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7. 下列分式中，最简分式是 (
A.$\frac{21xy}{15y^{2}}$
B.$\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$
C.$\frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{x - y}$
D.$\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y}$
D
)A.$\frac{21xy}{15y^{2}}$
B.$\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$
C.$\frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{x - y}$
D.$\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y}$
答案
D
解析
最简分式的标准是分子和分母没有除1以外的公因式，
对于A选项，可以对分子和分母进行因式分解，然后化简，$\frac{21xy}{15y^{2}} = \frac{3 × 7xy}{3 × 5y^{2}} = \frac{7x}{5y}$，
由于分子和分母有公因式可以化简，所以A不是最简分式。
对于B选项，同样对分子和分母进行因式分解，$\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y} = \frac{(x + y)(x - y)}{x + y} = x - y$，
由于分子和分母有公因式$x + y$可以化简，所以B不是最简分式。
对于C选项，对分子进行因式分解，$\frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{x - y} = \frac{(x - y)^{2}}{x - y} = x - y$，
由于分子和分母有公因式$x - y$可以化简，所以C不是最简分式。
对于D选项，观察分子和分母，它们没有除1以外的公因式，所以D是最简分式。
对于A选项，可以对分子和分母进行因式分解，然后化简，$\frac{21xy}{15y^{2}} = \frac{3 × 7xy}{3 × 5y^{2}} = \frac{7x}{5y}$，
由于分子和分母有公因式可以化简，所以A不是最简分式。
对于B选项，同样对分子和分母进行因式分解，$\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y} = \frac{(x + y)(x - y)}{x + y} = x - y$，
由于分子和分母有公因式$x + y$可以化简，所以B不是最简分式。
对于C选项，对分子进行因式分解，$\frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{x - y} = \frac{(x - y)^{2}}{x - y} = x - y$，
由于分子和分母有公因式$x - y$可以化简，所以C不是最简分式。
对于D选项，观察分子和分母，它们没有除1以外的公因式，所以D是最简分式。
8. 下列各式的计算中不正确的有 (
①$10^{0} ÷ 10^{- 1} = 10$; ②$( - 0.1)^{0} ÷ ( - 2^{- 1})^{- 3} = 8$;
③$10^{- 4}(2 × 7)^{0} = 1000$; ④$( - 10)^{- 4} ÷ ( - 10^{- 1})^{- 4} = - 1$。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)①$10^{0} ÷ 10^{- 1} = 10$; ②$( - 0.1)^{0} ÷ ( - 2^{- 1})^{- 3} = 8$;
③$10^{- 4}(2 × 7)^{0} = 1000$; ④$( - 10)^{- 4} ÷ ( - 10^{- 1})^{- 4} = - 1$。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
B
解析
①$10^{0} ÷ 10^{-1}=1÷\frac{1}{10}=10$，正确；②$(-0.1)^{0}=1$，$(-2^{-1})^{-3}=(-\frac{1}{2})^{-3}=(-2)^{3}=-8$，$1÷(-8)=-\frac{1}{8}≠8$，错误；③$10^{-4}(2×7)^{0}=10^{-4}×1=\frac{1}{10000}≠1000$，错误；④$(-10)^{-4}=\frac{1}{(-10)^{4}}=\frac{1}{10000}$，$(-10^{-1})^{-4}=(-\frac{1}{10})^{-4}=(-10)^{4}=10000$，$\frac{1}{10000}÷10000=\frac{1}{100000000}≠-1$，错误。不正确的有②③④，共3个。
9. 若$2^{x} = 3$，$4^{y} = 5$，则$2^{x + 2y}$的值为 (
A.15
B.$-2$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{3}{25}$
A
)A.15
B.$-2$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{3}{25}$
答案
A
解析
本题可根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则对$2^{x + 2y}$进行变形，再将已知条件代入求解。
步骤一：根据同底数幂的乘法法则对$2^{x + 2y}$进行变形
同底数幂的乘法法则为：$a^m× a^n=a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数），那么$2^{x + 2y}=2^x×2^{2y}$。
步骤二：根据幂的乘方法则对$2^{2y}$进行变形
幂的乘方法则为：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），因为$4 = 2^2$，所以$4^y=(2^2)^y = 2^{2y}$，已知$4^y = 5$，则$2^{2y}=5$。
步骤三：将$2^x = 3$，$2^{2y}=5$代入$2^x×2^{2y}$求值
把$2^x = 3$，$2^{2y}=5$代入$2^x×2^{2y}$可得：$2^x×2^{2y}=3×5 = 15$，即$2^{x + 2y}=15$。
步骤一：根据同底数幂的乘法法则对$2^{x + 2y}$进行变形
同底数幂的乘法法则为：$a^m× a^n=a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数），那么$2^{x + 2y}=2^x×2^{2y}$。
步骤二：根据幂的乘方法则对$2^{2y}$进行变形
幂的乘方法则为：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），因为$4 = 2^2$，所以$4^y=(2^2)^y = 2^{2y}$，已知$4^y = 5$，则$2^{2y}=5$。
步骤三：将$2^x = 3$，$2^{2y}=5$代入$2^x×2^{2y}$求值
把$2^x = 3$，$2^{2y}=5$代入$2^x×2^{2y}$可得：$2^x×2^{2y}=3×5 = 15$，即$2^{x + 2y}=15$。
10. 若分式方程$\frac{m}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2} = \frac{1}{x - 2}$有增根，则$m$的值为 (
A.2
B.4
C.2或$-2$
D.4或$-8$
D
)A.2
B.4
C.2或$-2$
D.4或$-8$
答案
D
解析
原方程为$\frac{m}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2} = \frac{1}{x - 2}$，
首先确定增根的可能值。
由于分母有$x^{2} - 4 = (x + 2)(x - 2)$，
因此增根可能为$x = 2$或$x = -2$。
将原方程两边都乘以$(x + 2)(x - 2)$，得到：
$m - 2(x - 2) = x + 2$，
化简得：
$m - 2x + 4 = x + 2$，
$m= 3x - 2$，
当$x = 2$时，代入$m= 3x - 2$，得$m = 3×2 - 2=4$，
当$x = -2$时，代入$m= 3x - 2$，得$m = 3×(-2) - 2=-8$，
所以$m$的值为$4$或$-8$。
首先确定增根的可能值。
由于分母有$x^{2} - 4 = (x + 2)(x - 2)$，
因此增根可能为$x = 2$或$x = -2$。
将原方程两边都乘以$(x + 2)(x - 2)$，得到：
$m - 2(x - 2) = x + 2$，
化简得：
$m - 2x + 4 = x + 2$，
$m= 3x - 2$，
当$x = 2$时，代入$m= 3x - 2$，得$m = 3×2 - 2=4$，
当$x = -2$时，代入$m= 3x - 2$，得$m = 3×(-2) - 2=-8$，
所以$m$的值为$4$或$-8$。
11. 袁枚的一首诗《苔》中写道：``白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.''若苔花的花粉直径约为$0.0000084$米，则数据$0.0000084$用科学记数法表示为
$8.4× 10^{-6}$
。答案
$8.4× 10^{-6}$
解析
科学记数法的表示形式为$a × 10^{n}$，其中$1\leq \vert a\vert＜10$，$n$为整数。确定$n$的值时，要看把原数变成$a$时，小数点移动了多少位，$n$的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值$\gt 1$时，$n$是正数；当原数绝对值$\lt 1$时，$n$是负数。
对于$0.0000084$，要使$a$满足$1\leq \vert a\vert＜10$，则$a = 8.4$，原数小数点向右移动了$6$位才得到$8.4$，且原数绝对值$\lt 1$，所以$n=-6$，用科学记数法表示为$8.4× 10^{-6}$。
对于$0.0000084$，要使$a$满足$1\leq \vert a\vert＜10$，则$a = 8.4$，原数小数点向右移动了$6$位才得到$8.4$，且原数绝对值$\lt 1$，所以$n=-6$，用科学记数法表示为$8.4× 10^{-6}$。
12. 已知$x + y = 5$，$xy = 3$，则$x^{2} + 5xy + y^{2} =$
34
。答案
34
解析
因为$x + y = 5$，所以$(x + y)^2 = 25$，即$x^2 + 2xy + y^2 = 25$。又因为$xy = 3$，所以$x^2 + y^2 = 25 - 2xy = 25 - 6 = 19$。则$x^2 + 5xy + y^2 = (x^2 + y^2) + 5xy = 19 + 15 = 34$。
13. 如图，在锐角$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$上的高，在$BA$，$BC$上分别截取线段$BE$，$BF$，使$BE = BF$；分别以点$E$，$F$为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，在$\angle ABC$内，两弧相交于点$P$，作射线$BP$，交$AD$于点$M$，过点$M$作$MN \perp AB$于点$N$。若$MN = 2$，$AD = 4MD$，则$AM =$
6
。答案
6
解析
由作图知BP平分∠ABC。∵AD⊥BC，MN⊥AB，M在BP上，∴MN=MD（角平分线上的点到角两边距离相等）。∵MN=2，∴MD=2。∵AD=4MD，∴AD=4×2=8。∴AM=AD-MD=8-2=6。
14. 如图，$AD$，$BE$均为$\triangle ABC$的高，且$AB = AC$，连接$DE$交$AB$于点$O$。若$\angle C = 38°$，则$\angle OEB$的度数为
52
。答案
52
解析
∵AB=AC，∠C=38°，∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠C=38°，∠BAC=180°-2×38°=104°．
∵AD是BC边上的高，由等腰三角形三线合一，AD平分∠BAC，D为BC中点，∴∠BAD=∠CAD=52°，BD=DC．
∵BE是AC边上的高，∠C=38°，∴在Rt△BEC中，∠EBC=90°-∠C=52°．
∵D为BC中点，Rt△BEC中，斜边中线DE=BC/2=BD，∴DE=BD，△BDE为等腰三角形，∠DEB=∠DBE=52°．
∵DE交AB于O，∴∠OEB=∠DEB=52°．
15. 甲、乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问：甲、乙两人每小时各走多少千米？设甲每小时走$x$千米，则可列方程为
$\frac{5}{x - 1} - \frac{5}{x} = \frac{1}{4}$
。答案
$\frac{5}{x - 1} - \frac{5}{x} = \frac{1}{4}$
解析
设甲每小时走$x$千米，则乙每小时走$(x - 1)$千米。15分钟=$\frac{15}{60}$小时=$\frac{1}{4}$小时。根据时间=路程÷速度，乙所用时间为$\frac{5}{x - 1}$小时，甲所用时间为$\frac{5}{x}$小时。因为甲比乙早到$\frac{1}{4}$小时，所以乙用的时间 - 甲用的时间=$\frac{1}{4}$小时，可列方程为$\frac{5}{x - 1} - \frac{5}{x} = \frac{1}{4}$。
