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1.用配方法解一元二次方程$2x^2-3x-1=0$时,配方正确的是(
A.$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{17}{16}$
B.$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{1}{2}$
C.$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}$
D.$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{11}{4}$
A
).A.$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{17}{16}$
B.$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{1}{2}$
C.$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}$
D.$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{11}{4}$
答案
A
解析
首先，将原方程 $2x^2 - 3x - 1 = 0$ 两边同时除以2，得到：
$x^{2} - \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}$
为了配方，我们需要使左侧成为一个完全平方的形式。
为此，我们取一半的线性项系数（即 $-\frac{3}{2}$ 的一半，为 $-\frac{3}{4}$），然后平方它，得到 $\left(-\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{9}{16}$。
将这个值加到等式两边，得到：
$x^{2} - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$
简化右侧，得到：
$x^{2} - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{17}{16}$
现在，左侧是一个完全平方，可以写为：
$\left(x - \frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{17}{16}$
$x^{2} - \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}$
为了配方，我们需要使左侧成为一个完全平方的形式。
为此，我们取一半的线性项系数（即 $-\frac{3}{2}$ 的一半，为 $-\frac{3}{4}$），然后平方它，得到 $\left(-\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{9}{16}$。
将这个值加到等式两边，得到：
$x^{2} - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$
简化右侧，得到：
$x^{2} - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{17}{16}$
现在，左侧是一个完全平方，可以写为：
$\left(x - \frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{17}{16}$
2.关于$x$的一元二次方程$kx^2-2x-1=0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值范围是
(
A.$k＞-1$
B.$k＞-1$且$k\neq0$
C.$k＜1$
D.$k＜1$且$k\neq0$
(
B
).A.$k＞-1$
B.$k＞-1$且$k\neq0$
C.$k＜1$
D.$k＜1$且$k\neq0$
答案
B
解析
关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2 - 2x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，需要满足以下条件：
1. 二次项系数 $k \neq 0$；
2. 判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中 $a = k$，$b = -2$，$c = -1$。
计算判别式：
$\Delta = (-2)^2 - 4 · k · (-1) = 4 + 4k ＞ 0$，
即 $4 + 4k ＞ 0$，解得 $k ＞ -1$。
综合条件 $k \neq 0$ 和 $k ＞ -1$，得到 $k ＞ -1$ 且 $k \neq 0$。
1. 二次项系数 $k \neq 0$；
2. 判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中 $a = k$，$b = -2$，$c = -1$。
计算判别式：
$\Delta = (-2)^2 - 4 · k · (-1) = 4 + 4k ＞ 0$，
即 $4 + 4k ＞ 0$，解得 $k ＞ -1$。
综合条件 $k \neq 0$ 和 $k ＞ -1$，得到 $k ＞ -1$ 且 $k \neq 0$。
3.已知$x^2+3x+5=9$,则代数式$3x^2+9x-2$的值为(
A.4
B.6
C.8
D.10
D
).A.4
B.6
C.8
D.10
答案
D
解析
由已知条件$x^2+3x+5=9$，可得$x^2+3x=4$。
将$x^2+3x=4$代入代数式$3x^2+9x-2$中，得：
$3x^2+9x-2=3(x^2+3x)-2=3×4-2=12-2=10$。
将$x^2+3x=4$代入代数式$3x^2+9x-2$中，得：
$3x^2+9x-2=3(x^2+3x)-2=3×4-2=12-2=10$。
4.如果非零实数$n$是关于$x$的方程$x^2-mx+n=0$的根,那么$n-m$的值为(
A.$-\frac{1}{2}$
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$
B
).A.$-\frac{1}{2}$
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$
答案
B
解析
根据题意，非零实数 $n$ 是方程 $x^2 - mx + n = 0$ 的根，因此可以将 $n$ 代入方程，得到：
$n^2 - mn + n = 0$
由于 $n$ 是非零实数，可以将方程两边同时除以 $n$，得到：
$n - m + 1 = 0$
从上式可以解出 $n - m$ 的值为：
$n - m = -1$
$n^2 - mn + n = 0$
由于 $n$ 是非零实数，可以将方程两边同时除以 $n$，得到：
$n - m + 1 = 0$
从上式可以解出 $n - m$ 的值为：
$n - m = -1$
5.若方程$x^2-2x-4=0$的两个实数根分别为$\alpha,\beta$,则$\alpha^2+\beta^2$的值为(
A.12
B.10
C.4
D.$-4$
A
).A.12
B.10
C.4
D.$-4$
答案
A
解析
对于方程$x^2 - 2x - 4 = 0$，根据韦达定理，得$\alpha + \beta = 2$，$\alpha\beta = -4$。
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 2^2 - 2×(-4) = 4 + 8 = 12$。
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 2^2 - 2×(-4) = 4 + 8 = 12$。
6.一元二次方程$(a+1)x^2-ax+a^2-1=0$的一个根为$0$,则$a=$
1
.答案
（这里假设如果这是选择题选项中的值对应为）1对应的选项（由于无选项，按要求只填数值对应概念答案形式这里按题目要求只写最终数值相关判断下的答案标识）1（实际若选项为A.1 B -1等则填A）
解析
因为题目给出一元二次方程$(a+1)x^{2}-ax+a^{2}-1 = 0$的一个根为$0$，
把$x = 0$代入方程可得：$(a + 1)×0^{2}-a×0+a^{2}-1=0$，
即$a^{2}-1 = 0$，
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，则$a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)=0$，
解得$a = 1$或$a=-1$。
又因为方程$(a + 1)x^{2}-ax+a^{2}-1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a + 1\neq0$，即$a\neq - 1$。
所以$a = 1$。
把$x = 0$代入方程可得：$(a + 1)×0^{2}-a×0+a^{2}-1=0$，
即$a^{2}-1 = 0$，
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，则$a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)=0$，
解得$a = 1$或$a=-1$。
又因为方程$(a + 1)x^{2}-ax+a^{2}-1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a + 1\neq0$，即$a\neq - 1$。
所以$a = 1$。
7.一个三角形两边的长分别为$2$和$5$,第三边的长是方程$x^2-8x+12=0$的根,则该三角形的周长为
13
.答案
13
解析
解方程$x^2 - 8x + 12 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 6) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 6$。
当第三边为$2$时，$2 + 2 = 4 ＜ 5$，不满足三角形三边关系，舍去；
当第三边为$6$时，$2 + 5 = 7 ＞ 6$，$5 - 2 = 3 ＜ 6$，满足三边关系。
三角形周长为$2 + 5 + 6 = 13$。
当第三边为$2$时，$2 + 2 = 4 ＜ 5$，不满足三角形三边关系，舍去；
当第三边为$6$时，$2 + 5 = 7 ＞ 6$，$5 - 2 = 3 ＜ 6$，满足三边关系。
三角形周长为$2 + 5 + 6 = 13$。
