1. [2025镇江中考]已知点$A(-1,y_1)$，$B(a,y_2)$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，若$y_2 ＞ y_1$，则$a$的取值范围是（）

A.$a ＜ -1$或$a ＞ 0$
B.$-1 ＜ a ＜ 0$
C.$a ＞ 0$
D.$a ＜ -1$

1.A 由题意,知$y_1=\frac{1}{-1}=-1$,$y_2=\frac{1}{a}$.
∵ $y_2＞y_1$,
∴ $\frac{1}{a}＞-1$.当$a＞0$时,不等式恒成立;当$a＜0$时,解得$a＜-1$.综上所述,$a$的取值范围是$a＜-1$或$a＞0$.

2. 一题多解 [2025无锡中考] 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OBA的直角边OB在x轴上,AO,AB分别与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象相交于点C,D,且C为AO的中点,过点C作x轴的垂线,垂足为E,连接DE.若△BDE的面积为$\frac{5}{4}$,则k的值为()


A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{2}$
C.5
D.10

2.C 通解 设点 C 的坐标为$(a,\frac{k}{a})$.
∵ C 是 AO 的中点,且 $CE⊥x$ 轴,$AB⊥x$ 轴,
∴ CE 是△AOB 的中位线.由此可得 OE=EB=a,
∴ OB=2a,
∴ 点 D 的横坐标为 2a.将 x=2a 代入 $y=\frac{k}{x}$,得点 D 的纵坐标为 $\frac{k}{2a}$,
∴ 点 D 的坐标为$(2a,\frac{k}{2a})$.
∵ $S_{△BDE}=\frac{1}{2}×EB×BD=\frac{5}{4}$,
∴ $\frac{5}{4}=\frac{1}{2}×a×\frac{k}{2a}$,解得 k=5.
另解 由“通解”得 OE=EB,连接 OD,则△BDE 和△ODE 的面积相等.
∵ $S_{△BDE}=\frac{5}{4}$,
∴ $S_{△ODE}=\frac{5}{4}$,
∴ $S_{△DBO}=S_{△ODE}+S_{△BDE}=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{5}{2}$.
∵ 点 D 在双曲线上,△DBO 是直角三角形,
∴ $S_{△DBO}=\frac{1}{2}k$,
∴ $\frac{1}{2}k=\frac{5}{2}$,解得 k=5.

3. [2025宿迁中考]如图,点A,B在双曲线$y_1=\frac{k_1}{x}(x＞0)$上,直线AB分别与x轴、y轴交于点C,D,与双曲线$y_2=\frac{k_2}{x}(x＜0)$交于点E,连接OA,OB.若$S_{△ AOC}=20$,$AB=3BC$,$AD=DE$,则$k_2$的值为


A.-10
B.-11
C.-12
D.-13

3.C 如图,过点 E 作 $EK⊥y$ 轴于点 K,过点 A 作 x,y 轴的垂线,垂足为 G,H,过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为 F,连接 OE,HF,BH,AF. 由题意,知$S_{△OAH}=S_{△OBF}=\frac{1}{2}k_1$.
∵ $BF// y$ 轴,$AH// x$ 轴,$AG// y$ 轴,
∴ $S_{△OAH}=S_{△AHF}=S_{△OBF}=S_{△BFH}$,
∴ △AHF,△BHF 在 FH 上的高相等,
∴ $AB// FH$,
∴ 四边形 DHFB 为平行四边形,
∴ DH=BF.
∵ $AH// x$ 轴,
∴ $∠DAH=∠BCF$.
∵ $∠AHD=∠CFB=90°$,
∴ $△AHD≌ △CFB(AAS)$,
∴ AD=BC. 在△EKD 和△AHD 中,$\begin{cases} ∠EDK=∠ADH, \\ ∠EKD=∠AHD, \\ DE=DA, \end{cases}$
∴ $△EKD≌ △AHD(AAS)$,
∴ $S_{△EKD}=S_{△AHD}$.
∵ AB=3BC,
∴ ED:AD:AB:BC=1:1:3:1,
∴ $ED=\frac{1}{4}AC$,
∴ $S_{△ODE}=S_{△OAD}=\frac{1}{4}S_{△AOC}=\frac{1}{4}×20=5$.
∵ $AG// y$ 轴,
∴ $\frac{OG}{OC}=\frac{AD}{DC}=\frac{1}{3+1+1}=\frac{1}{5}$,
∴ $S_{△AGO}=S_{△AHO}=\frac{1}{5}S_{△AOC}=\frac{1}{5}×20=4$,
∴ $S_{△ADH}=S_{△AOD}-S_{△AHO}=5-4=1$,
∴ $S_{△EKD}=S_{△AHD}=1$,
∴ $S_{△OEK}=S_{△OED}+S_{△EKD}=5+1=6=\frac{1}{2}|k_2|$.
∵ 双曲线 $y_2=\frac{k_2}{x}(x＜0)$ 经过第二象限,
∴ $k_2=-12$.

4. [2025南京中考] 已知反比例函数 $y=\frac{6}{x}$，则当$1≤ x≤3$时，$\frac{y}{x}$的最小值是。

4.$\frac{2}{3}$ 将 $y=\frac{6}{x}$ 代入 $\frac{y}{x}$ 中,得 $\frac{y}{x}=\frac{6}{x^2}$.
∵ $1≤x≤3$,当 x 增大时,$x^2$也随之增大,$\frac{6}{x^2}$随之减小,
∴ $\frac{6}{x^2}$ 在 x=3 时取得最小值,代入,得 $\frac{6}{3^2}=\frac{2}{3}$,
∴ $\frac{y}{x}$ 的最小值是 $\frac{2}{3}$.

5. [2025扬州中考] 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=ax+b$的图象交于点$A(-1,6),B(m,-2)$.
(1)求反比例函数、一次函数的表达式;
(2)求$△ OAB$的面积.

5.解:(1)将 $A(-1,6)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=-1×6=-6$,
∴ 反比例函数的表达式为 $y=-\frac{6}{x}$.
将 $B(m,-2)$ 代入 $y=-\frac{6}{x}$,得 $m=-\frac{6}{-2}=3$,
∴ $B(3,-2)$.
将 $A(-1,6)$,$B(3,-2)$ 代入 $y=ax+b$,
得$\begin{cases} -a + b = 6, \\ 3a + b = -2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-2, \\ b=4, \end{cases}$
∴ 一次函数的表达式为 $y=-2x+4$.
(2)如图,设一次函数的图象与 x 轴的交点为 C,
将 y=0 代入 y=-2x+4,
得 -2x+4=0,解得 x=2,
∴ C(2,0),
∴ OC=2.
由(1),得 A(-1,6),B(3,-2),
∴ $S_{△OAB}=S_{△AOC}+S_{△BOC}=\frac{1}{2}×2×6+\frac{1}{2}×2×2=8$.

6. [2025苏州中考] 如图,一次函数 $y=2x+4$ 的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $A,B$ 两点,与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$ 的图象交于点 $C$,过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$ 的图象交于点 $D$,连接 $CD$.
(1)求 $A,B$ 两点的坐标;
(2)若 $△ BCD$ 是以 $BD$ 为底边的等腰三角形,求 $k$ 的值.

6.解:(1)在 y=2x+4 中,令 y=0,得 2x+4=0,
解得 x=-2,
∴ 点 A 的坐标为(-2,0).
在 y=2x+4 中,令 x=0,得 y=4,
∴ 点 B 的坐标为(0,4).
(2)如图,过点 C 作 $CE⊥BD$,垂足为 E.
∵ △BCD 是以 BD 为底边的等腰三角形,
∴ CB=CD.
∵ $CE⊥BD$,
∴ BE=DE.
在 $y=\frac{k}{x}$ 中,令 y=4,得 $x=\frac{k}{4}$,
∴ $D(\frac{k}{4},4)$,
∴ $BE=DE=\frac{k}{8}$.
在 $y=\frac{k}{x}$ 中,令 $x=\frac{k}{8}$,得 y=8,
∴ $C(\frac{k}{8},8)$.
∵ 点 C 在一次函数 y=2x+4 的图象上,
∴ $8=2×\frac{k}{8}+4$,解得 k=16.