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4. 在$△ ABC$中，$∠ A - ∠ B = 90°$，$∠ B = 2∠ C$，求$△ ABC$的各内角的度数.
答案
解 设∠C = x°，
则∠B = 2x°, ∠A = 90° + ∠B = (90+2x)°.
∠A+∠B+∠C=180°，
即 90+2x+2x+x=180，
解得 x=18.
所以∠A = (90 + 2 × 18)° = 126°, ∠B=2×18°=36°,∠C=18°.
所以△ABC 的各内角的度数分别为∠A=126°,∠B=36°,∠C=18°.
则∠B = 2x°, ∠A = 90° + ∠B = (90+2x)°.
∠A+∠B+∠C=180°，
即 90+2x+2x+x=180，
解得 x=18.
所以∠A = (90 + 2 × 18)° = 126°, ∠B=2×18°=36°,∠C=18°.
所以△ABC 的各内角的度数分别为∠A=126°,∠B=36°,∠C=18°.
5. 明明在电脑上用画图软件画出的图形如图①，AD与BC交于点O，若他拖动图形，使得$∠ B$的度数减小了$6°$，$∠ A$的度数增加了$6°$，得到的图形如图②，设图①中$∠ C+∠ D$的度数为$x°$，图②中$∠ C+∠ D$的度数为$y°$，则$x$与$y$的数量关系为(
A.$x=y$
B.$x=y-6$
C.$x=y+6$
D.$x=y-12$
A
).A.$x=y$
B.$x=y-6$
C.$x=y+6$
D.$x=y-12$
答案
5. A 解析 如题图①,由三角形的内角和定理,得∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D=x°.
如题图②,同理可得∠A+∠B=∠C+∠D=y°.
∵∠B 的度数减小了 6°,∠A 的度数增加了 6°,
∴∠A+∠B 没有发生变化，
∴x=y. 故选 A.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D=x°.
如题图②,同理可得∠A+∠B=∠C+∠D=y°.
∵∠B 的度数减小了 6°,∠A 的度数增加了 6°,
∴∠A+∠B 没有发生变化，
∴x=y. 故选 A.
6.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=
280°
。答案
6. 280° 解析
∵ ∠1 + ∠2 = 180°−40°=140°，
同理,∠3+∠4=140°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°.
∵ ∠1 + ∠2 = 180°−40°=140°，
同理,∠3+∠4=140°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°.
7.某地有A，B，C三个村庄，如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A村庄又在C村庄的北偏西45°方向，那么∠BAC的度数为多少？
答案
解 由题意可得∠PBC=∠QCB=90°,∠ABC=∠PBC−∠PBA=90°−20°=70°,∠ACB=∠QCB−∠ACQ=90°−45°=45°，
∴ ∠BAC = 180° − ∠ABC − ∠ACB=180°−70°−45°=65°，
∴∠BAC 的度数是 65°.
∴ ∠BAC = 180° − ∠ABC − ∠ACB=180°−70°−45°=65°，
∴∠BAC 的度数是 65°.
8. 当三角形中一个内角$α$是另一个内角$β$的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中角$α$称为“特征角”。
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为$100°$，求这个“特征三角形”最小内角的度数。
(2)是否存在“特征角”为$120°$的三角形？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由。
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为$100°$，求这个“特征三角形”最小内角的度数。
(2)是否存在“特征角”为$120°$的三角形？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由。
答案
解 设三角形的三个内角分别为α，β,γ.
(1)
∵α=2β,且α+β+γ=180°，
∴当α=100°时,β=50°,则 γ=30°，
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30°.
(2)不存在.
∵α=2β,且α+β+γ=180°，
∴当α=120°时,β=60°，
则 γ=0°,此时不能构成三角形，
故不存在“特征角”为 120°的三角形.
(1)
∵α=2β,且α+β+γ=180°，
∴当α=100°时,β=50°,则 γ=30°，
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30°.
(2)不存在.
∵α=2β,且α+β+γ=180°，
∴当α=120°时,β=60°，
则 γ=0°,此时不能构成三角形，
故不存在“特征角”为 120°的三角形.
