1. 如图 , 已知 $AB=AC, AD=AE$, 欲证 $\triangle ABD \cong \triangle ACE$, 需要补充的条件是()。


A.$\angle B=\angle C$
B.$\angle D=\angle E$
C.$\angle 1=\angle 2$
D.$\angle CAD=\angle DAC$

C

已知 $AB = AC$， $AD = AE$，要证明 $\triangle ABD \cong \triangle ACE$，需要补充一个角相等的条件。观察选项：
A. $\angle B = \angle C$：已知两边和一角，但角不是两条已知边之间的角，不能证明三角形全等。
B. $\angle D = \angle E$：已知两边和一角，但角不是两条已知边之间的角，不能证明三角形全等。
C. $\angle 1 = \angle 2$：$\angle 1 = \angle 2$，则$\angle BAD = \angle CAE$，已知$AB = AC$， $AD = AE$，符合SAS全等条件。
D. $\angle CAD = \angle DAC$：此条件无意义，因为同一个角总是相等。
因此，选择C。

2. 如图 , 在 $\triangle ABC$ 中 , $\angle ABC=45^{\circ}, AC=8 cm$, 点 $F$ 是高 $AD$ 与 $BE$ 的交点 , 则 $BF$ 的长是 ()。


A.$4 cm$
B.$6 cm$
C.$8 cm$
D.$9 cm$

C

∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°。
在Rt△ABD中，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC，∴AD=BD。
∵∠DBF+∠C=90°（Rt△BEC中两锐角互余），∠DAC+∠C=90°（Rt△ADC中两锐角互余），∴∠DBF=∠DAC（同角的余角相等）。
在△BDF和△ADC中，∠DBF=∠DAC，BD=AD，∠BDF=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA）。
∴BF=AC=8cm。

3. 如图 , 在 $\triangle ABC$ 中 , $AB=6, BC=5, AC=4, AD$ 平分 $\angle BAC$, 交 $BC$ 于点 $D$, 在 $AB$ 上截取 $AE=AC$, 则 $\triangle BDE$ 的周长为()。


A.8
B.7
C.6
D.5

B

∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD。
在△AED和△ACD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），∴DE=DC。
∵AE=AC=4，AB=6，∴BE=AB-AE=6-4=2。
△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+DC=BE+BC=2+5=7。

4. 如图 , 在 $ Rt \triangle OAB$ 中 , $\angle AOB=30^{\circ}$, 将 $\triangle AOB$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转 $100^{\circ}$ 得到 $\triangle A_1OB_1$, 则 $\angle A_1OB$ 的度数为 ()。


A.$30^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

B

由题意，$\triangle AOB$绕点$O$逆时针旋转$100°$得到$\triangle A_1OB_1$，
$\angle AOA_1 = 100°$，
$\angle AOB = 30°$，
且$\angle A_1OB = \angle AOA_1 - \angle AOB=100° - 30° = 70°$。