12.(7分)如图,$\triangle ABC$和$\triangle ABD$都是直角三角形,且$\angle C = \angle D = 90°$.
求证:$A,B,C,D$四点在同一个圆上.

取 AB 的中点 O．
因为 $\angle ADB = 90°$，
在 $Rt\triangle ABD$ 中，
$OD = OA = OB = \frac{1}{2} AB$，
因为 $\angle ACB = 90°$，
在 $Rt\triangle ABC$ 中，
$OC = OA = OB = \frac{1}{2} AB$，
所以 $OA = OB = OC = OD$，
所以 A，B，C，D 四个点在以 O 为圆心， segment AB 的长度为直径的一个圆上。

13.(8分)如图,在$\odot O$中,$B$是$\odot O$上的一点,$\angle ABC = 120°$,弦$AC = 2\sqrt{3}$,点$M$为圆上一点,
连接$MA,MC$.求$\odot O$的半径.

连接OA、OC，设⊙O的半径为r。
∵∠ABC是⊙O的圆周角，∠ABC=120°，
∴∠ABC所对优弧AC的度数为2×120°=240°，
∴劣弧AC的度数为360°-240°=120°，故圆心角∠AOC=120°。
过点O作OD⊥AC于点D，由垂径定理得AD=AC/2=2√3/2=√3，且∠AOD=∠AOC/2=60°。
在Rt△AOD中，sin∠AOD=AD/OA，即sin60°=√3/r，
∵sin60°=√3/2，∴√3/2=√3/r，解得r=2。
答：⊙O的半径为2。