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2. 某科技实验室研发了一台数据处理器，当输入任意一组数对$(a,b)(b＜10)$时，处理器会按照规则$a^2 -5b +2$计算并输出结果.
(1)若输入$a=\sqrt{5},b=1$时，求处理器输出的数值；
(2)已知输入数对$(n,2n)$后，处理器输出结果为$-7$，求$n$的值.
(1)若输入$a=\sqrt{5},b=1$时，求处理器输出的数值；
(2)已知输入数对$(n,2n)$后，处理器输出结果为$-7$，求$n$的值.
答案
2. (1)2
(2)1
(2)1
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题型，解题思路如下：(1)第一问为直接代入求值，只需将给定的a、b数值代入运算规则$a^2 -5b +2$，按照实数运算规则计算即可；(2)第二问先将数对$(n,2n)$对应代入运算规则中的a、b，结合输出结果为-7列出一元二次方程，求解方程后需注意题目给出的$b＜10$的限制条件，对得到的解进行检验，舍去不符合条件的增根即可得到正确的n值。
【解析】
(1)将$a=\sqrt{5},b=1$代入运算规则$a^2 -5b +2$得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{5})^2 -5×1 +2\\&=5 -5 +2\\&=2\end{aligned}$
(2)将$a=n,b=2n$代入运算规则，结合输出结果为-7列方程：
$n^2 -5×2n +2=-7$
整理得：$n^2 -10n +9=0$
因式分解得：$(n-1)(n-9)=0$
解得：$n_1=1，n_2=9$
根据题意$b＜10$，即$2n＜10$，得$n＜5$，故$n=9$不符合条件，舍去。
因此$n=1$。
【答案】
(1)2；(2)1
【知识点】
代数式求值；一元二次方程求解；参数取值验证
【点评】
本题是新定义运算的基础题型，核心考察代入运算能力和一元二次方程的解法，解题时需注意题目隐藏的参数限制条件，避免遗漏验根步骤导致出现增根。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算类题型，解题思路如下：(1)第一问为直接代入求值，只需将给定的a、b数值代入运算规则$a^2 -5b +2$，按照实数运算规则计算即可；(2)第二问先将数对$(n,2n)$对应代入运算规则中的a、b，结合输出结果为-7列出一元二次方程，求解方程后需注意题目给出的$b＜10$的限制条件，对得到的解进行检验，舍去不符合条件的增根即可得到正确的n值。
【解析】
(1)将$a=\sqrt{5},b=1$代入运算规则$a^2 -5b +2$得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{5})^2 -5×1 +2\\&=5 -5 +2\\&=2\end{aligned}$
(2)将$a=n,b=2n$代入运算规则，结合输出结果为-7列方程：
$n^2 -5×2n +2=-7$
整理得：$n^2 -10n +9=0$
因式分解得：$(n-1)(n-9)=0$
解得：$n_1=1，n_2=9$
根据题意$b＜10$，即$2n＜10$，得$n＜5$，故$n=9$不符合条件，舍去。
因此$n=1$。
【答案】
(1)2；(2)1
【知识点】
代数式求值；一元二次方程求解；参数取值验证
【点评】
本题是新定义运算的基础题型，核心考察代入运算能力和一元二次方程的解法，解题时需注意题目隐藏的参数限制条件，避免遗漏验根步骤导致出现增根。
【难度系数】
0.8
【拓展思考】
某机器人研究小组对机器人行走时的步长$s$(米/步)、步频$f$(步/秒)与步行速度$v$(米/秒)进行研究,步长$s$是指机器人单步前进的距离,步频$f$是指单位时间内机器人完成的步数,则机器人的步行速度=步长×步频,即$v=sf$. 在测试模式下,已知步长$s$与步频$f$满足一次函数$s=-0.2f+1.2$($0＜f＜6$).
(1)当步频$f = 2$(步/秒)时,步长$s$为
(2)机器人的步行速度$v$能否达到1.8(米/秒)? 若能,请求出此时步频$f$的值;若不能,请说明理由.
(3)研究小组记录了某两次测试情况:在第一次测试中,机器人以某步频行走了8米;在第二次测试中,机器人的步频比第一次多了1步/秒,并在与第一次相同的时间内行走了9米,求第一次测试中机器人的步频.
某机器人研究小组对机器人行走时的步长$s$(米/步)、步频$f$(步/秒)与步行速度$v$(米/秒)进行研究,步长$s$是指机器人单步前进的距离,步频$f$是指单位时间内机器人完成的步数,则机器人的步行速度=步长×步频,即$v=sf$. 在测试模式下,已知步长$s$与步频$f$满足一次函数$s=-0.2f+1.2$($0＜f＜6$).
(1)当步频$f = 2$(步/秒)时,步长$s$为
0.8
(米/步),步行速度$v$为1.6
(米/秒).(2)机器人的步行速度$v$能否达到1.8(米/秒)? 若能,请求出此时步频$f$的值;若不能,请说明理由.
(3)研究小组记录了某两次测试情况:在第一次测试中,机器人以某步频行走了8米;在第二次测试中,机器人的步频比第一次多了1步/秒,并在与第一次相同的时间内行走了9米,求第一次测试中机器人的步频.
答案
1. 0.8, 1.6
2. 能，此时步频$f$的值为3
3. 第一次测试中机器人的步频为2(步/秒)
2. 能，此时步频$f$的值为3
3. 第一次测试中机器人的步频为2(步/秒)
解析
【分析】
(1) 第一问属于基础代入求值题，直接将f=2代入给定的一次函数表达式即可求出步长s，再根据速度公式v=sf计算步行速度；
(2) 第二问先将s=-0.2f+1.2代入v=sf，得到v关于f的二次函数表达式，令v=1.8得到一元二次方程，求解后验证解是否满足0＜f＜6的取值范围即可判断；
(3) 第三问设第一次步频为f，先分别表示出两次测试的步行速度，再根据“两次行走时间相同”这一等量关系列分式方程，求解后结合f的取值范围检验根的合理性即可。
【解析】
(1) 当f=2时，代入s=-0.2f+1.2得：
$s=-0.2×2 +1.2=0.8$（米/步）
根据$v=sf$，得$v=0.8×2=1.6$（米/秒）
(2) 能，理由如下：
将$s=-0.2f+1.2$代入$v=sf$，得：
$v=f(-0.2f+1.2)=-0.2f²+1.2f$
令$v=1.8$，得方程：
$-0.2f²+1.2f=1.8$
整理得：$f²-6f+9=0$
解得：$f₁=f₂=3$
经检验，$0＜3＜6$，符合取值范围，故步行速度能达到1.8米/秒。
(3) 设第一次测试中机器人的步频为$f$步/秒（$0＜f＜6$），则第二次步频为$(f+1)$步/秒。
第一次的步长$s₁=-0.2f+1.2$，速度$v₁=s₁f=f(-0.2f+1.2)$，行走时间$t₁=\frac{8}{v₁}$；
第二次的步长$s₂=-0.2(f+1)+1.2=-0.2f+1$，速度$v₂=s₂(f+1)=(f+1)(-0.2f+1)$，行走时间$t₂=\frac{9}{v₂}$；
由两次时间相等$t₁=t₂$，列方程：
$\frac{8}{f(-0.2f+1.2)}=\frac{9}{(f+1)(-0.2f+1)}$
交叉相乘整理得：$f²-22f+40=0$
解得：$f₁=2，f₂=20$
经检验，$f₂=20$不符合$0＜f＜6$的取值范围，舍去；$f=2$是原方程的解且符合题意。
【答案】
(1) 0.8，1.6
(2) 能，此时步频$f$的值为3
(3) 第一次测试中机器人的步频为2步/秒
【知识点】
一次函数的应用；一元二次方程的解法；分式方程的应用
【点评】
本题结合机器人行走的实际场景，综合考察了函数和方程的相关应用，既涉及基础的代入求值运算，也需要结合等量关系列方程求解，解题时需注意根据题目给定的参数取值范围对解进行检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于基础代入求值题，直接将f=2代入给定的一次函数表达式即可求出步长s，再根据速度公式v=sf计算步行速度；
(2) 第二问先将s=-0.2f+1.2代入v=sf，得到v关于f的二次函数表达式，令v=1.8得到一元二次方程，求解后验证解是否满足0＜f＜6的取值范围即可判断；
(3) 第三问设第一次步频为f，先分别表示出两次测试的步行速度，再根据“两次行走时间相同”这一等量关系列分式方程，求解后结合f的取值范围检验根的合理性即可。
【解析】
(1) 当f=2时，代入s=-0.2f+1.2得：
$s=-0.2×2 +1.2=0.8$（米/步）
根据$v=sf$，得$v=0.8×2=1.6$（米/秒）
(2) 能，理由如下：
将$s=-0.2f+1.2$代入$v=sf$，得：
$v=f(-0.2f+1.2)=-0.2f²+1.2f$
令$v=1.8$，得方程：
$-0.2f²+1.2f=1.8$
整理得：$f²-6f+9=0$
解得：$f₁=f₂=3$
经检验，$0＜3＜6$，符合取值范围，故步行速度能达到1.8米/秒。
(3) 设第一次测试中机器人的步频为$f$步/秒（$0＜f＜6$），则第二次步频为$(f+1)$步/秒。
第一次的步长$s₁=-0.2f+1.2$，速度$v₁=s₁f=f(-0.2f+1.2)$，行走时间$t₁=\frac{8}{v₁}$；
第二次的步长$s₂=-0.2(f+1)+1.2=-0.2f+1$，速度$v₂=s₂(f+1)=(f+1)(-0.2f+1)$，行走时间$t₂=\frac{9}{v₂}$；
由两次时间相等$t₁=t₂$，列方程：
$\frac{8}{f(-0.2f+1.2)}=\frac{9}{(f+1)(-0.2f+1)}$
交叉相乘整理得：$f²-22f+40=0$
解得：$f₁=2，f₂=20$
经检验，$f₂=20$不符合$0＜f＜6$的取值范围，舍去；$f=2$是原方程的解且符合题意。
【答案】
(1) 0.8，1.6
(2) 能，此时步频$f$的值为3
(3) 第一次测试中机器人的步频为2步/秒
【知识点】
一次函数的应用；一元二次方程的解法；分式方程的应用
【点评】
本题结合机器人行走的实际场景，综合考察了函数和方程的相关应用，既涉及基础的代入求值运算，也需要结合等量关系列方程求解，解题时需注意根据题目给定的参数取值范围对解进行检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
