1. [2026常州期中]用直尺和圆规画一个角等于已知角(如图),是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质,其运用全等的判定方法是 ()

A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS

1 D

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆尺规作一个角等于已知角的操作步骤，从作图过程中找到两个三角形对应的相等元素，再结合全等三角形的判定定理，判断所用的判定方法即可。
【解析】
我们先回顾尺规作一个角等于已知角的完整过程：
1. 在已知角的顶点处，以顶点为圆心、任意长度为半径画弧，分别交已知角的两条边于两个点；
2. 画一条新射线，以新射线的端点为圆心、刚才所用的相同半径画弧，交新射线于一点；
3. 以新得到的交点为圆心，取已知角上弧与两边交点的线段长度为半径画弧，和步骤2中画的弧交于一点，连接新射线端点和这个交点得到新角。
从作图过程可得：构造出的两个三角形，三条边分别对应相等，根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等（即SSS判定），再由全等三角形对应角相等，即可得到两个角相等。因此所用的全等判定方法是SSS，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作相等角；全等三角形判定；SSS判定定理
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定，需要同学们熟练掌握作一个角等于已知角的操作步骤，能从作图过程中提取对应相等的边，进而判断对应的全等判定方法，是对基础知识点应用的考查。
【难度系数】
0.8

2.［2025连云港海州区期末改编］如图，已知点A,D,B,F在一条直线上，$AC=EF$，$BC=DE$.
（1）若要用“SAS”判定$△ ABC ≌ △ FDE$，则还需要添加的条件是；
（2）若要用“SSS”判定$△ ABC ≌ △ FDE$，则还需要添加的条件是.

2 (1) ∠ACB = ∠FED;(2) AB = FD(或AD = BF)

【分析】
解题前先回忆全等三角形的SAS和SSS判定规则，再结合已知条件推导缺失的条件：
1. 首先明确已知的两组对应边：$AC=EF$，$BC=DE$，对应三角形为$△ ABC$和$△ FDE$。
2. 第一问用SAS判定：SAS要求两边及其夹角对应相等，先找到已知两组边的夹角，缺的就是夹角相等的条件。
3. 第二问用SSS判定：SSS要求三组对应边都相等，已知两组边，缺第三组对应边相等的条件；再结合四点共线的条件，可通过线段和差得到等价的边相等条件。
【解析】
（1）SAS判定全等的规则是：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
已知$AC=EF$，$BC=DE$，$AC$与$BC$的夹角是$∠ ACB$，$EF$与$DE$的夹角是$∠ FED$，因此需要添加这两个夹角相等的条件，即$∠ ACB=∠ FED$，即可用“SAS”判定$△ ABC ≌ △ FDE$。
（2）SSS判定全等的规则是：三边对应相等的两个三角形全等。
已知$AC=EF$，$BC=DE$，缺失第三组对应边$AB$与$FD$相等的条件，因此添加$AB=FD$即可用“SSS”判定全等；
又因为点$A、D、B、F$在同一条直线上，可得$AB=AD+DB$，$FD=BF+DB$，若$AD=BF$，那么$AD+DB=BF+DB$，即$AB=FD$，因此添加$AD=BF$也满足要求。
【答案】
(1) $∠ ACB = ∠ FED$；(2) $AB = FD$(或$AD = BF$)
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形SSS判定
3. 线段和差应用
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是准确识别对应边的夹角、以及对应边的相等关系，同时要注意共线线段的和差可以转化得到所需的边相等条件，避免漏填第二问的第二种答案。
【难度系数】
0.85

3. [2026 扬州江都区期中]如图,工人师傅在木门板上钉了一个加固板,从几何学的角度看,这样做的原理是。

3 三角形的稳定性

【分析】
解题时首先观察图形结构的变化：原本的木门是四边形结构，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上加固板后，加固板和木门的边框共同构成了三角形结构。接下来回忆图形的稳定性相关性质：三角形具有稳定、不易变形的特性，因此可以判断该操作的原理就是利用三角形的这一性质。
【解析】
木门属于四边形结构，四边形具有不稳定性，使用过程中容易变形。钉上加固板后，加固板与木门的边组成了三角形结构，而三角形具有稳定性，能够让木门整体结构更牢固，不易变形，因此该做法的几何原理是三角形的稳定性。
【答案】
三角形的稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的应用类题目，要求学生能够将生活场景和所学的几何图形特性结合分析，引导学生感知数学的实际应用价值，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9

4.如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在两点之间.(在E,F,G,H四点中选择适合题意的两点)

4 E,G或F,H

【分析】要使长方形窗框稳固，钉木条的本质是利用三角形具有稳定性的特征，让木条与窗框的边构成三角形结构即可起到稳固作用。我们只需判断哪两个点的连线无法构造出三角形，只会分割出没有稳定性的四边形，就是不应钉的位置。
【解析】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。
1. 若将木条钉在E、G两点之间：连线EG将长方形ABCD分割为两个小长方形，均为四边形，没有形成三角形结构，不能增加窗框的稳固性。
2. 若将木条钉在F、H两点之间：连线FH将长方形ABCD分割为两个小长方形，均为四边形，没有形成三角形结构，不能增加窗框的稳固性。
其余两点组合的连线均可与窗框边构成三角形，能起到稳固作用。
【答案】E,G或F,H
【知识点】三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】本题是几何性质在实际生活中的应用，解题核心是明确三角形稳定、四边形不稳定的特征，判断连线后是否形成三角形即可快速得出结论。
【难度系数】0.8

5. 如图,在四边形中,对角线所在的直线是其对称轴,P是直线上的点,下列判断错误的是 ()

A.$AD = DC$
B.$∠ DAP = ∠ DCP$
C.$AB = BP$
D.$∠ ABP = ∠ CBP$

5 C

∵ 在四边形ABCD中,对角线BD所在的直线是其对称轴,
∴ AD = DC,AP = CP,AB = BC,故A正确,不符合题意；
在△APD和△CPD中，$\begin{cases} AP = CP, \\ PD = PD, \\ AD = CD, \end{cases}$
∴ △APD≌△CPD(SSS),
∴ ∠DAP = ∠DCP,故B正确,不符合题意；在△ABP和△CBP中，$\begin{cases} AP = CP, \\ PB = PB, \\ AB = CB, \end{cases}$
∴ △ABP≌△CBP(SSS),
∴ ∠ABP = ∠CBP,故D正确,不符合题意；无法证明AB = BP,故C错误,符合题意.

【分析】
首先根据题干中“对角线所在直线是四边形的对称轴”，联想到轴对称的性质：关于对称轴对称的对应点连线被对称轴垂直平分，对应边相等、对应角相等，可得点A和点C是关于BD的对称点，因此能得到多组相等的线段。后续判断选项时，对于边、角相等的结论，可尝试通过SSS证明三角形全等推导，没有依据能推导成立的即为错误选项。
【解析】
∵ 在四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，
∴ 点A与点C关于BD对称，可得AD = DC，AP = CP，AB = BC，故A选项正确，不符合题意；
在△APD和△CPD中，
$\begin{cases} AP = CP, \\ PD = PD, \\ AD = CD, \end{cases}$
∴ △APD≌△CPD(SSS)，
∴ ∠DAP = ∠DCP，故B选项正确，不符合题意；
在△ABP和△CBP中，
$\begin{cases} AP = CP, \\ PB = PB, \\ AB = CB, \end{cases}$
∴ △ABP≌△CBP(SSS)，
∴ ∠ABP = ∠CBP，故D选项正确，不符合题意；
现有条件无法证明AB = BP，故C选项错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称的性质 2. 全等三角形的判定(SSS) 3. 全等三角形的性质
【点评】
本题将轴对称性质与全等三角形的判定、性质结合考查，解题核心是先通过轴对称得到相等的线段，再用“边边边”判定三角形全等推导对应角相等，注意无依据时不能随意判定两条线段相等。
【难度系数】
0.8

6. [2026无锡宜兴外国语学校月考]如图,在$△ ABC$中,
$D,E$分别为边$AC,BC$上的点,且$AD=DE,AB=$
$BE,∠ A=72°$,则$∠ CED=$$°$.

6 108 连接BD(连接公共边,构造全等三角形).
∵ AD = DE,AB = BE,BD = BD,
∴ △ABD≌△EBD(SSS),
∴ ∠BED = ∠A = 72°,
∴ ∠CED = 180° - ∠BED = 108°.

【分析】
观察题目给出的边相等条件：AD=DE，AB=BE，要建立已知角∠A和待求角∠CED的联系，可通过连接公共边BD构造全等三角形，利用SSS判定△ABD和△EBD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BED的度数，最后结合∠CED与∠BED互为邻补角的关系计算∠CED的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵ AD = DE，AB = BE，BD = BD（公共边），
∴ △ABD ≌ △EBD（SSS），
∴ ∠BED = ∠A = 72°，
∵ ∠CED与∠BED互为邻补角，
∴ ∠CED = 180° - ∠BED = 180° - 72° = 108°。
【答案】
108
【知识点】
SSS证三角形全等；全等三角形的性质；邻补角的计算
【点评】
本题的核心是通过连接公共边构造全等三角形，将已知角的条件进行转化，结合邻补角的性质即可求解，属于全等三角形基础应用类题型，需要掌握常见的构造全等的辅助线做法。
【难度系数】
0.7

7. 新趋势·传统文化 [2026 泰州二中附中期中] 如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，是一种纸制或布制伞. 油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨 $ BD = CD $，$ AB = AC $，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的 $ ∠ BAC $. 请你说明其中的理由.

7 解:在△ABD和△ACD中，$\begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACD(SSS),
∴ ∠BAD = ∠CAD,
∴ AP平分∠BAC.

【分析】
要说明AP平分∠BAC，核心是证明∠BAD=∠CAD。我们可以通过证明两角所在的△ABD和△ACD全等来推导。题目已知AB=AC、BD=CD，且△ABD和△ACD有公共边AD，恰好满足“边边边”的全等判定条件，证明三角形全等后，利用全等三角形对应角相等的性质即可得到∠BAD=∠CAD，从而说明AP平分∠BAC。
【解析】
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACD(SSS),
∴ ∠BAD = ∠CAD,
∴ AP平分∠BAC。
【答案】
在△ABD和△ACD中，$\begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACD(SSS),
∴ ∠BAD = ∠CAD,
∴ AP平分∠BAC。
【知识点】
SSS判定全等、全等三角形的性质、角平分线定义
【点评】
本题结合传统油纸伞的实际结构出题，将数学知识和生活场景结合，考查了三角形全等的判定与性质的应用，解题的关键是找到两个三角形的公共边，利用已知边的条件证明全等，进而推导角的等量关系。
【难度系数】
0.8

8. [2026 盐城阜宁期中] 如图,已知:点 B,E,C,F 在同一直线上,AB = DE,AC = DF,BE = CF. 求证:(1)△ABC≌△DEF;(2)AC//DF.

8 证明:(1)
∵ BE = CF,
∴ BE + EC = EC + CF,即BC = EF.
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} AB = DE, \\ AC = DF, \\ BC = EF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF(SSS).
(2)由(1),得△ABC≌△DEF,
∴ ∠ACB = ∠DFE,
∴ AC//DF.

【分析】
(1)要证明△ABC≌△DEF，已知AB=DE、AC=DF，还缺一组对应边相等的条件。观察已知BE=CF，给这两个相等的线段同时加上公共部分EC，即可得到BC=EF，此时三组对应边均相等，可利用SSS判定定理证明两个三角形全等。
(2)要证明AC//DF，可通过证明同位角相等推导，由(1)的全等结论可得对应角∠ACB=∠DFE，这两个角是直线AC、DF被直线BF所截形成的同位角，同位角相等即可推出两直线平行。
【解析】
(1)证明：
∵ BE = CF，
∴ BE + EC = EC + CF，即BC = EF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} AB = DE, \\ AC = DF, \\ BC = EF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF(SSS)。
(2)由(1)可知△ABC≌△DEF，
∴ ∠ACB = ∠DFE（全等三角形的对应角相等），
∴ AC//DF（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1)△ABC≌△DEF，证明见解析；
(2)AC//DF，证明见解析。
【知识点】
全等三角形SSS判定，全等三角形的性质，平行线的判定
【点评】
本题是三角形全等的基础常考题，解题的关键是先通过线段和的关系得到全等所需的对应边相等，再结合全等的性质得到角的相等关系，进而证明直线平行，解题时要注意步骤的逻辑性和书写规范。
【难度系数】
0.8