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1. 如图，CM是△ABC的中线.
(1)若AM=4，则BM=
(2)若S△ACM=10，则S△BCM=
第1题图 第2题图
(1)若AM=4，则BM=
4
；(2)若S△ACM=10，则S△BCM=
10
.第1题图 第2题图
答案
1. (1)4 (2)10
解析
【分析】
本题可根据三角形中线的定义和性质逐步求解：
1. 求解第(1)问：先回忆三角形中线的定义，三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，因此中线与对边的交点是对边的中点，可得AM=BM，代入已知数值即可求出BM的长度。
2. 求解第(2)问：△ACM和△BCM的底AM=BM，两个三角形的高均为点C到AB的垂线段，即两三角形等底同高，根据三角形面积公式可知二者面积相等，由此可求出S△BCM。
【解析】
(1)
∵CM是△ABC的中线，
∴M是AB的中点，即BM=AM，
又
∵AM=4，
∴BM=4。
(2) 过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD是△ACM和△BCM的公共高。
∵$S_{△ ACM}=\frac{1}{2}·AM·CD=10$，
且BM=AM，
∴$S_{△ BCM}=\frac{1}{2}·BM·CD=\frac{1}{2}·AM·CD=10$。
【答案】
(1)4；(2)10
【知识点】
三角形中线的定义，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形中线的相关性质，熟练掌握中线平分对边、平分三角形面积的特点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题可根据三角形中线的定义和性质逐步求解：
1. 求解第(1)问：先回忆三角形中线的定义，三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，因此中线与对边的交点是对边的中点，可得AM=BM，代入已知数值即可求出BM的长度。
2. 求解第(2)问：△ACM和△BCM的底AM=BM，两个三角形的高均为点C到AB的垂线段，即两三角形等底同高，根据三角形面积公式可知二者面积相等，由此可求出S△BCM。
【解析】
(1)
∵CM是△ABC的中线，
∴M是AB的中点，即BM=AM，
又
∵AM=4，
∴BM=4。
(2) 过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD是△ACM和△BCM的公共高。
∵$S_{△ ACM}=\frac{1}{2}·AM·CD=10$，
且BM=AM，
∴$S_{△ BCM}=\frac{1}{2}·BM·CD=\frac{1}{2}·AM·CD=10$。
【答案】
(1)4；(2)10
【知识点】
三角形中线的定义，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形中线的相关性质，熟练掌握中线平分对边、平分三角形面积的特点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 如图，CD是$△ ABC$的角平分线，$DE // BC$交AC于点E，若$∠ CDE = 28°$，则$∠ AED$的度数是
56°
。答案
2. $56°$
解析
【分析】
解题时可结合已知条件逐步推导：首先根据平行线的内错角相等，由$DE // BC$求出$∠ BCD$的度数；再利用角平分线的定义得到$∠ ACB$的度数；最后根据平行线的同位角相等，由$DE // BC$推出$∠ AED$与$∠ ACB$相等，即可得到所求角度。
【解析】
解：$\because DE // BC$，
$\therefore ∠ CDE = ∠ BCD$（两直线平行，内错角相等），
已知$∠ CDE = 28°$，
$\therefore ∠ BCD = 28°$，
$\because CD$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ ACB = 2∠ BCD = 2×28° = 56°$，
又$\because DE // BC$，
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ AED = 56°$。
【答案】
$56°$
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用平行线的性质和角平分线的定义，找到角度之间的等量关系逐步推导即可求解，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时可结合已知条件逐步推导：首先根据平行线的内错角相等，由$DE // BC$求出$∠ BCD$的度数；再利用角平分线的定义得到$∠ ACB$的度数；最后根据平行线的同位角相等，由$DE // BC$推出$∠ AED$与$∠ ACB$相等，即可得到所求角度。
【解析】
解：$\because DE // BC$，
$\therefore ∠ CDE = ∠ BCD$（两直线平行，内错角相等），
已知$∠ CDE = 28°$，
$\therefore ∠ BCD = 28°$，
$\because CD$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ ACB = 2∠ BCD = 2×28° = 56°$，
又$\because DE // BC$，
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ AED = 56°$。
【答案】
$56°$
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用平行线的性质和角平分线的定义，找到角度之间的等量关系逐步推导即可求解，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，点 $D$ 在 $BC$ 上，且 $∠ BAD = ∠ CAD$，$E$ 是 $AC$ 的中点，$BE$ 交 $AD$ 于点 $F$.
(1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线；
(2)若 $BD = 2CD$，且 $△ ADE$ 的面积为 3，则 $△ ABC$ 的面积等于
(1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线；
(2)若 $BD = 2CD$，且 $△ ADE$ 的面积为 3，则 $△ ABC$ 的面积等于
18
.答案
3. (1)解：由题意可知，AF是△ABE的角平分线，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线。
(2)18
(2)18
解析
【分析】
(1) 解题思路：根据三角形角平分线、中线的定义匹配对应线段。首先明确：三角形的角平分线是平分三角形一个内角，且端点为顶点和对边上交点的线段；三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。已知∠BAD=∠CAD，说明AD、AF分别平分对应三角形的内角；已知E是AC中点，说明BE、DE分别是对应三角形连接顶点和对边中点的线段，结合所属三角形即可得出结论。
(2) 解题思路：利用“三角形中线将三角形分成面积相等的两个小三角形”“等高的两个三角形面积比等于底边长的比”两个性质求解。先由E是AC中点求出△ADC的面积，再根据BD和CD的长度关系求出△ABD的面积，两者相加就是△ABC的总面积。
【解析】
(1) ①角平分线：
∵∠BAD=∠CAD，AD交BC于点D，
∴AD是△ABC的角平分线；
∵∠BAF=∠BAD，∠EAF=∠CAD，
∴∠BAF=∠EAF，AF交BE于点F，
∴AF是△ABE的角平分线。
②中线：
∵E是AC的中点，BE连接顶点B和AC中点E，
∴BE是△ABC的中线；
∵E是AC的中点，DE连接顶点D和AC中点E，
∴DE是△ADC的中线。
(2)
∵E是AC的中点，DE是△ADC的中线，△ADE和△CDE等底同高，
∴$S_{△ CDE}=S_{△ ADE}=3$，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=3+3=6$。
∵△ABD和△ADC等高（高均为点A到BC的距离），且$BD=2CD$，
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=BD:CD=2:1$，
∴$S_{△ ABD}=2× S_{△ ADC}=2×6=12$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=12+6=18$。
【答案】
(1) AF是△ABE的角平分线，AD是△ABC的角平分线；BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线。
(2) 18
【知识点】
三角形角平分线定义、三角形中线定义、等高三角形面积性质
【点评】
本题侧重考查三角形中线、角平分线的基础概念，以及三角形面积的相关性质，属于基础类题目，只要熟练掌握相关概念和面积比例关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：根据三角形角平分线、中线的定义匹配对应线段。首先明确：三角形的角平分线是平分三角形一个内角，且端点为顶点和对边上交点的线段；三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。已知∠BAD=∠CAD，说明AD、AF分别平分对应三角形的内角；已知E是AC中点，说明BE、DE分别是对应三角形连接顶点和对边中点的线段，结合所属三角形即可得出结论。
(2) 解题思路：利用“三角形中线将三角形分成面积相等的两个小三角形”“等高的两个三角形面积比等于底边长的比”两个性质求解。先由E是AC中点求出△ADC的面积，再根据BD和CD的长度关系求出△ABD的面积，两者相加就是△ABC的总面积。
【解析】
(1) ①角平分线：
∵∠BAD=∠CAD，AD交BC于点D，
∴AD是△ABC的角平分线；
∵∠BAF=∠BAD，∠EAF=∠CAD，
∴∠BAF=∠EAF，AF交BE于点F，
∴AF是△ABE的角平分线。
②中线：
∵E是AC的中点，BE连接顶点B和AC中点E，
∴BE是△ABC的中线；
∵E是AC的中点，DE连接顶点D和AC中点E，
∴DE是△ADC的中线。
(2)
∵E是AC的中点，DE是△ADC的中线，△ADE和△CDE等底同高，
∴$S_{△ CDE}=S_{△ ADE}=3$，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=3+3=6$。
∵△ABD和△ADC等高（高均为点A到BC的距离），且$BD=2CD$，
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=BD:CD=2:1$，
∴$S_{△ ABD}=2× S_{△ ADC}=2×6=12$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=12+6=18$。
【答案】
(1) AF是△ABE的角平分线，AD是△ABC的角平分线；BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线。
(2) 18
【知识点】
三角形角平分线定义、三角形中线定义、等高三角形面积性质
【点评】
本题侧重考查三角形中线、角平分线的基础概念，以及三角形面积的相关性质，属于基础类题目，只要熟练掌握相关概念和面积比例关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
1. 如图，点P是$△ ABC$的重心，下列说法正确的是(
A.$AE=CE$
B.$AD ⊥ BC$
C.$∠ BAC=90°$
D.$∠ BAD=∠ CAD$
A
).A.$AE=CE$
B.$AD ⊥ BC$
C.$∠ BAC=90°$
D.$∠ BAD=∠ CAD$
答案
1. A
解析
【分析】
解决本题首先要明确三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点，中线的作用是平分对边。接下来结合选项逐一判断：首先由重心性质可知BE是AC边上的中线，可直接判断A选项；其余选项涉及的垂直、角相等、直角的结论，只有△ABC是特殊三角形时才成立，题目没有给出特殊三角形的条件，因此均可排除。
【解析】
已知点P是△ABC的重心，根据重心的定义，三角形的重心是三条中线的交点，因此AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线。
选项A：因为BE是AC边上的中线，所以点E是AC的中点，可得AE=CE，该选项正确；
选项B：AD是BC边上的中线，仅当AB=AC时，AD才垂直于BC，题目未说明△ABC是等腰三角形，无法推出该结论，错误；
选项C：题目没有给出∠BAC为直角的相关条件，无法得出∠BAC=90°，错误；
选项D：AD是BC边上的中线，仅当AB=AC时，AD才平分∠BAC，题目无相关条件，无法推出该结论，错误。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心的定义；三角形中线的性质；特殊三角形的性质
【点评】
本题考查三角形重心相关的基础概念，解题的关键是牢记重心是三条中线的交点，同时要注意区分普通三角形和特殊三角形的线段性质，不要默认三角形为等腰或直角三角形，避免额外添加题目未给出的条件。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点，中线的作用是平分对边。接下来结合选项逐一判断：首先由重心性质可知BE是AC边上的中线，可直接判断A选项；其余选项涉及的垂直、角相等、直角的结论，只有△ABC是特殊三角形时才成立，题目没有给出特殊三角形的条件，因此均可排除。
【解析】
已知点P是△ABC的重心，根据重心的定义，三角形的重心是三条中线的交点，因此AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线。
选项A：因为BE是AC边上的中线，所以点E是AC的中点，可得AE=CE，该选项正确；
选项B：AD是BC边上的中线，仅当AB=AC时，AD才垂直于BC，题目未说明△ABC是等腰三角形，无法推出该结论，错误；
选项C：题目没有给出∠BAC为直角的相关条件，无法得出∠BAC=90°，错误；
选项D：AD是BC边上的中线，仅当AB=AC时，AD才平分∠BAC，题目无相关条件，无法推出该结论，错误。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心的定义；三角形中线的性质；特殊三角形的性质
【点评】
本题考查三角形重心相关的基础概念，解题的关键是牢记重心是三条中线的交点，同时要注意区分普通三角形和特殊三角形的线段性质，不要默认三角形为等腰或直角三角形，避免额外添加题目未给出的条件。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，D，E分别是边BC，AB的中点.若$△ ABC$的面积等于8，则$△ BDE$的面积等于（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）.A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2. A
解析
【分析】
本题可利用三角形中线的性质求解：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高，面积相等）。首先根据D是BC中点，得出△ABD的面积是△ABC面积的一半；再根据E是AB中点，得出△BDE的面积是△ABD面积的一半，两次计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=8$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵E是AB的中点，
∴DE是△ABD的中线，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4=2$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形中线的面积相关性质，解题关键是理解三角形的中线可将原三角形分为两个面积相等的小三角形，结合题目给出的中点条件两次运用性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题可利用三角形中线的性质求解：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高，面积相等）。首先根据D是BC中点，得出△ABD的面积是△ABC面积的一半；再根据E是AB中点，得出△BDE的面积是△ABD面积的一半，两次计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=8$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵E是AB的中点，
∴DE是△ABD的中线，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4=2$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形中线的面积相关性质，解题关键是理解三角形的中线可将原三角形分为两个面积相等的小三角形，结合题目给出的中点条件两次运用性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. 两名同学的折纸示意图如图所示，则AD依次是△ABC的（
A.中线、角平分线
B.角平分线、中线
C.中线、中线
D.角平分线、角平分线
B
）。A.中线、角平分线
B.角平分线、中线
C.中线、中线
D.角平分线、角平分线
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先明确三角形角平分线、中线的定义，再结合折叠“对应角相等、对应边相等”的性质分别判断两个图中AD的属性：①观察左图，折叠后AB落在AC侧的AB'处，可得∠BAD=∠CAD，符合角平分线定义；②观察右图，折叠后点C与点B重合，可得BD=CD，D是BC中点，符合中线定义，即可选出正确选项。
【解析】
根据折叠的性质：折叠前后对应角相等，对应边相等，分别分析如下：
1. 左侧图：将AB边沿AD折叠后落在AC边上的AB'处，因此∠BAD=∠B'AD，即AD平分∠BAC，根据三角形角平分线的定义，AD是△ABC的角平分线。
2. 右侧图：将点C沿AD折叠后与点B重合，因此BD=CD，即D为BC边的中点，根据三角形中线的定义，AD是△ABC的中线。
因此AD依次是△ABC的角平分线、中线，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的角平分线，三角形的中线，折叠的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查三角形特殊线段的识别，解题核心是掌握相关定义和折叠的性质，属于基础类题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先明确三角形角平分线、中线的定义，再结合折叠“对应角相等、对应边相等”的性质分别判断两个图中AD的属性：①观察左图，折叠后AB落在AC侧的AB'处，可得∠BAD=∠CAD，符合角平分线定义；②观察右图，折叠后点C与点B重合，可得BD=CD，D是BC中点，符合中线定义，即可选出正确选项。
【解析】
根据折叠的性质：折叠前后对应角相等，对应边相等，分别分析如下：
1. 左侧图：将AB边沿AD折叠后落在AC边上的AB'处，因此∠BAD=∠B'AD，即AD平分∠BAC，根据三角形角平分线的定义，AD是△ABC的角平分线。
2. 右侧图：将点C沿AD折叠后与点B重合，因此BD=CD，即D为BC边的中点，根据三角形中线的定义，AD是△ABC的中线。
因此AD依次是△ABC的角平分线、中线，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的角平分线，三角形的中线，折叠的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查三角形特殊线段的识别，解题核心是掌握相关定义和折叠的性质，属于基础类题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，$BC=4$.
(1)画出$AC$边上的中线$BD$；
(2)$S_{△ ABD}$
(3)若$△ ABD$的周长比$△ BCD$的周长多6，求$AB$的长.
(1)画出$AC$边上的中线$BD$；
(2)$S_{△ ABD}$
=
$S_{△ BCD}$；（填 “＞” “＜” 或 “=”）(3)若$△ ABD$的周长比$△ BCD$的周长多6，求$AB$的长.
答案
4. (1)略 (2)=
(3)解：$\because △ABD$ 的周长 $=AB+AD+BD$，$△ BCD$ 的周长 $=BC+CD+BD$，$\therefore AB+AD+BD-(BC+CD+BD)=6$. $\because AD=CD$，$\therefore AB-BC=6$. 又 $BC=4$，$\therefore AB=10$.
(3)解：$\because △ABD$ 的周长 $=AB+AD+BD$，$△ BCD$ 的周长 $=BC+CD+BD$，$\therefore AB+AD+BD-(BC+CD+BD)=6$. $\because AD=CD$，$\therefore AB-BC=6$. 又 $BC=4$，$\therefore AB=10$.
解析
【分析】
(1) 画AC边上的中线，需先明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段是三角形的中线，因此先找到AC边的中点D，再连接点B和点D，即可得到AC边上的中线BD。
(2) 比较两个三角形的面积时，先观察二者的底和高：BD是AC中线，因此AD=CD，两个三角形的底AD、CD长度相等，高都是从点B向AC边作的垂线段，属于同高，根据三角形面积公式，等底同高的三角形面积相等，即可判断面积大小关系。
(3) 求AB的长时，先分别写出两个三角形的周长表达式，观察发现两个周长均包含公共边BD，且AD=CD，因此两个周长的差实际就是AB与BC的差，结合已知的周长差和BC的长度，代入即可求出AB的长。
【解析】
(1) 操作步骤：量出AC的长度，取AC的中点D，连接BD，BD即为所求的AC边上的中线（画图略）。
(2)
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD，△ABD和△BCD的底AD=CD，且两个三角形在对应底上的高相同，均为点B到AC的距离，根据$S_{三角形}=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABD}=S_{△BCD}$，故填“=”。
(3) 解：△ABD的周长$=AB+AD+BD$，△BCD的周长$=BC+CD+BD$，
由题意得：$AB+AD+BD-(BC+CD+BD)=6$，
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD，
化简得：$AB-BC=6$，
又
∵BC=4，
∴$AB=6+4=10$。
【答案】
(1) 略；(2) =；(3) $AB=10$
【知识点】
三角形中线的定义；等底同高三角形面积相等；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形中线相关的基础题，重点考查三角形中线的定义和性质的应用，解决周长差类问题时，注意抵消公共线段和相等线段，可简化运算。
【难度系数】
0.8
(1) 画AC边上的中线，需先明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段是三角形的中线，因此先找到AC边的中点D，再连接点B和点D，即可得到AC边上的中线BD。
(2) 比较两个三角形的面积时，先观察二者的底和高：BD是AC中线，因此AD=CD，两个三角形的底AD、CD长度相等，高都是从点B向AC边作的垂线段，属于同高，根据三角形面积公式，等底同高的三角形面积相等，即可判断面积大小关系。
(3) 求AB的长时，先分别写出两个三角形的周长表达式，观察发现两个周长均包含公共边BD，且AD=CD，因此两个周长的差实际就是AB与BC的差，结合已知的周长差和BC的长度，代入即可求出AB的长。
【解析】
(1) 操作步骤：量出AC的长度，取AC的中点D，连接BD，BD即为所求的AC边上的中线（画图略）。
(2)
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD，△ABD和△BCD的底AD=CD，且两个三角形在对应底上的高相同，均为点B到AC的距离，根据$S_{三角形}=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABD}=S_{△BCD}$，故填“=”。
(3) 解：△ABD的周长$=AB+AD+BD$，△BCD的周长$=BC+CD+BD$，
由题意得：$AB+AD+BD-(BC+CD+BD)=6$，
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD，
化简得：$AB-BC=6$，
又
∵BC=4，
∴$AB=6+4=10$。
【答案】
(1) 略；(2) =；(3) $AB=10$
【知识点】
三角形中线的定义；等底同高三角形面积相等；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形中线相关的基础题，重点考查三角形中线的定义和性质的应用，解决周长差类问题时，注意抵消公共线段和相等线段，可简化运算。
【难度系数】
0.8
