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1. 计算$\frac{3x}{x-1} - \frac{3}{x-1}$的结果是(
A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2 -1}$
A
).A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2 -1}$
答案
1. A
解析
【分析】
这是同分母分式的减法运算题，解题思路如下：首先观察到两个分式的分母相同，根据同分母分式的减法运算规则，只需保持分母不变，将两个分子相减，再对得到的分子进行因式分解，最后约分化简就能得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{3x - 3}{x - 1}\\&=\frac{3(x - 1)}{x - 1} \quad \mathrm{（分子提取公因式3）}\\&=3 \quad \mathrm{（由分式有意义得}x≠1\mathrm{，约去公因式}x-1\mathrm{）}\end{aligned}$
因此计算结果为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的核心是熟练掌握同分母分式的运算法则，运算后要注意将结果化简为最简分式或整式。
【难度系数】
0.9
这是同分母分式的减法运算题，解题思路如下：首先观察到两个分式的分母相同，根据同分母分式的减法运算规则，只需保持分母不变，将两个分子相减，再对得到的分子进行因式分解，最后约分化简就能得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{3x - 3}{x - 1}\\&=\frac{3(x - 1)}{x - 1} \quad \mathrm{（分子提取公因式3）}\\&=3 \quad \mathrm{（由分式有意义得}x≠1\mathrm{，约去公因式}x-1\mathrm{）}\end{aligned}$
因此计算结果为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的核心是熟练掌握同分母分式的运算法则，运算后要注意将结果化简为最简分式或整式。
【难度系数】
0.9
2. 计算$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 -1}$的结果是(
A.$-1$
B.$x-1$
C.$\frac{1}{x+1}$
D.$\frac{1}{x^2 -1}$
C
).A.$-1$
B.$x-1$
C.$\frac{1}{x+1}$
D.$\frac{1}{x^2 -1}$
答案
2. C
解析
【分析】
本题是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对第二个分式的分母因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将异分母分式通分化为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则计算，最后约分得到最简结果，再匹配选项即可。
【解析】
首先利用平方差公式分解分母：$x^2-1=(x-1)(x+1)$，因此两个分式的最简公分母为$(x-1)(x+1)$。
对第一个分式通分：$\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$
再按照同分母分式减法法则计算：
$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 -1}$
$=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}$
$=\frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)}$
$=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
约分（$x≠1$）后得：$\frac{1}{x+1}$
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加减法，平方差公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题关键是先通过因式分解确定最简公分母完成通分，计算后要注意将结果化为最简分式，运算时需注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.8
本题是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对第二个分式的分母因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将异分母分式通分化为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则计算，最后约分得到最简结果，再匹配选项即可。
【解析】
首先利用平方差公式分解分母：$x^2-1=(x-1)(x+1)$，因此两个分式的最简公分母为$(x-1)(x+1)$。
对第一个分式通分：$\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$
再按照同分母分式减法法则计算：
$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 -1}$
$=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}$
$=\frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)}$
$=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
约分（$x≠1$）后得：$\frac{1}{x+1}$
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加减法，平方差公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题关键是先通过因式分解确定最简公分母完成通分，计算后要注意将结果化为最简分式，运算时需注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.8
3. 若$\frac{3-2x}{x-1}=\_\_\_\_\_\_+\frac{1}{x-1}$，则中的数是(
A.－1
B.－2
C.－3
D.任意实数
B
).A.－1
B.－2
C.－3
D.任意实数
答案
3. B
解析
【分析】
要求横线上的数，可根据加减法的互逆关系，用等式左边的分式减去等式右边已知的分式求解。因为两个分式分母相同，直接将分子相减，再化简分子、约分即可得到结果，计算时注意去括号的符号变化，且约分时要保证分母不为0（本题中等式成立的前提是$x≠1$，满足约分条件）。
【解析】
设横线上的数为$A$，根据题意得：
$\begin{aligned}A&=\frac{3-2x}{x-1}-\frac{1}{x-1}\\&=\frac{(3-2x)-1}{x-1}\\&=\frac{2-2x}{x-1}\\&=\frac{-2(x-1)}{x-1}\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知$x≠1$，因此可约去分母$x-1$，得$A=-2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、整式化简
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是利用加减互逆关系转化为同分母分式减法计算，解题时要注意去括号的符号规则，明确约分的前提是分母不为0，掌握基础运算规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要求横线上的数，可根据加减法的互逆关系，用等式左边的分式减去等式右边已知的分式求解。因为两个分式分母相同，直接将分子相减，再化简分子、约分即可得到结果，计算时注意去括号的符号变化，且约分时要保证分母不为0（本题中等式成立的前提是$x≠1$，满足约分条件）。
【解析】
设横线上的数为$A$，根据题意得：
$\begin{aligned}A&=\frac{3-2x}{x-1}-\frac{1}{x-1}\\&=\frac{(3-2x)-1}{x-1}\\&=\frac{2-2x}{x-1}\\&=\frac{-2(x-1)}{x-1}\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知$x≠1$，因此可约去分母$x-1$，得$A=-2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、整式化简
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是利用加减互逆关系转化为同分母分式减法计算，解题时要注意去括号的符号规则，明确约分的前提是分母不为0，掌握基础运算规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
4.计算：$\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{a + b} =$
$\frac{1}{a-b}$
答案
4. $\frac{1}{a-b}$
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，第一个分母$a^2-b^2$可以利用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，由此确定两个分式的最简公分母为$(a+b)(a-b)$；第二步将两个分式通分，转化为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，注意去括号时的符号变化；最后对得到的分式约分，化为最简分式即可。
【解析】
解：先对第一个分式的分母因式分解：
$\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{a + b} = \frac{2a}{(a+b)(a-b)} - \frac{1}{a+b}$
确定最简公分母为$(a+b)(a-b)$，将第二个分式通分：
$= \frac{2a}{(a+b)(a-b)} - \frac{a-b}{(a+b)(a-b)}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$= \frac{2a - (a - b)}{(a+b)(a-b)}$
化简分子：
$= \frac{2a - a + b}{(a+b)(a-b)} = \frac{a + b}{(a+b)(a-b)}$
约去分子分母的公因式$a+b$（$a+b≠0$）：
$= \frac{1}{a - b}$
【答案】
$\frac{1}{a-b}$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 异分母分式减法
3. 分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考察异分母分式加减的运算逻辑，解题的关键是正确对分母因式分解找到最简公分母，运算时需注意去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，第一个分母$a^2-b^2$可以利用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，由此确定两个分式的最简公分母为$(a+b)(a-b)$；第二步将两个分式通分，转化为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，注意去括号时的符号变化；最后对得到的分式约分，化为最简分式即可。
【解析】
解：先对第一个分式的分母因式分解：
$\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{a + b} = \frac{2a}{(a+b)(a-b)} - \frac{1}{a+b}$
确定最简公分母为$(a+b)(a-b)$，将第二个分式通分：
$= \frac{2a}{(a+b)(a-b)} - \frac{a-b}{(a+b)(a-b)}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$= \frac{2a - (a - b)}{(a+b)(a-b)}$
化简分子：
$= \frac{2a - a + b}{(a+b)(a-b)} = \frac{a + b}{(a+b)(a-b)}$
约去分子分母的公因式$a+b$（$a+b≠0$）：
$= \frac{1}{a - b}$
【答案】
$\frac{1}{a-b}$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 异分母分式减法
3. 分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考察异分母分式加减的运算逻辑，解题的关键是正确对分母因式分解找到最简公分母，运算时需注意去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
5. 计算:
(1)$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2+2ab}{a+b}$；
(2)$\frac{x-2y}{2x-y}-\frac{x+y}{2x-y}$；
(3)$\frac{m+2n}{n-m}+\frac{n}{n-m}-\frac{2n}{n-m}$；
(4)$\frac{x^2-5}{x-2}-\frac{x}{x-2}-\frac{1+x}{2-x}$。
(1)$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2+2ab}{a+b}$；
(2)$\frac{x-2y}{2x-y}-\frac{x+y}{2x-y}$；
(3)$\frac{m+2n}{n-m}+\frac{n}{n-m}-\frac{2n}{n-m}$；
(4)$\frac{x^2-5}{x-2}-\frac{x}{x-2}-\frac{1+x}{2-x}$。
答案
5. 解 （1）原式 = $\frac{a^2+b^2+2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2}{a+b}=a+b.$
（2）原式 = $\frac{x-2y-x-y}{2x-y} = \frac{-3y}{2x-y} = -\frac{3y}{2x-y}.$
（3）原式 = $\frac{m+2n+n-2n}{n-m} = \frac{m+n}{n-m}.$
（4）原式 = $\frac{x^2-5-x+1+x}{x-2} = \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2.$
（2）原式 = $\frac{x-2y-x-y}{2x-y} = \frac{-3y}{2x-y} = -\frac{3y}{2x-y}.$
（3）原式 = $\frac{m+2n+n-2n}{n-m} = \frac{m+n}{n-m}.$
（4）原式 = $\frac{x^2-5-x+1+x}{x-2} = \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2.$
解析
【分析】
这四道题均考查分式的加减运算，解题思路如下：1. 先判断分式的分母是否相同：前3道题分母均相同，可直接用同分母分式加减法法则计算；第4题中分母$2-x$与$x-2$互为相反数，先利用分式符号法则将分母统一为$x-2$，再按同分母加减计算。2. 同分母分式加减时，遵循“分母不变，分子相加减”的规则，注意分子是多项式时要视作整体，避免符号错误。3. 合并分子后，对分子因式分解，能约分的要约分，最终结果化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 两个分式分母均为$a+b$，直接合并分子：
原式 = $\frac{a^2+b^2+2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2}{a+b}=a+b$。
(2) 两个分式分母均为$2x-y$，直接合并分子：
原式 = $\frac{x-2y-x-y}{2x-y} = \frac{-3y}{2x-y} = -\frac{3y}{2x-y}$。
(3) 三个分式分母均为$n-m$，直接合并分子：
原式 = $\frac{m+2n+n-2n}{n-m} = \frac{m+n}{n-m}$。
(4) 先将$\frac{1+x}{2-x}$变形为$\frac{1+x}{-(x-2)}=-\frac{1+x}{x-2}$，再合并分子：
原式 = $\frac{x^2-5-x+1+x}{x-2} = \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$。
【答案】
(1)$a+b$；(2)$-\dfrac{3y}{2x-y}$；(3)$\dfrac{m+n}{n-m}$；(4)$x+2$
【知识点】
1. 同分母分式加减法 2. 分式约分 3. 乘法公式应用
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考查运算法则的掌握和符号处理能力，解题时要注意分母互为相反数的转化技巧，合并分子后优先考虑因式分解约分，确保结果最简。
【难度系数】
0.8
这四道题均考查分式的加减运算，解题思路如下：1. 先判断分式的分母是否相同：前3道题分母均相同，可直接用同分母分式加减法法则计算；第4题中分母$2-x$与$x-2$互为相反数，先利用分式符号法则将分母统一为$x-2$，再按同分母加减计算。2. 同分母分式加减时，遵循“分母不变，分子相加减”的规则，注意分子是多项式时要视作整体，避免符号错误。3. 合并分子后，对分子因式分解，能约分的要约分，最终结果化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 两个分式分母均为$a+b$，直接合并分子：
原式 = $\frac{a^2+b^2+2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2}{a+b}=a+b$。
(2) 两个分式分母均为$2x-y$，直接合并分子：
原式 = $\frac{x-2y-x-y}{2x-y} = \frac{-3y}{2x-y} = -\frac{3y}{2x-y}$。
(3) 三个分式分母均为$n-m$，直接合并分子：
原式 = $\frac{m+2n+n-2n}{n-m} = \frac{m+n}{n-m}$。
(4) 先将$\frac{1+x}{2-x}$变形为$\frac{1+x}{-(x-2)}=-\frac{1+x}{x-2}$，再合并分子：
原式 = $\frac{x^2-5-x+1+x}{x-2} = \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$。
【答案】
(1)$a+b$；(2)$-\dfrac{3y}{2x-y}$；(3)$\dfrac{m+n}{n-m}$；(4)$x+2$
【知识点】
1. 同分母分式加减法 2. 分式约分 3. 乘法公式应用
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考查运算法则的掌握和符号处理能力，解题时要注意分母互为相反数的转化技巧，合并分子后优先考虑因式分解约分，确保结果最简。
【难度系数】
0.8
6. 对于代数式 $a,b,c,d$ 规定一种运算：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \frac{a}{d} - \frac{b}{c}$。按照此规则，$\begin{vmatrix} x & -1 \\ x+1 & x+1 \end{vmatrix}$ 计算的结果为( )。
A.$x^2$
B.$\frac{x+1}{x}$
C.$\frac{x+1}{x-1}$
D.$1$
A.$x^2$
B.$\frac{x+1}{x}$
C.$\frac{x+1}{x-1}$
D.$1$
答案
6. D 解析 根据题意，得
$\begin{vmatrix} x & -1 \\ x+1 & x+1 \end{vmatrix} = \frac{x}{x+1} - \frac{-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1}=1,$故选 D.
$\begin{vmatrix} x & -1 \\ x+1 & x+1 \end{vmatrix} = \frac{x}{x+1} - \frac{-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1}=1,$故选 D.
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先准确理解给定的运算规则，明确二阶行列式中四个位置的数依次对应公式中的a、b、c、d；第二步将题目中行列式对应位置的代数式代入运算公式，注意b为-1，代入时要保留符号避免出错；第三步按照同分母分式的加减法则计算，最后约分化简得到结果。
【解析】
根据题中规定的运算规则$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \frac{a}{d} - \frac{b}{c}$，可得：
$a=x$，$b=-1$，$c=x+1$，$d=x+1$，代入得：
$\begin{vmatrix} x & -1 \\ x+1 & x+1 \end{vmatrix} = \frac{x}{x+1} - \frac{-1}{x+1}$
$=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题重点考查对新定义的理解能力和分式基础运算能力，解题的关键是准确对应新定义中各字母的位置，计算时注意符号处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.9
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先准确理解给定的运算规则，明确二阶行列式中四个位置的数依次对应公式中的a、b、c、d；第二步将题目中行列式对应位置的代数式代入运算公式，注意b为-1，代入时要保留符号避免出错；第三步按照同分母分式的加减法则计算，最后约分化简得到结果。
【解析】
根据题中规定的运算规则$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \frac{a}{d} - \frac{b}{c}$，可得：
$a=x$，$b=-1$，$c=x+1$，$d=x+1$，代入得：
$\begin{vmatrix} x & -1 \\ x+1 & x+1 \end{vmatrix} = \frac{x}{x+1} - \frac{-1}{x+1}$
$=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题重点考查对新定义的理解能力和分式基础运算能力，解题的关键是准确对应新定义中各字母的位置，计算时注意符号处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.9
7. 甲、乙两地相距$s$ km，汽车从甲地到乙地按$v$ km每小时的平均速度行驶，可按时到达.若每小时多行驶$a$ km，则汽车可提前几小时到达？
答案
7. 解 根据题意，得 $\frac{s}{v} - \frac{s}{v+a} = \frac{s(v+a)}{v(v+a)} - \frac{sv}{v(v+a)}=\frac{sa}{v(v+a)}(\mathrm{h}).$
所以汽车可提前$\frac{sa}{v(v+a)}\mathrm{h}$到达.
所以汽车可提前$\frac{sa}{v(v+a)}\mathrm{h}$到达.
解析
【分析】
解题首先要用到行程问题的基本关系：时间=路程÷速度。第一步先计算按原速度行驶从甲地到乙地的原定时间，第二步计算提速后行驶全程的实际时间，第三步用原定时间减去实际时间就能得到提前的时长，最后对列出的分式进行通分化简即可得到最终结果。
【解析】
解：根据题意，汽车按原速度行驶的原定时间为$\frac{s}{v}$ h，
提速后行驶速度为$(v+a)$ km/h，提速后行驶全程的时间为$\frac{s}{v+a}$ h，
因此提前到达的时间为：
$\frac{s}{v} - \frac{s}{v+a}$
$= \frac{s(v+a)}{v(v+a)} - \frac{sv}{v(v+a)}$
$=\frac{sv+sa-sv}{v(v+a)}$
$=\frac{sa}{v(v+a)}(\mathrm{h})$
【答案】
$\frac{sa}{v(v+a)}\mathrm{h}$
【知识点】
1.行程问题基本关系 2.分式的加减运算
【点评】
本题是分式运算在实际行程场景中的基础应用题，核心是找准“提前时长=原定时间-提速后时间”的等量关系，计算时要遵循分式通分、化简的规则，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
解题首先要用到行程问题的基本关系：时间=路程÷速度。第一步先计算按原速度行驶从甲地到乙地的原定时间，第二步计算提速后行驶全程的实际时间，第三步用原定时间减去实际时间就能得到提前的时长，最后对列出的分式进行通分化简即可得到最终结果。
【解析】
解：根据题意，汽车按原速度行驶的原定时间为$\frac{s}{v}$ h，
提速后行驶速度为$(v+a)$ km/h，提速后行驶全程的时间为$\frac{s}{v+a}$ h，
因此提前到达的时间为：
$\frac{s}{v} - \frac{s}{v+a}$
$= \frac{s(v+a)}{v(v+a)} - \frac{sv}{v(v+a)}$
$=\frac{sv+sa-sv}{v(v+a)}$
$=\frac{sa}{v(v+a)}(\mathrm{h})$
【答案】
$\frac{sa}{v(v+a)}\mathrm{h}$
【知识点】
1.行程问题基本关系 2.分式的加减运算
【点评】
本题是分式运算在实际行程场景中的基础应用题，核心是找准“提前时长=原定时间-提速后时间”的等量关系，计算时要遵循分式通分、化简的规则，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
8. 已知 $ a, b, c $ 都是正数，$ P = \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} + \dfrac{1}{c+1} $，$ Q = \dfrac{bc}{bc+1} + \dfrac{ac}{ac+1} + \dfrac{ab}{ab+1} $，若 $ P = Q $，则 $ a, b, c $ 之间有什么关系？试证明你的结论。
答案
8. 解 $abc = 1$. 证明：由 $ P = Q $ 得
$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} = \frac{bc}{bc+1} + \frac{ac}{ac+1} + \frac{ab}{ab+1}$，即 $(\frac{1}{a+1} - \frac{bc}{bc+1}) + (\frac{1}{b+1} - \frac{ac}{ac+1})+(\frac{1}{c+1} - \frac{ab}{ab+1})=0$，
整理得$(1-abc)[\frac{1}{(a+1)(bc+1)} + \frac{1}{(b+1)(ac+1)} + \frac{1}{(c+1)(ab+1)}]=0$，
$\because a,b,c$ 都是正数，
$\therefore 1-abc=0,$即 $abc=1.$
$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} = \frac{bc}{bc+1} + \frac{ac}{ac+1} + \frac{ab}{ab+1}$，即 $(\frac{1}{a+1} - \frac{bc}{bc+1}) + (\frac{1}{b+1} - \frac{ac}{ac+1})+(\frac{1}{c+1} - \frac{ab}{ab+1})=0$，
整理得$(1-abc)[\frac{1}{(a+1)(bc+1)} + \frac{1}{(b+1)(ac+1)} + \frac{1}{(c+1)(ab+1)}]=0$，
$\because a,b,c$ 都是正数，
$\therefore 1-abc=0,$即 $abc=1.$
解析
【分析】
已知$P=Q$，我们可以先将两个式子移项到等号同侧，把对应分式两两分组作差，再对每组的差进行通分化简，观察化简后的式子结构，提取公因式，最后结合$a、b、c$都是正数的条件，判断非零因式，即可推出$a、b、c$的关系。
【解析】
证明：由$P=Q$可得：
$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} = \frac{bc}{bc+1} + \frac{ac}{ac+1} + \frac{ab}{ab+1}$
移项后分组得：
$(\frac{1}{a+1} - \frac{bc}{bc+1}) + (\frac{1}{b+1} - \frac{ac}{ac+1}) + (\frac{1}{c+1} - \frac{ab}{ab+1}) = 0$
对每组分式通分化简，以第一组为例：
$\frac{1}{a+1} - \frac{bc}{bc+1} = \frac{(bc+1) - bc(a+1)}{(a+1)(bc+1)} = \frac{bc+1 - abc - bc}{(a+1)(bc+1)} = \frac{1-abc}{(a+1)(bc+1)}$
同理可得另外两组化简结果分别为$\frac{1-abc}{(b+1)(ac+1)}$、$\frac{1-abc}{(c+1)(ab+1)}$，代入上式可得：
$(1-abc)[\frac{1}{(a+1)(bc+1)} + \frac{1}{(b+1)(ac+1)} + \frac{1}{(c+1)(ab+1)}] = 0$
$\because a、b、c$都是正数，$\therefore$ 中括号内每个分式的分母均为正数，三个正数的和大于0，即中括号部分不为0，
$\therefore 1-abc=0$，即$abc=1$。
【答案】
$abc=1$
【知识点】
分式的通分运算，等式的变形，因式分解的应用
【点评】
本题是分式运算的典型应用题型，解题核心是通过移项分组、通分化简提取公因式，结合正数的性质排除非零因式，即可快速得到结论，能够有效考察学生的分式运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
已知$P=Q$，我们可以先将两个式子移项到等号同侧，把对应分式两两分组作差，再对每组的差进行通分化简，观察化简后的式子结构，提取公因式，最后结合$a、b、c$都是正数的条件，判断非零因式，即可推出$a、b、c$的关系。
【解析】
证明：由$P=Q$可得：
$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} = \frac{bc}{bc+1} + \frac{ac}{ac+1} + \frac{ab}{ab+1}$
移项后分组得：
$(\frac{1}{a+1} - \frac{bc}{bc+1}) + (\frac{1}{b+1} - \frac{ac}{ac+1}) + (\frac{1}{c+1} - \frac{ab}{ab+1}) = 0$
对每组分式通分化简，以第一组为例：
$\frac{1}{a+1} - \frac{bc}{bc+1} = \frac{(bc+1) - bc(a+1)}{(a+1)(bc+1)} = \frac{bc+1 - abc - bc}{(a+1)(bc+1)} = \frac{1-abc}{(a+1)(bc+1)}$
同理可得另外两组化简结果分别为$\frac{1-abc}{(b+1)(ac+1)}$、$\frac{1-abc}{(c+1)(ab+1)}$，代入上式可得：
$(1-abc)[\frac{1}{(a+1)(bc+1)} + \frac{1}{(b+1)(ac+1)} + \frac{1}{(c+1)(ab+1)}] = 0$
$\because a、b、c$都是正数，$\therefore$ 中括号内每个分式的分母均为正数，三个正数的和大于0，即中括号部分不为0，
$\therefore 1-abc=0$，即$abc=1$。
【答案】
$abc=1$
【知识点】
分式的通分运算，等式的变形，因式分解的应用
【点评】
本题是分式运算的典型应用题型，解题核心是通过移项分组、通分化简提取公因式，结合正数的性质排除非零因式，即可快速得到结论，能够有效考察学生的分式运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
