}{7}$。
∵ $∠ DBE = ∠ ABD - ∠ ABE = 8°$，
∴ $\frac{x}{2} - \frac{3x}{7} = 8$，
通分整理得：$7x - 6x = 112$，
解得：$x=112$。
【答案】
$112°$
【知识点】
角平分线定义，角的和差关系，一元一次方程应用
【点评】
本题是角的计算的典型基础题，结合了角的比例、角平分线的性质，用方程法求解思路清晰直观，解题时需注意结合图形确认各角的大小关系，避免列错等式。
【难度系数】
0.7

12.如图，P是线段AB上任意一点，AB=12 cm，C，D两点分别从P，B同时出发向A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为t s.
(1)若AP=8 cm.
①运动1 s后，求CD的长；
②当点D在线段PB上运动时，试说明AC=2CD.
(2)如果t=2时，CD=1 cm，那么AP= cm.

(2) $\boldsymbol{9或11}$

【分析】
(1) 先根据AB和AP的长度求出PB的长度，再结合C、D的运动速度和运动时间，用含t的式子表示出CP、DB的长度，最后根据线段的和差关系计算CD的长度、证明AC=2CD即可。
(2) 设AP的长度为x cm，先计算t=2时C、D的运动路程，再分两种情况讨论：①点D在点C右侧时CD=1cm；②点D运动到点C左侧时CD=1cm，根据线段和差关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 已知AB=12cm，AP=8cm，因此PB=AB-AP=12-8=4cm。
① 运动1s时，t=1，
点C的运动路程CP=2×1=2cm，点D的运动路程DB=3×1=3cm，
此时PD=PB-DB=4-3=1cm，
因此CD=CP+PD=2+1=3cm。
② 当点D在线段PB上运动时，运动时间为t s，
则CP=2t cm，DB=3t cm，
AC=AP - CP=8 - 2t，
PD=PB - DB=4 - 3t，
CD=CP + PD=2t + (4 - 3t)=4 - t，
因此AC=8 - 2t=2×(4 - t)=2CD，AC=2CD得证。
(2) 设AP=x cm，则PB=(12 - x)cm，
当t=2时，CP=2×2=4cm，DB=3×2=6cm，
分两种情况讨论：
情况1：点D在点C右侧，此时CD=1cm，
AD=AB - DB=12 - 6=6cm，AC=AP - CP=x - 4 cm，
CD=AD - AC=6 - (x - 4)=1，解得x=9；
情况2：点D在点C左侧，此时CD=1cm，
CD=AC - AD=(x - 4) - 6=1，解得x=11；
综上可得AP的长度为9cm或11cm。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$；②证明见解析；(2)$\boldsymbol{9或11}$
【知识点】
线段和差计算，线段动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题核心是结合动点的运动方向、速度，用代数式表示对应线段的长度，解题时要注意对动点的相对位置进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65

13. 如图①,点A,O,B依次在直线MN上,现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转,同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转,直线MN保持不动,如图②.设旋转时间为0≤t≤30(单位:秒).
(1)当t=3时,求∠AOB的度数;
(2)在运动过程中,当∠AOB第二次达到72°时,求t的值;
(3)在旋转过程中是否存在这样的t,使得∠AOB=90°?如果存在,请求出t的值;如果不存在,请说明理由.

解：
(1) 当t=3时，
射线OA旋转的角度为：$4° × 3 = 12°$，
射线OB旋转的角度为：$6° × 3 = 18°$，
由点A,O,B初始共线得初始$∠ AOB=180°$，
因此$∠ AOB = 180° - 12° - 18° = 150°$。
(2) 当$∠ AOB$第二次达到$72°$时，两条射线已经相遇，此时两条射线旋转的角度之和比$180°$多$72°$，
列方程得：$4t + 6t = 180 + 72$，
即$10t = 252$，
解得$t=25.2$。
(3) 存在这样的t，使得$∠ AOB=90°$，分两种情况讨论：
① 当两条射线尚未相遇，$∠ AOB=90°$时，
$180 - 4t - 6t = 90$，
解得$t=9$；
② 当两条射线相遇之后，$∠ AOB=90°$时，
$4t + 6t - 180 = 90$，
解得$t=27$。
两个解均满足$0 ≤ t ≤ 30$的取值范围，
综上，t的值为9或27。

【分析】
本题是射线旋转的动态角度计算问题，解题思路如下：1. 先明确初始状态下点A、O、B共线，∠AOB是平角为180°，已知两条射线的旋转方向和速度，可先计算不同时间下两条射线各自旋转的角度；2. 第(1)问直接代入t=3，算出两条射线转过的角度，用初始平角减去两个转过的角度即可得到∠AOB的度数；3. 第(2)问要理解“第二次达到72°”的含义：第一次是两射线未相遇时夹角缩小到72°，第二次是两射线相遇后继续旋转，夹角再次扩大到72°，此时两射线转过的总角度比初始平角多72°，据此列方程求解即可；4. 第(3)问∠AOB=90°需分两种情况讨论：一是两射线未相遇时夹角为90°，二是两射线相遇后错开的夹角为90°，分别列方程求解后验证t是否在0≤t≤30的取值范围内即可。
【解析】
(1) 当t=3时，
射线OA顺时针旋转的角度为：$4° × 3 = 12°$，
射线OB逆时针旋转的角度为：$6° × 3 = 18°$，
初始时点A、O、B在直线MN上，$∠AOB=180°$，
因此$∠AOB = 180° - 12° - 18° = 150°$。
(2) 当$∠AOB$第二次达到$72°$时，两条射线已经相遇后继续旋转，此时两条射线旋转的角度之和比初始平角多$72°$，
列方程得：$4t + 6t = 180 + 72$，
即$10t = 252$，
解得$t=25.2$，符合$0≤t≤30$的要求。
(3) 存在这样的t，使得$∠AOB=90°$，分两种情况讨论：
① 当两条射线尚未相遇，$∠AOB=90°$时，
$180 - 4t - 6t = 90$，
解得$t=9$；
② 当两条射线相遇之后，$∠AOB=90°$时，
$4t + 6t - 180 = 90$，
解得$t=27$。
两个解均满足$0 ≤ t ≤ 30$的取值范围。
综上，t的值为9或27。
【答案】
(1) $\boxed{150°}$
(2) $\boxed{25.2}$
(3) 存在，$\boxed{t=9}$或$\boxed{t=27}$
【知识点】
平角的定义，动态角计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于动态几何中的角度计算典型题，核心是结合射线的运动阶段分类讨论，根据角度的和差关系建立方程求解，解题时要注意验证所得解是否符合运动时间的取值范围，能有效考查分类讨论思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6