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3.观察以下两组算式.
①两数和为 60 时，$30×30=900$，$35×25=875$，$43×17=731$，$52×8=416$；
②两数和为 100 时，$50×50=2500$，$53×47=2491$，$74×26=1924$，$91×9=819$.
(1)你发现的规律:两数和一定时,两数
(2)请你利用乘法公式解释你发现的规律.
(3)用 20 m 长的绳子围成一个长方形,长方形的最大面积是
由此得出更一般的结论:周长一定的长方形中,
(4)运用上述规律,求$(\dfrac{1}{3}x + 2)(9 - x)$的最大值.
①两数和为 60 时，$30×30=900$，$35×25=875$，$43×17=731$，$52×8=416$；
②两数和为 100 时，$50×50=2500$，$53×47=2491$，$74×26=1924$，$91×9=819$.
(1)你发现的规律:两数和一定时,两数
差的绝对值越小
,积越大;两数相等
,积最大.(2)请你利用乘法公式解释你发现的规律.
(3)用 20 m 长的绳子围成一个长方形,长方形的最大面积是
$25$
$m^2$,此时长方形的长和宽有什么数量关系? 相等
.由此得出更一般的结论:周长一定的长方形中,
正方形
的面积最大.(4)运用上述规律,求$(\dfrac{1}{3}x + 2)(9 - x)$的最大值.
答案
(1)差的绝对值越小，相等
(2)设两数分别为 $a+b$ 和 $a-b$($a$ 为定值),
$\therefore a+b+(a-b)=a+b+a-b=2a.$
$\therefore a+b+(a-b)$为定值.$|a+b-(a-b)|=|a+b-a+b|=|2b|$,当$|b|$越小,则两数差的绝对值越小,且$b^2$ 的值越小.
$\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2$,且 $a$ 为定值,
$\therefore a^2$ 为定值,要使 $a^2-b^2$ 的值最大,则需要 $b^2$ 的值最小.
当 $b=0$ 时,$b^2$ 最小,此时两数积最大.
(3)设长方形的长为 $x$ m,宽为 $y$ m.
根据题意可知,$2(x+y)=20$,即 $x+y=10.$
由(1)(2)可知,当 $x=y$ 时,长方形的面积 $S=xy$ 最大,
此时 $x=y=5$,最大面积为 $S=5×5=25(\mathrm{m}^2)$,
此时长方形的长和宽相等,由此得出更一般的结论,周长一定的长方形中,正方形的面积最大.
故答案为 25;相等;正方形.
(4)设两数为 $A=\dfrac{1}{3}x+2$,$B=9-x$,$\therefore 3A+B=3(\dfrac{1}{3}x+2)+(9-x)=15$,此时为定值,
根据规律可得,当 $3A=B$ 时,$3A· B$ 最大,由 $3A=B$ 得,$3(\dfrac{1}{3}x+2)=9-x$,解得 $x=\dfrac{3}{2}$,
此时 $3A=B=\dfrac{15}{2}$,$\therefore 3A· B=(\dfrac{15}{2})^2=\dfrac{225}{4}$,即 $A· B=\dfrac{1}{3}· 3A· B=\dfrac{1}{3}×\dfrac{225}{4}=\dfrac{75}{4}$,
$\therefore (\dfrac{1}{3}x+2)(9-x)$的最大值为$\dfrac{75}{4}$.
(2)设两数分别为 $a+b$ 和 $a-b$($a$ 为定值),
$\therefore a+b+(a-b)=a+b+a-b=2a.$
$\therefore a+b+(a-b)$为定值.$|a+b-(a-b)|=|a+b-a+b|=|2b|$,当$|b|$越小,则两数差的绝对值越小,且$b^2$ 的值越小.
$\because (a+b)(a-b)=a^2-b^2$,且 $a$ 为定值,
$\therefore a^2$ 为定值,要使 $a^2-b^2$ 的值最大,则需要 $b^2$ 的值最小.
当 $b=0$ 时,$b^2$ 最小,此时两数积最大.
(3)设长方形的长为 $x$ m,宽为 $y$ m.
根据题意可知,$2(x+y)=20$,即 $x+y=10.$
由(1)(2)可知,当 $x=y$ 时,长方形的面积 $S=xy$ 最大,
此时 $x=y=5$,最大面积为 $S=5×5=25(\mathrm{m}^2)$,
此时长方形的长和宽相等,由此得出更一般的结论,周长一定的长方形中,正方形的面积最大.
故答案为 25;相等;正方形.
(4)设两数为 $A=\dfrac{1}{3}x+2$,$B=9-x$,$\therefore 3A+B=3(\dfrac{1}{3}x+2)+(9-x)=15$,此时为定值,
根据规律可得,当 $3A=B$ 时,$3A· B$ 最大,由 $3A=B$ 得,$3(\dfrac{1}{3}x+2)=9-x$,解得 $x=\dfrac{3}{2}$,
此时 $3A=B=\dfrac{15}{2}$,$\therefore 3A· B=(\dfrac{15}{2})^2=\dfrac{225}{4}$,即 $A· B=\dfrac{1}{3}· 3A· B=\dfrac{1}{3}×\dfrac{225}{4}=\dfrac{75}{4}$,
$\therefore (\dfrac{1}{3}x+2)(9-x)$的最大值为$\dfrac{75}{4}$.
解析
【分析】
(1) 先观察两组给定的算式，两组算式中两个数的和分别固定为60、100，对比两个数的差距和对应乘积的大小：两数差距越小，乘积越大，当两数相等时差距为0，乘积最大，即可总结规律。
(2) 利用平方差公式解释规律：可设和为定值的两数分别为$a+b$、$a-b$，两数和为$2a$（定值），乘积为$a^2-b^2$，根据式子特征分析$b$的取值对乘积大小的影响即可。
(3) 先根据长方形周长求出长与宽的和，再直接套用前两问总结的规律：和固定时，两数相等时乘积最大，即可求出最大面积，得到长宽关系和一般结论。
(4) 先对两个代数式变形，凑出和为定值的组合：计算可得3倍的第一个代数式加第二个代数式的和为固定值15，再套用规律得到乘积最大的条件，代入求解即可得到最大值。
【解析】
(1) 观察算式：和为60时，30与30差为0，乘积最大；35与25差为10，乘积更小；差越大乘积越小，因此可总结规律。
(2) 设两数分别为 $a+b$ 和 $a-b$（$a$ 为定值），则两数之和为：$a+b+(a-b)=2a$，即两数和为定值；两数差的绝对值为$|(a+b)-(a-b)|=|2b|$。
根据平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a$为定值，则$a^2$为定值，因此$b^2$越小，$a^2-b^2$的值越大；当$b=0$时，$b^2$取最小值0，此时两数相等，乘积最大。
(3) 设长方形的长为$x$ m，宽为$y$ m，由周长为20m可得：$2(x+y)=20$，即$x+y=10$（和为定值）。
根据上述规律，当$x=y$时，面积$S=xy$最大，此时$x=y=5$，最大面积为$5×5=25\ \mathrm{m^2}$，此时长和宽相等，因此可得：周长一定的长方形中，正方形的面积最大。
(4) 设$A=\dfrac{1}{3}x + 2$，$B=9 - x$，计算得：$3A+B=3(\dfrac{1}{3}x + 2)+(9 - x)=x+6+9-x=15$，即$3A$与$B$的和为定值15。
根据规律，当$3A=B$时，$3A· B$的值最大，代入得：$3(\dfrac{1}{3}x + 2)=9 - x$，解得$x=\dfrac{3}{2}$。
此时$3A=B=\dfrac{15}{2}$，则$3A· B=(\dfrac{15}{2})^2=\dfrac{225}{4}$，因此$A· B=\dfrac{1}{3}×\dfrac{225}{4}=\dfrac{75}{4}$，即原式的最大值为$\dfrac{75}{4}$。
【答案】
(1) 差的绝对值越小；相等
(2) 规律解释见上述解析
(3) $25$；长和宽相等；正方形
(4) $\dfrac{75}{4}$
【知识点】
平方差公式，代数式最值，长方形周长与面积
【点评】
本题从具体算式出发引导学生归纳规律，再通过代数推理验证规律，最后将规律应用到几何问题和代数式最值求解中，既考查了观察归纳能力，也考查了乘法公式的灵活运用，需要学会将未知问题转化为已知规律模型求解。
【难度系数】
0.6
(1) 先观察两组给定的算式，两组算式中两个数的和分别固定为60、100，对比两个数的差距和对应乘积的大小：两数差距越小，乘积越大，当两数相等时差距为0，乘积最大，即可总结规律。
(2) 利用平方差公式解释规律：可设和为定值的两数分别为$a+b$、$a-b$，两数和为$2a$（定值），乘积为$a^2-b^2$，根据式子特征分析$b$的取值对乘积大小的影响即可。
(3) 先根据长方形周长求出长与宽的和，再直接套用前两问总结的规律：和固定时，两数相等时乘积最大，即可求出最大面积，得到长宽关系和一般结论。
(4) 先对两个代数式变形，凑出和为定值的组合：计算可得3倍的第一个代数式加第二个代数式的和为固定值15，再套用规律得到乘积最大的条件，代入求解即可得到最大值。
【解析】
(1) 观察算式：和为60时，30与30差为0，乘积最大；35与25差为10，乘积更小；差越大乘积越小，因此可总结规律。
(2) 设两数分别为 $a+b$ 和 $a-b$（$a$ 为定值），则两数之和为：$a+b+(a-b)=2a$，即两数和为定值；两数差的绝对值为$|(a+b)-(a-b)|=|2b|$。
根据平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a$为定值，则$a^2$为定值，因此$b^2$越小，$a^2-b^2$的值越大；当$b=0$时，$b^2$取最小值0，此时两数相等，乘积最大。
(3) 设长方形的长为$x$ m，宽为$y$ m，由周长为20m可得：$2(x+y)=20$，即$x+y=10$（和为定值）。
根据上述规律，当$x=y$时，面积$S=xy$最大，此时$x=y=5$，最大面积为$5×5=25\ \mathrm{m^2}$，此时长和宽相等，因此可得：周长一定的长方形中，正方形的面积最大。
(4) 设$A=\dfrac{1}{3}x + 2$，$B=9 - x$，计算得：$3A+B=3(\dfrac{1}{3}x + 2)+(9 - x)=x+6+9-x=15$，即$3A$与$B$的和为定值15。
根据规律，当$3A=B$时，$3A· B$的值最大，代入得：$3(\dfrac{1}{3}x + 2)=9 - x$，解得$x=\dfrac{3}{2}$。
此时$3A=B=\dfrac{15}{2}$，则$3A· B=(\dfrac{15}{2})^2=\dfrac{225}{4}$，因此$A· B=\dfrac{1}{3}×\dfrac{225}{4}=\dfrac{75}{4}$，即原式的最大值为$\dfrac{75}{4}$。
【答案】
(1) 差的绝对值越小；相等
(2) 规律解释见上述解析
(3) $25$；长和宽相等；正方形
(4) $\dfrac{75}{4}$
【知识点】
平方差公式，代数式最值，长方形周长与面积
【点评】
本题从具体算式出发引导学生归纳规律，再通过代数推理验证规律，最后将规律应用到几何问题和代数式最值求解中，既考查了观察归纳能力，也考查了乘法公式的灵活运用，需要学会将未知问题转化为已知规律模型求解。
【难度系数】
0.6
4.【背景材料】矩形的周长一定时，其形状和面积会发生变化.例如，用一根长为20 cm的铁丝围成一个矩形.
若长为8 cm，宽为2 cm，面积$S=8×2=16\ \mathrm{cm}^2$；
若长为7 cm，宽为3 cm，面积$S=7×3=21\ \mathrm{cm}^2$；
若长为6 cm，宽为4 cm，面积$S=6×4=24\ \mathrm{cm}^2$；
若长为5 cm，宽为5 cm，面积$S=5×5=25\ \mathrm{cm}^2$.
【数据观察】(1)观察上述计算结果，当矩形周长固定时，随着长与宽的差距逐渐
【代数论证】(2)设两个正数$a,b$的和为定值$S$（即$a+b=S$），它们的积为$ab$.利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2≥0$，试证明当$a=b$时，$ab$取得最大值$\frac{1}{4}S^2$.
【实际应用】(3)如图，某农户要用一段长39 m的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个矩形菜园，墙对面留一个1 m宽的门(门不使用篱笆)。设篱笆垂直于墙的一边长为$x\ \mathrm{m}$，矩形菜园的面积为$y\ \mathrm{m}^2$.
①用含$x$的式子表示$y$.
②根据第(2)问的结论，求菜园面积的最大值，并说明此时矩形的长和宽各是多少米.
若长为8 cm，宽为2 cm，面积$S=8×2=16\ \mathrm{cm}^2$；
若长为7 cm，宽为3 cm，面积$S=7×3=21\ \mathrm{cm}^2$；
若长为6 cm，宽为4 cm，面积$S=6×4=24\ \mathrm{cm}^2$；
若长为5 cm，宽为5 cm，面积$S=5×5=25\ \mathrm{cm}^2$.
【数据观察】(1)观察上述计算结果，当矩形周长固定时，随着长与宽的差距逐渐
减小
（填“增大”或“减小”），矩形的面积逐渐增大.当长与宽相等
时，面积达到最大.【代数论证】(2)设两个正数$a,b$的和为定值$S$（即$a+b=S$），它们的积为$ab$.利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2≥0$，试证明当$a=b$时，$ab$取得最大值$\frac{1}{4}S^2$.
【实际应用】(3)如图，某农户要用一段长39 m的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个矩形菜园，墙对面留一个1 m宽的门(门不使用篱笆)。设篱笆垂直于墙的一边长为$x\ \mathrm{m}$，矩形菜园的面积为$y\ \mathrm{m}^2$.
①用含$x$的式子表示$y$.
②根据第(2)问的结论，求菜园面积的最大值，并说明此时矩形的长和宽各是多少米.
答案
(1)减小，相等
(2)已知 $a+b=S$,将等式两边平方得$(a+b)^2=S^2$,展开得 $a^2+2ab+b^2=S^2$ ①.
又因为对于任意实数 $a,b$,有$(a-b)^2≥0$,展开得 $a^2-2ab+b^2≥0$ ②.
由①②得$(a^2-2ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)≥-S^2$,化简得$-4ab≥-S^2$,
即 $ab≤\dfrac{1}{4}S^2$,当且仅当 $a-b=0$,即 $a=b=\dfrac{1}{2}S$ 时,等号成立.
故当 $a=b$ 时,$ab$ 取得最大值$\dfrac{1}{4}S^2$.
(3)①$y=x(40-2x).$
②由已知得 $y=x(40-2x)=2x·(20-x)$,
当 $x=20-x$ 时,积 $x(20-x)$ 最大,从而 $y$ 最大.
解得 $x=(20-x)$,$x=10$.
此时长为 $40-2x=40-20=20$ m.
最大面积$=10×20=200\ \mathrm{m}^2$.
即菜园面积最大值为 $200\ \mathrm{m}^2$,此时垂直于墙的边长为 10 m(宽),平行于墙的边长为 20 m(长).
(2)已知 $a+b=S$,将等式两边平方得$(a+b)^2=S^2$,展开得 $a^2+2ab+b^2=S^2$ ①.
又因为对于任意实数 $a,b$,有$(a-b)^2≥0$,展开得 $a^2-2ab+b^2≥0$ ②.
由①②得$(a^2-2ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)≥-S^2$,化简得$-4ab≥-S^2$,
即 $ab≤\dfrac{1}{4}S^2$,当且仅当 $a-b=0$,即 $a=b=\dfrac{1}{2}S$ 时,等号成立.
故当 $a=b$ 时,$ab$ 取得最大值$\dfrac{1}{4}S^2$.
(3)①$y=x(40-2x).$
②由已知得 $y=x(40-2x)=2x·(20-x)$,
当 $x=20-x$ 时,积 $x(20-x)$ 最大,从而 $y$ 最大.
解得 $x=(20-x)$,$x=10$.
此时长为 $40-2x=40-20=20$ m.
最大面积$=10×20=200\ \mathrm{m}^2$.
即菜园面积最大值为 $200\ \mathrm{m}^2$,此时垂直于墙的边长为 10 m(宽),平行于墙的边长为 20 m(长).
解析
【分析】
(1) 先计算给出的几组矩形长与宽的差值，对比对应面积的变化规律，即可直接总结出结论；
(2) 结合已知条件$a+b=S$，利用完全平方公式的展开式，结合平方的非负性变形推导，即可证明$ab$的最大值结论；
(3) ①先梳理篱笆的长度关系：垂直于墙的边有2条，长均为$x\ \mathrm{m}$，平行于墙的边因为有1m宽的门不用篱笆，因此平行于墙的边长为篱笆总长加门宽再减去2个垂直边长，再根据矩形面积公式即可列出$y$的表达式；②将$y$的表达式变形为两个和为定值的代数式相乘的形式，结合第(2)问的最值结论，即可求出最大面积及对应长宽。
【解析】
(1) 计算每组长与宽的差：$8-2=6$、$7-3=4$、$6-4=2$、$5-5=0$，可见长与宽的差距逐渐减小，对应面积从$16\ \mathrm{cm}^2$逐步增长到$25\ \mathrm{cm}^2$，当长与宽相等时，面积达到最大。
(2) 已知 $a+b=S$,将等式两边平方得$(a+b)^2=S^2$,展开得 $a^2+2ab+b^2=S^2$ ①.
又因为对于任意实数 $a,b$,有$(a-b)^2≥0$,展开得 $a^2-2ab+b^2≥0$ ②.
由①②得$(a^2-2ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)≥-S^2$,化简得$-4ab≥-S^2$,
即 $ab≤\dfrac{1}{4}S^2$,当且仅当 $a-b=0$,即 $a=b=\dfrac{1}{2}S$ 时,等号成立.
故当 $a=b$ 时,$ab$ 取得最大值$\dfrac{1}{4}S^2$.
(3) ①由题意，平行于墙的边长为$39+1-2x=40-2x$（m），因此矩形面积$y=x(40-2x)$.
②由已知得 $y=x(40-2x)=2x·(20-x)$,其中$x$与$20-x$的和为定值20，
根据第(2)问的结论，当 $x=20-x$ 时,积 $x(20-x)$ 最大,从而 $y$ 最大.
解方程$x=20-x$,得$x=10$.
此时平行于墙的边长为 $40-2x=40-20=20$（m）,
最大面积$=10×20=200\ \mathrm{m}^2$.
【答案】
(1)减小，相等
(2)当$a=b$时，$ab$取得最大值$\frac{1}{4}S^2$，证明如上。
(3)①$y=x(40-2x)$；②菜园面积最大值为 $200\ \mathrm{m}^2$,此时垂直于墙的边长为 10 m(宽),平行于墙的边长为 20 m(长)。
【知识点】
完全平方公式、矩形面积计算、最值问题应用
【点评】
本题按照观察归纳-代数证明-实际应用的逻辑设置问题，既考查了对完全平方公式非负性的理解运用，也要求学生能准确梳理实际场景中的数量关系，解题时要注意门的宽度无需使用篱笆，避免计算平行于墙的边长时出错。
【难度系数】
0.7
(1) 先计算给出的几组矩形长与宽的差值，对比对应面积的变化规律，即可直接总结出结论；
(2) 结合已知条件$a+b=S$，利用完全平方公式的展开式，结合平方的非负性变形推导，即可证明$ab$的最大值结论；
(3) ①先梳理篱笆的长度关系：垂直于墙的边有2条，长均为$x\ \mathrm{m}$，平行于墙的边因为有1m宽的门不用篱笆，因此平行于墙的边长为篱笆总长加门宽再减去2个垂直边长，再根据矩形面积公式即可列出$y$的表达式；②将$y$的表达式变形为两个和为定值的代数式相乘的形式，结合第(2)问的最值结论，即可求出最大面积及对应长宽。
【解析】
(1) 计算每组长与宽的差：$8-2=6$、$7-3=4$、$6-4=2$、$5-5=0$，可见长与宽的差距逐渐减小，对应面积从$16\ \mathrm{cm}^2$逐步增长到$25\ \mathrm{cm}^2$，当长与宽相等时，面积达到最大。
(2) 已知 $a+b=S$,将等式两边平方得$(a+b)^2=S^2$,展开得 $a^2+2ab+b^2=S^2$ ①.
又因为对于任意实数 $a,b$,有$(a-b)^2≥0$,展开得 $a^2-2ab+b^2≥0$ ②.
由①②得$(a^2-2ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)≥-S^2$,化简得$-4ab≥-S^2$,
即 $ab≤\dfrac{1}{4}S^2$,当且仅当 $a-b=0$,即 $a=b=\dfrac{1}{2}S$ 时,等号成立.
故当 $a=b$ 时,$ab$ 取得最大值$\dfrac{1}{4}S^2$.
(3) ①由题意，平行于墙的边长为$39+1-2x=40-2x$（m），因此矩形面积$y=x(40-2x)$.
②由已知得 $y=x(40-2x)=2x·(20-x)$,其中$x$与$20-x$的和为定值20，
根据第(2)问的结论，当 $x=20-x$ 时,积 $x(20-x)$ 最大,从而 $y$ 最大.
解方程$x=20-x$,得$x=10$.
此时平行于墙的边长为 $40-2x=40-20=20$（m）,
最大面积$=10×20=200\ \mathrm{m}^2$.
【答案】
(1)减小，相等
(2)当$a=b$时，$ab$取得最大值$\frac{1}{4}S^2$，证明如上。
(3)①$y=x(40-2x)$；②菜园面积最大值为 $200\ \mathrm{m}^2$,此时垂直于墙的边长为 10 m(宽),平行于墙的边长为 20 m(长)。
【知识点】
完全平方公式、矩形面积计算、最值问题应用
【点评】
本题按照观察归纳-代数证明-实际应用的逻辑设置问题，既考查了对完全平方公式非负性的理解运用，也要求学生能准确梳理实际场景中的数量关系，解题时要注意门的宽度无需使用篱笆，避免计算平行于墙的边长时出错。
【难度系数】
0.7
