1. 如图所示为由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格，线段AB的端点在格点(网格中小正方形的顶点)上，则$AB^{2}$的值为()

A.6
B.18
C.20
D.22
]

1. C

连接格点，构造直角三角形，两直角边长度分别为4和2。根据勾股定理，$AB^{2}=4^{2}+2^{2}=16 + 4=20$。
C

2. 已知一个直角三角形的两直角边的长分别为7和24，则下列说法正确的是()

A.斜边长为625
B.三角形的周长为84
C.斜边长为25
D.三角形的面积为168

2. C

在直角三角形中，两直角边分别为$a = 7$，$b = 24$。
根据勾股定理，斜边长$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{7^{2}+24^{2}}=\sqrt{49 + 576}=\sqrt{625}=25$。
三角形周长为$7+24 + 25=56$。
三角形面积为$\frac{1}{2}×7×24 = 84$。
综上，正确的是C。

3. 在下列横线上填上正确的数值：

(1)
$x=$；
(2)
$y=$；
(3)
$z=$.

$3. (1) 15 (2) 16 (3) \sqrt{29}$

4. (2024·攀枝花改编)已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和$\sqrt {2}$，则其斜边的长为.

$4. \sqrt{3}$

根据勾股定理，直角三角形斜边的长为两直角边平方和的算术平方根。已知两直角边分别为$1$和$\sqrt{2}$，则斜边的长为$\sqrt{1^{2} + (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$

5. 如图，阴影部分是半圆，这个半圆的面积为$cm^{2}$(结果保留π).
]

$5. 8\pi$

在直角三角形中，两直角边分别为$6\,cm$和另一直角边$a$，斜边为$10\,cm$。根据勾股定理$a^2 + 6^2 = 10^2$，解得$a = 8\,cm$，即半圆直径为$8\,cm$，半径$r = 4\,cm$。半圆面积$S=\frac{1}{2}\pi r^2=\frac{1}{2}\pi×4^2 = 8\pi\,cm^2$。
$8\pi$

6. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ }$，以AB，AC为边的正方形的面积分别为$S_{1}$，$S_{2}$. 若$S_{1}=21$，$S_{2}=12$，则BC的长为.
]

6. 3

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，
由正方形面积公式得：$S_{1}=AB^{2}=21$，$S_{2}=AC^{2}=12$，
根据勾股定理：$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，
则$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=21 - 12=9$，
$\therefore BC=\sqrt{9}=3$。

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ }$，$AC=5$，$BC=12$，$CO⊥AB$于点O. 求：
（1）AB的长；
（2）AO的长.
]

$7. (1) \because $在$ \triangle ABC $中$, \angle ACB = 90^{\circ}, \therefore AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}. \because AC = 5, BC = 12, \therefore AB^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169, \therefore AB = 13 (2) \because \angle ACB = 90^{\circ}, CO \perp AB, \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CO, $即$ AC \cdot BC = AB \cdot CO, \therefore 5 × 12 = 13CO, \therefore CO = \frac{60}{13}. \because $在$ Rt \triangle AOC $中$, AO^{2} + CO^{2} = AC^{2}, \therefore AO^{2} = AC^{2} - CO^{2} = 5^{2} - (\frac{60}{13})^{2} = \frac{625}{169}, \therefore AO = \frac{25}{13}$