1. 如图10，在□ABCD中，E，F在对角线AC上，且AE=CF.求证：
(1)DE=BF；
(2)四边形DEBF是平行四边形.

【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AD// BC$，则$\angle DAE=\angle BCF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，$\begin{cases}AD = BC\\\angle DAE=\angle BCF\\AE = CF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$，所以$DE = BF$。
(2) 由(1)知$\triangle ADE\cong\triangle CBF$，所以$\angle AED=\angle CFB$，则$\angle DEF=\angle BFE$，所以$DE// BF$。
又因为$DE = BF$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$DEBF$是平行四边形。
【答案】：
(1) 证明见上述解析；(2) 证明见上述解析。

2. 如图11，P为正方形ABCD的边BC上一点，AQ平分∠DAP交CD于点Q.
(1)求证：AP=BP+DQ；
(2)若已知AP=BP+DQ，求证AQ平分∠DAP，其他条件不变，结论是否仍然成立？请说明理由.

1. （1）证明：
延长$CB$到$E$，使$BE = DQ$，连接$AE$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle ABC=\angle D = \angle BAD=90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ADQ$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\\angle ABE=\angle D = 90^{\circ}\\BE = DQ\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle ADQ$。
所以$\angle BAE=\angle DAQ$，$AE = AQ$。
因为$AQ$平分$\angle DAP$，所以$\angle DAQ=\angle PAQ$，则$\angle BAE=\angle PAQ$。
又因为$\angle EAP=\angle BAE+\angle BAP$，所以$\angle EAP=\angle PAQ+\angle BAP=\angle BAQ$。
而$\angle AEB+\angle BAE = 90^{\circ}$，$\angle AQD+\angle DAQ = 90^{\circ}$，$\angle BAE=\angle DAQ$，所以$\angle AEB=\angle AQD$。
因为$\triangle ABE\cong\triangle ADQ$，所以$\angle AEB=\angle AQD$，又$AE = AQ$，$\angle EAP=\angle BAQ$，$\angle APE=\angle AEB-\angle PAE$，$\angle AQP=\angle AQD-\angle PAQ$，所以$\angle APE=\angle AQP$。
在$\triangle AEP$中，$\angle AEP=\angle AQP$，所以$AP = EP$。
又因为$EP=BP + BE$，$BE = DQ$，所以$AP=BP + DQ$。
2. （2）结论仍然成立。
延长$CB$到$E$，使$BE = DQ$，连接$AE$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle ABC=\angle D = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ADQ$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\\angle ABE=\angle D\\BE = DQ\end{array}\right.$，根据$SAS$定理可得$\triangle ABE\cong\triangle ADQ$。
所以$AE = AQ$，$\angle BAE=\angle DAQ$。
因为$AP=BP + DQ$，$EP=BP + BE$，$BE = DQ$，所以$AP = EP$。
所以$\angle E=\angle EAP$。
又因为$\angle E=\angle AQD$（$\triangle ABE\cong\triangle ADQ$），所以$\angle AQD=\angle EAP$。
因为$\angle AQD=\angle DAQ + 90^{\circ}-\angle AQD$（在$\triangle ADQ$中，$\angle AQD+\angle DAQ = 90^{\circ}$），$\angle EAP=\angle BAE+\angle BAP$，$\angle BAE=\angle DAQ$，所以$\angle PAQ=\angle DAQ$。
即$AQ$平分$\angle DAP$。
综上，（1）得证$AP = BP + DQ$；（2）结论仍然成立。