20. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD//AB，交⊙O于点D，OD=2OC，则∠ABD的度数为.

15°

设⊙O的半径为r，∵OD=2OC，OD=r，∴OC=r/2。
∵OC⊥AB，∴△OAC为直角三角形，在Rt△OAC中，cos∠AOC=OC/OA=(r/2)/r=1/2，∴∠AOC=60°。
∵OD//AB，OC⊥AB，∴OC⊥OD，即∠COD=90°。
∴∠AOD=∠COD - ∠AOC=90° - 60°，即∠AOD=30°，故弧AD的度数为30°。
∠ABD为圆周角，其所对弧为弧AD，∴∠ABD=1/2×30°=15°。

21. (整体思想)(2024·资阳)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2.以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与$\overset{\frown}{DE}$交于点F，则图中涂色部分的面积为.

4π/3 - √3

设A(0,0)，则B(4,0)，D(0,2)，E(2,0)（AB中点）。以A为圆心、2为半径的弧DE（四分之一圆，方程x²+y²=4）与以E(2,0)为圆心、2为半径的半圆（方程(x-2)²+y²=4，y≥0）交于F(1,√3)。
半圆面积=1/2π×2²=2π。
在半圆中，∠FEB=120°（△AFE为等边三角形，∠AEF=60°，则∠FEB=180°-60°=120°）。
扇形EFB面积=120°/360°×π×2²=4π/3。
△EFB面积=1/2×2×2×sin120°=√3。
涂色部分（弓形FB）面积=扇形EFB面积-△EFB面积=4π/3 - √3。

22. (新考向·传统文化)如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.若Rt△ABC的内切圆的半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为.

289

设Rt△ABC的两直角边为a、b（a ＞ b），斜边为c。
∵小正方形面积为49，∴小正方形边长为7，即a - b = 7。
∵直角三角形内切圆半径r = 3，且r = (a + b - c)/2，∴(a + b - c)/2 = 3，即a + b = c + 6。
由勾股定理得a² + b² = c²。
联立a - b = 7和a + b = c + 6，解得a = (c + 13)/2，b = (c - 1)/2。
代入a² + b² = c²：[(c + 13)/2]² + [(c - 1)/2]² = c²，化简得c² - 12c - 85 = 0，解得c = 17（负值舍去）。
大正方形边长为c，面积为c² = 289。

23. (分类讨论思想)(2024·江西)如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折交直线AB于点F.当DE的长为正整数时，线段FB的长为.

2

以O为原点，AB为x轴建立坐标系，A(-1,0)，B(1,0)，O(0,0)。设C(c,0)，DE⊥AB于C，DE=2d，由勾股定理得c²+d²=1，DE=2√(1-c²)。DE为正整数，故DE=1或2。
当DE=2时，d=1，c=0（C与O重合）。翻折弧DBE（半圆）沿DE（y轴）对称，B(1,0)对称点为A(-1,0)，F=A。FB=AB=2。
当DE=1时，d=1/2，c=±√3/2。翻折后圆心为O'(√3,0)或O'(-√3,0)，与AB交于F(√3±1,0)或(-√3±1,0)，FB=√3或2-√3（非整数，舍去）。
综上，FB=2。

24. 如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A后停止.当点P运动的时间为s时，直线BP与⊙O相切.

1或5

连接OP，当BP与⊙O相切时，OP⊥BP。
∵⊙O半径为3cm，∴OP=3cm。
∵AB=OA=3cm，∴OB=OA+AB=6cm。
在Rt△OPB中，OP=3cm，OB=6cm，∴OP=1/2OB，∴∠POB=60°。
点P从A出发逆时针运动，分两种情况：
①P在OB上方时，∠AOP=60°，弧AP长=60π×3/180=π cm，时间=π/π=1s；
②P在OB下方时，∠AOP=360°-60°=300°，弧AP长=300π×3/180=5π cm，时间=5π/π=5s。

25. 如图，⊙O的半径为1，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°.
(1) △ABC的形状是.
(2) 试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论.
(3) 当点P位于$\overset{\frown}{AB}$的什么位置时，四边形APBC的面积最大? 请求出最大面积.

(1) 等边三角形
(2) PA + PB = PC。证明：在PC上截取PD = PA，连接AD。
∵ ∠APC = 60°，PD = PA，∴ △PAD为等边三角形，∴ PA = AD，∠PAD = 60°。
∵ △ABC为等边三角形（已证），∴ AB = AC，∠BAC = 60°，∴ ∠PAB = ∠DAC（∠PAD - ∠BAD = ∠BAC - ∠BAD）。
在△APB和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l} PA = AD \\ ∠PAB = ∠DAC \\ AB = AC \end{array}\right.$，∴ △APB≌△ADC（SAS），∴ PB = DC。
∵ PC = PD + DC，∴ PC = PA + PB。
(3) 当点P位于$\overset{\frown}{AB}$的中点时，四边形APBC面积最大。
∵ 四边形APBC面积 = S_△APC + S_△BPC = $\frac{1}{2}PA·PC·\sin60° + \frac{1}{2}PB·PC·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{4}PC(PA + PB)$。
由(2)知PA + PB = PC，∴ 面积 = $\frac{\sqrt{3}}{4}PC^2$。
PC为⊙O的弦，当PC为直径时最长，此时PC = 2（半径为1），面积 = $\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2 = \sqrt{3}$。
∵ P为$\overset{\frown}{AB}$中点时，PA = PB，PC为直径，∴ 最大面积为$\sqrt{3}$。