1. 圆周角的概念
顶点在并且两边都与圆的角叫作圆周角。

1. 圆上 相交

2. 圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的.

2. 一半

3. 圆周角定理的推论
(1)同弧或等弧所对的圆周角
.
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
,90°的圆周角所对的弦是
.

3. (1) 相等
(2) 直角 直径

典例1 如图，在$\odot O$中，CD是$\odot O$上的一条弦，直径$AB ⊥ CD$，连接$AC$，$OD$，$∠ A = 26°$，则$∠ D$的度数是（）。

A.$26°$
B.$38°$
C.$52°$
D.$64°$

答案 B
解析 如图，连接OC.
∵CD是$\odot O$上的一条弦，直径$AB⊥ CD$，
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore ∠ COB＝∠ BOD$.
$\because ∠ A＝26°$，
$\therefore ∠ COB＝2∠ A＝52°$，
$\therefore ∠ BOD＝52°$，
$\therefore ∠ D＝90°－∠ BOD＝90°－52°＝38°$.故选 B.

举一反三 如图，A，B，C为$\odot O$上的三点，$∠ AOB = \frac{1}{3}∠ BOC$，$∠ BAC=30°$，则$∠ AOC$的度数为().


A.$100°$
B.$90°$
C.$80°$
D.$60°$

1. C

典例2 如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，BC，AC分别交⊙O于D，E两点，若
$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$，求证：AB=AC.
方法归纳 (1)当圆内出现直径(或半径)垂直于弦时，要运用垂径定理解决问题.
(2)当圆中出现直径时，要考虑利用直径所对的圆周角为直角，构造直角三角形求解.

证明 如图，连接AD.
$\because AB$为圆$O$的直径，$\therefore ∠ ADB＝∠ ADC＝90°$.
$\because \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$，$\therefore ∠ BAD＝∠ CAD$.
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAD, \\AD=AD, \\∠ ADB=∠ ADC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD$（ASA），
$\therefore AB＝AC$.

举一反三 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，连接AC，AD，BD，CD.若$∠ C＝50°$，则$∠ BAD$的度数为（）.
A. $30°$ B. $40°$ C. $45°$ D. $50°$

典例解析
典例1
答案 B
解析 如图，连接OC.∵CD是$\odot O$上的一条弦，直径$AB⊥ CD$，
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore ∠ COB＝∠ BOD$.
$\because ∠ A＝26°$，
$\therefore ∠ COB＝2∠ A＝52°$，
$\therefore ∠ BOD＝52°$，
$\therefore ∠ D＝90°－∠ BOD＝90°－52°＝38°$.故选 B.

典例2
证明 如图，连接AD.
$\because AB$为圆$O$的直径，$\therefore ∠ ADB＝∠ ADC＝90°$.
$\because \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$，$\therefore ∠ BAD＝∠ CAD$.
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAD, \\AD=AD, \\∠ ADB=∠ ADC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD$（ASA），
$\therefore AB＝AC$.

2. B