1. 如图,将正方形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转$30^{\circ }$得到正方形 FECG,EF 交 AD 于点 P.
(1)求证:$PE= PD;$
(2)若$AB= \sqrt {3}$,求 PA 的长.

解: (1) 连接 PC. 由旋转得 $ BC = CE $，$ \angle E = \angle B = 90^{\circ} $，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $ BC = CD $，$ \angle D = \angle B = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle E = \angle D $，$ CE = CD $，
∴ $ \text{Rt} \triangle PCE \cong \text{Rt} \triangle PCD $，
∴ $ PE = PD $；
(2) ∵ $ \triangle PCE \cong \triangle PCD $，
∴ $ \angle PCE = \angle PCD $，
∵ $ \angle BCE = 30^{\circ} $，∴ $ \angle PCD = 30^{\circ} $。
在 $ \text{Rt} \triangle PCD $ 中，设 $ PD = a $，
则 $ PC = 2a $，
∴ $ CD = \sqrt{PC^{2} - PD^{2}} $
$ = \sqrt{4a^{2} - a^{2}} $
$ = \sqrt{3}a $
$ = \sqrt{3} $，
∴ $ a = 1 $，∴ $ PD = 1 $，
∴ $ PA = AD - PD = \sqrt{3} - 1 $。

2. 如图,$△ADE由△ABC$绕点 A 按逆时针方向旋转$90^{\circ }$得到,且点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 的延长线上,AD,EC 相交于点 P.
(1)求证:$ED⊥BD;$
(2)F 是 EC 延长线上的点,且$∠CDF= ∠DAC$. 求证:$DF= PF.$

证明: (1) ∵ $ \triangle ADE $ 由 $ \triangle ABC $ 绕点 A 按逆时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 得到，
∴ $ AB = AD $，$ \angle BAD = 90^{\circ} $，
$ \triangle ABC \cong \triangle ADE $，
在 $ \text{Rt} \triangle ABD $ 中，
$ \angle B = \angle ADB = 45^{\circ} $，
∴ $ \angle ADE = \angle B = 45^{\circ} $，
∴ $ \angle BDE = \angle ADB + \angle ADE = 90^{\circ} $，
即 $ ED \perp BD $；
(2) 由旋转的性质可知，
$ AC = AE $，$ \angle CAE = 90^{\circ} $，
在 $ \text{Rt} \triangle ACE $ 中，
$ \angle ACE = \angle AEC = 45^{\circ} $，
∵ $ \angle CDF = \angle CAD $，
$ \angle ACE = \angle ADB = 45^{\circ} $，
∴ $ \angle ADB + \angle CDF = \angle ACE + \angle CAD $，
即 $ \angle FDP = \angle FPD $，
∴ $ DF = PF $。

3. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ },∠ACB= 30^{\circ }$,将$△ABC$绕点 C 顺时针旋转$60^{\circ }得到△DEC$,点 A,B 的对应点分别是 D,E,F 是边 AC 的中点.
(1)求证:$DF⊥AC;$
(2)求证:四边形 BEDF 是平行四边形.

证明: (1) 连接 AD，由旋转得 $ AC = DC $，$ \angle ACD = 60^{\circ} $，
∴ $ \triangle ACD $ 为等边三角形，
∵ $ AF = CF $，∴ $ DF \perp AC $；
(2) ∵ F 是边 AC 中点，
$ \angle ABC = 90^{\circ} $，∴ $ BF = \frac{1}{2}AC $，
∵ $ \angle ACB = 30^{\circ} $，
∴ $ AB = \frac{1}{2}AC $，∴ $ BF = AB $，
∵ $ \triangle ABC $ 绕点 C 顺时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得到 $ \triangle DEC $，
∴ $ \angle BCE = \angle ACD = 60^{\circ} $，$ CB = CE $，
$ DE = AB $，
∴ $ DE = BF $，$ \triangle ABF $ 和 $ \triangle BCE $ 都为等边三角形，
∴ $ BE = CB $，∵ $ DF \perp AC $，
∴ $ \angle DFC = \angle ABC = 90^{\circ} $，
$ \angle DCF = \angle CAB = 60^{\circ} $，$ CD = AC $，
∴ $ \triangle CFD \cong \triangle ABC $，
∴ $ DF = BC $，∴ $ DF = BE $，
∵ $ BF = DE $，
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形。