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1.矩形的性质
文字语言：
①矩形的四个角都是
②矩形的对角线
图形及符号语言：
（图1）
∵如图1，四边形ABCD是矩形，
∴
文字语言：
①矩形的四个角都是
直角
；②矩形的对角线
相等
。图形及符号语言：
（图1）
∵如图1，四边形ABCD是矩形，
∴
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AC=BD
。答案
1. ①直角 ②相等
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AC=BD
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AC=BD
解析
【分析】
本题考查矩形的基础性质及几何符号语言的转化，解题思路如下：首先回忆矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合平行四边形对角相等、邻角互补的性质，可推得矩形四个角均为直角；再回忆矩形区别于一般平行四边形的特殊性质，可知矩形的对角线相等；最后将文字性质对应到图形中的边和角，用符号语言表述即可。
【解析】
根据矩形的性质：
①矩形的四个角都是直角；
②矩形的对角线相等。
结合图形中四边形ABCD是矩形，对应内角为∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA，对角线为AC、BD，因此符号语言表述为$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°,AC=BD$。
【答案】
①直角 ②相等；$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°,AC=BD$
【知识点】
矩形的性质、几何符号语言表述
【点评】
本题属于基础概念题，主要考察对矩形核心性质的记忆和文字性质转几何符号的表达能力，是后续解决矩形相关证明、计算类题目的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查矩形的基础性质及几何符号语言的转化，解题思路如下：首先回忆矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合平行四边形对角相等、邻角互补的性质，可推得矩形四个角均为直角；再回忆矩形区别于一般平行四边形的特殊性质，可知矩形的对角线相等；最后将文字性质对应到图形中的边和角，用符号语言表述即可。
【解析】
根据矩形的性质：
①矩形的四个角都是直角；
②矩形的对角线相等。
结合图形中四边形ABCD是矩形，对应内角为∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA，对角线为AC、BD，因此符号语言表述为$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°,AC=BD$。
【答案】
①直角 ②相等；$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°,AC=BD$
【知识点】
矩形的性质、几何符号语言表述
【点评】
本题属于基础概念题，主要考察对矩形核心性质的记忆和文字性质转几何符号的表达能力，是后续解决矩形相关证明、计算类题目的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
2.文字语言:直角三角形
等于斜边的一半。
图形及符号语言:
∵如图2,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°$,
,
∴
(图2)
斜边上的中线
等于斜边的一半。
图形及符号语言:
∵如图2,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°$,
O为AC的中点
,
∴
OB=$\frac{1}{2}$AC=OA=OC
。(图2)
答案
2. 斜边上的中线 O为AC的中点 OB=$\frac{1}{2}$AC=OA=OC
解析
【分析】
本题考查直角三角形斜边中线定理的内容及符号语言书写。解题时首先回忆该定理的文字表述，明确定理的条件和结论：条件一是三角形为直角三角形，条件二是线段为斜边上的中线，结论是这条线段长度等于斜边的一半。填写符号语言时，先补全中线的判定条件（即说明斜边中点），再对应写出结论即可。
【解析】
1. 文字语言部分：根据直角三角形的性质定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此第一个空填“斜边上的中线”。
2. 符号语言部分：已知三角形是直角三角形，要应用该定理，还需明确哪条线段是斜边上的中线，因此接下来补充条件“O为AC的中点”，此时OB是斜边AC上的中线，根据定理即可得出对应结论。
【答案】
斜边上的中线；O为AC的中点；$OB=\frac{1}{2}AC=OA=OC$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求掌握定理的完整内容以及对应的符号语言表述，准确区分定理的条件和结论，是后续几何求解与证明的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形斜边中线定理的内容及符号语言书写。解题时首先回忆该定理的文字表述，明确定理的条件和结论：条件一是三角形为直角三角形，条件二是线段为斜边上的中线，结论是这条线段长度等于斜边的一半。填写符号语言时，先补全中线的判定条件（即说明斜边中点），再对应写出结论即可。
【解析】
1. 文字语言部分：根据直角三角形的性质定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此第一个空填“斜边上的中线”。
2. 符号语言部分：已知三角形是直角三角形，要应用该定理，还需明确哪条线段是斜边上的中线，因此接下来补充条件“O为AC的中点”，此时OB是斜边AC上的中线，根据定理即可得出对应结论。
【答案】
斜边上的中线；O为AC的中点；$OB=\frac{1}{2}AC=OA=OC$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求掌握定理的完整内容以及对应的符号语言表述，准确区分定理的条件和结论，是后续几何求解与证明的重要基础。
【难度系数】
0.9
1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是(
A.两组对边分别平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.两组对角分别相等
C
)。A.两组对边分别平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.两组对角分别相等
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先回忆菱形和矩形的性质，明确两者都是特殊的平行四边形，先排除两者共有的性质，再逐一核对剩余选项，找到符合“菱形具有、矩形不一定具有”的选项即可。首先平行四边形的共有性质是两组对边分别平行、两组对角分别相等、对角线互相平分，这些菱形和矩形都具备；再对比两者的特有性质：菱形特有四边相等、对角线互相垂直且平分每组对角；矩形特有四个角为直角、对角线相等，据此判断选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都是特殊平行四边形，都具备该性质，不符合题意；
B. 对角线相等是矩形的性质，菱形的对角线不一定相等，不符合“菱形具有”的要求，排除；
C. 对角线互相垂直是菱形的固有性质，而普通矩形的对角线仅相等且互相平分，不垂直，只有当矩形为正方形（特殊矩形）时才具备对角线垂直的性质，因此该性质是菱形具有而矩形不一定具有的，符合题意；
D. 两组对角分别相等是平行四边形的共有性质，菱形和矩形都具备，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形性质的基础辨析题，核心是区分菱形和矩形的共性与特有性质，审题时要注意“不一定具有”的含义，即普通矩形不具备、仅特殊矩形（正方形）可能具备，不要混淆特殊情况和一般情况。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形和矩形的性质，明确两者都是特殊的平行四边形，先排除两者共有的性质，再逐一核对剩余选项，找到符合“菱形具有、矩形不一定具有”的选项即可。首先平行四边形的共有性质是两组对边分别平行、两组对角分别相等、对角线互相平分，这些菱形和矩形都具备；再对比两者的特有性质：菱形特有四边相等、对角线互相垂直且平分每组对角；矩形特有四个角为直角、对角线相等，据此判断选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都是特殊平行四边形，都具备该性质，不符合题意；
B. 对角线相等是矩形的性质，菱形的对角线不一定相等，不符合“菱形具有”的要求，排除；
C. 对角线互相垂直是菱形的固有性质，而普通矩形的对角线仅相等且互相平分，不垂直，只有当矩形为正方形（特殊矩形）时才具备对角线垂直的性质，因此该性质是菱形具有而矩形不一定具有的，符合题意；
D. 两组对角分别相等是平行四边形的共有性质，菱形和矩形都具备，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形性质的基础辨析题，核心是区分菱形和矩形的共性与特有性质，审题时要注意“不一定具有”的含义，即普通矩形不具备、仅特殊矩形（正方形）可能具备，不要混淆特殊情况和一般情况。
【难度系数】
0.8
2.一个矩形的一条边长是4 cm，一条对角线的长是$4\sqrt{3}$ cm，则这个矩形的面积是（
A.$32\ \mathrm{cm}^2$
B.$32\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C
）。A.$32\ \mathrm{cm}^2$
B.$32\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的四个角都是直角，因此矩形的一组邻边和对角线可构成直角三角形。已知一条直角边（矩形的已知边）和斜边（对角线）的长度，可先通过勾股定理求出矩形的另一条边长，再利用矩形面积公式（长×宽）计算面积即可。
【解析】
设矩形的另一条边长为$x\ \mathrm{cm}$。
∵矩形的四个角均为直角，
∴矩形的邻边与对角线构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 4^2 = (4\sqrt{3})^2$
计算得：$x^2 + 16 = 48$
移项得：$x^2 = 32$
∵边长为正数，
∴$x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
则矩形的面积为：$4 × 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；矩形面积计算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用矩形的性质构造直角三角形，结合勾股定理求出未知边长，再代入面积公式计算即可，掌握矩形的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的四个角都是直角，因此矩形的一组邻边和对角线可构成直角三角形。已知一条直角边（矩形的已知边）和斜边（对角线）的长度，可先通过勾股定理求出矩形的另一条边长，再利用矩形面积公式（长×宽）计算面积即可。
【解析】
设矩形的另一条边长为$x\ \mathrm{cm}$。
∵矩形的四个角均为直角，
∴矩形的邻边与对角线构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 4^2 = (4\sqrt{3})^2$
计算得：$x^2 + 16 = 48$
移项得：$x^2 = 32$
∵边长为正数，
∴$x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
则矩形的面积为：$4 × 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；矩形面积计算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用矩形的性质构造直角三角形，结合勾股定理求出未知边长，再代入面积公式计算即可，掌握矩形的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O。已知$∠ AOD=60°$,$AC=6$,则图中长度为3的线段有(
A.2条
B.4条
C.5条
D.6条
D
)。A.2条
B.4条
C.5条
D.6条
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，首先矩形的对角线相等且互相平分，据此可先求出对角线被交点O分成的4条小线段的长度；再结合已知∠AOD=60°，可判定△AOD为等边三角形，得到AD的长度，再利用矩形对边相等得到BC的长度，最后统计所有长度为3的线段数量即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=6，且矩形对角线互相平分，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=3$。
又
∵OA=OD，∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=3。
∵矩形对边相等，
∴BC=AD=3。
综上，长度为3的线段有OA、OC、OB、OD、AD、BC，共6条。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；线段计数
【点评】
本题重点考查矩形性质的综合应用，解题时要注意先利用对角线性质得到四条等长线段，再结合特殊角判断等边三角形得到另外两条等长线段，计数时不要遗漏。
【难度系数】
0.7
解题时先从矩形的性质入手，首先矩形的对角线相等且互相平分，据此可先求出对角线被交点O分成的4条小线段的长度；再结合已知∠AOD=60°，可判定△AOD为等边三角形，得到AD的长度，再利用矩形对边相等得到BC的长度，最后统计所有长度为3的线段数量即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=6，且矩形对角线互相平分，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=3$。
又
∵OA=OD，∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=3。
∵矩形对边相等，
∴BC=AD=3。
综上，长度为3的线段有OA、OC、OB、OD、AD、BC，共6条。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；线段计数
【点评】
本题重点考查矩形性质的综合应用，解题时要注意先利用对角线性质得到四条等长线段，再结合特殊角判断等边三角形得到另外两条等长线段，计数时不要遗漏。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=10$,$AD=DB$,则$CD=$
5
。答案
4.5
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，且AD=DB，由此可判断D是斜边AB的中点，CD是斜边AB的中线，联系直角三角形斜边中线的性质，即可建立CD和AB的数量关系，代入AB的长度计算即可得到CD的数值。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AD=DB$，
∴ 点D是斜边AB的中点，CD为$Rt△ABC$斜边AB的中线，
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
可得 $CD=\frac{1}{2}AB$，
将$AB=10$代入，得 $CD=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形斜边中线的性质，解题的核心是识别出CD是直角三角形斜边的中线，牢记对应定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目已知条件：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，且AD=DB，由此可判断D是斜边AB的中点，CD是斜边AB的中线，联系直角三角形斜边中线的性质，即可建立CD和AB的数量关系，代入AB的长度计算即可得到CD的数值。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AD=DB$，
∴ 点D是斜边AB的中点，CD为$Rt△ABC$斜边AB的中线，
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
可得 $CD=\frac{1}{2}AB$，
将$AB=10$代入，得 $CD=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形斜边中线的性质，解题的核心是识别出CD是直角三角形斜边的中线，牢记对应定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图，已知E为矩形ABCD内的点，若EB=EC，则EA
=
ED。（填“＞”“＜”或“=”）答案
5.=
解析
【分析】
拿到这道题，首先梳理已知条件：图形是矩形ABCD，点E在矩形内部且EB=EC，需要比较EA和ED的大小。我们可以从矩形的性质入手思考：矩形对边相等、四个角都是直角，结合EB=EC可得△EBC是等腰三角形，两个底角∠EBC=∠ECB，用矩形的直角减去这两个相等的角，就能得到∠ABE=∠DCE，此时结合AB=DC、EB=EC的条件，可通过SAS判定△ABE和△DCE全等，由全等三角形对应边相等即可得出EA和ED的关系；也可通过垂直平分线的性质推导：EB=EC说明E在BC的垂直平分线上，矩形的BC和AD平行且相等，BC的垂直平分线也是AD的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，同样可得EA=ED。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°
∵ EB=EC
∴ ∠EBC=∠ECB
∴ ∠ABC - ∠EBC = ∠DCB - ∠ECB，即∠ABE=∠DCE
在△ABE和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}AB=DC \\∠ABE=∠DCE \\EB=EC\end{array} $
∴ △ABE≌△DCE（SAS）
∴ EA=ED
【答案】
=
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，结合了矩形、等腰三角形、全等三角形的核心知识点考查，解题关键是通过角的运算推出全等的判定条件，熟练掌握相关性质就能快速得到结论。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，首先梳理已知条件：图形是矩形ABCD，点E在矩形内部且EB=EC，需要比较EA和ED的大小。我们可以从矩形的性质入手思考：矩形对边相等、四个角都是直角，结合EB=EC可得△EBC是等腰三角形，两个底角∠EBC=∠ECB，用矩形的直角减去这两个相等的角，就能得到∠ABE=∠DCE，此时结合AB=DC、EB=EC的条件，可通过SAS判定△ABE和△DCE全等，由全等三角形对应边相等即可得出EA和ED的关系；也可通过垂直平分线的性质推导：EB=EC说明E在BC的垂直平分线上，矩形的BC和AD平行且相等，BC的垂直平分线也是AD的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，同样可得EA=ED。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°
∵ EB=EC
∴ ∠EBC=∠ECB
∴ ∠ABC - ∠EBC = ∠DCB - ∠ECB，即∠ABE=∠DCE
在△ABE和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}AB=DC \\∠ABE=∠DCE \\EB=EC\end{array} $
∴ △ABE≌△DCE（SAS）
∴ EA=ED
【答案】
=
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，结合了矩形、等腰三角形、全等三角形的核心知识点考查，解题关键是通过角的运算推出全等的判定条件，熟练掌握相关性质就能快速得到结论。
【难度系数】
0.8
6.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，菱形ABEO的周长为8，求矩形ABCD的面积。
答案
6.解:
∵菱形ABEO的周长为8，
∴AB=AO=2。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=4,∠ABC=90°。
∴$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∴矩形ABCD的面积$=AB·BC=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
∵菱形ABEO的周长为8，
∴AB=AO=2。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=4,∠ABC=90°。
∴$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∴矩形ABCD的面积$=AB·BC=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解题时先从已知的菱形周长条件出发，根据菱形四条边相等的性质，先求出AB和AO的长度；再结合矩形对角线互相平分且相等、内角为直角的性质，得到AC的长度，同时确定△ABC是直角三角形；接下来利用勾股定理计算出BC的长度；最后代入矩形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：
∵菱形ABEO的周长为8，菱形四条边长度相等，
∴$AB=AO=8÷4=2$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形对角线互相平分且相等，$∠ ABC=90°$，
∴$AC=2AO=2×2=4$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
∴矩形ABCD的面积$=AB· BC=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，综合考查了菱形、矩形的基本性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的相关性质，找到各边的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的菱形周长条件出发，根据菱形四条边相等的性质，先求出AB和AO的长度；再结合矩形对角线互相平分且相等、内角为直角的性质，得到AC的长度，同时确定△ABC是直角三角形；接下来利用勾股定理计算出BC的长度；最后代入矩形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：
∵菱形ABEO的周长为8，菱形四条边长度相等，
∴$AB=AO=8÷4=2$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形对角线互相平分且相等，$∠ ABC=90°$，
∴$AC=2AO=2×2=4$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
∴矩形ABCD的面积$=AB· BC=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，综合考查了菱形、矩形的基本性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的相关性质，找到各边的数量关系。
【难度系数】
0.7
