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8. 提升题如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=8$，$∠ BAC=120°$，$E$是$AB$边上不与端点重合的一个动点。过点$E$作$ED ⊥ BC$于点$D$，将$△ BDE$沿$DE$折叠，点$B$的对应点为点$F$，连接$AF$。当$△ ACF$为直角三角形时，$BE$的长为________。
答案
解：
在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C=30°，
过点A作AH⊥BC于H，
则BH=AB·cos30°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$4\sqrt{3}$，
∴ BC=2BH=$8\sqrt{3}$。
由折叠性质得：BE=EF，∠EFD=∠B=30°，
设BE=x，在Rt△BDE中，∠BDE=90°，∠B=30°，
∴ BD=BE·cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴ BF=2BD=$\sqrt{3}x$。
分两种情况讨论△ACF为直角三角形：
1. 当∠AFC=90°时：
在Rt△AFC中，∠C=30°，AC=8，
∴ CF=AC·cos30°=$4\sqrt{3}$，
∴ BF=BC - CF=$8\sqrt{3}-4\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
即$\sqrt{3}x=4\sqrt{3}$，解得x=4，即BE=4。
2. 当∠CAF=90°时：
在Rt△AFC中，∠C=30°，AC=8，
∴ CF=$\frac{AC}{cos30°}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴ BF=BC - CF=$8\sqrt{3}-\frac{16\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
即$\sqrt{3}x=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，解得x=$\frac{8}{3}$，即BE=$\frac{8}{3}$。
∵ ∠C=30°不可能为直角，
综上，BE的长为4或$\frac{8}{3}$。
在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C=30°，
过点A作AH⊥BC于H，
则BH=AB·cos30°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$4\sqrt{3}$，
∴ BC=2BH=$8\sqrt{3}$。
由折叠性质得：BE=EF，∠EFD=∠B=30°，
设BE=x，在Rt△BDE中，∠BDE=90°，∠B=30°，
∴ BD=BE·cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴ BF=2BD=$\sqrt{3}x$。
分两种情况讨论△ACF为直角三角形：
1. 当∠AFC=90°时：
在Rt△AFC中，∠C=30°，AC=8，
∴ CF=AC·cos30°=$4\sqrt{3}$，
∴ BF=BC - CF=$8\sqrt{3}-4\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
即$\sqrt{3}x=4\sqrt{3}$，解得x=4，即BE=4。
2. 当∠CAF=90°时：
在Rt△AFC中，∠C=30°，AC=8，
∴ CF=$\frac{AC}{cos30°}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴ BF=BC - CF=$8\sqrt{3}-\frac{16\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
即$\sqrt{3}x=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，解得x=$\frac{8}{3}$，即BE=$\frac{8}{3}$。
∵ ∠C=30°不可能为直角，
综上，BE的长为4或$\frac{8}{3}$。
解析
【分析】
首先先根据等腰△ABC的已知边长和顶角度数，求出底角的度数与底边BC的长度；再利用折叠的性质推导BE与BF的数量关系，用含BE的代数式表示BF；由于△ACF为直角三角形时直角顶点不确定，且∠C=30°不可能为直角，因此分两种情况讨论：①直角顶点为F，②直角顶点为A，分别在两种直角三角形中求出CF的长度，进而得到BF的长度，代入对应关系式即可求出BE的长。
【解析】
在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
过点A作AH⊥BC于H，
则$BH=AB·\cos30°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，
∴ $BC=2BH=8\sqrt{3}$。
由折叠性质得：$BE=EF$，$∠ EFD=∠ B=30°$，
设$BE=x$，在Rt△BDE中，$∠ BDE=90°$，$∠ B=30°$，
∴ $BD=BE·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴ $BF=2BD=\sqrt{3}x$。
分两种情况讨论△ACF为直角三角形：
1. 当$∠ AFC=90°$时：
在Rt△AFC中，$∠ C=30°$，$AC=8$，
∴ $CF=AC·\cos30°=4\sqrt{3}$，
∴ $BF=BC-CF=8\sqrt{3}-4\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
即$\sqrt{3}x=4\sqrt{3}$，解得$x=4$，即$BE=4$。
2. 当$∠ CAF=90°$时：
在Rt△AFC中，$∠ C=30°$，$AC=8$，
∴ $CF=\frac{AC}{\cos30°}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴ $BF=BC-CF=8\sqrt{3}-\frac{16\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
即$\sqrt{3}x=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，解得$x=\frac{8}{3}$，即$BE=\frac{8}{3}$。
∵ $∠ C=30°$不可能为直角，综上两种情况均符合题意。
【答案】
$4$或$\frac{8}{3}$
【知识点】
等腰三角形性质，折叠的性质，直角三角形边角关系
【点评】
本题考查几何综合应用，核心考查分类讨论思想，解题时需注意直角三角形的直角顶点存在多种可能性，避免漏解，同时要熟练运用折叠前后对应边、对应角相等的性质建立等量关系，结合直角三角形的边角关系求解。
【难度系数】
0.6
首先先根据等腰△ABC的已知边长和顶角度数，求出底角的度数与底边BC的长度；再利用折叠的性质推导BE与BF的数量关系，用含BE的代数式表示BF；由于△ACF为直角三角形时直角顶点不确定，且∠C=30°不可能为直角，因此分两种情况讨论：①直角顶点为F，②直角顶点为A，分别在两种直角三角形中求出CF的长度，进而得到BF的长度，代入对应关系式即可求出BE的长。
【解析】
在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
过点A作AH⊥BC于H，
则$BH=AB·\cos30°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，
∴ $BC=2BH=8\sqrt{3}$。
由折叠性质得：$BE=EF$，$∠ EFD=∠ B=30°$，
设$BE=x$，在Rt△BDE中，$∠ BDE=90°$，$∠ B=30°$，
∴ $BD=BE·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴ $BF=2BD=\sqrt{3}x$。
分两种情况讨论△ACF为直角三角形：
1. 当$∠ AFC=90°$时：
在Rt△AFC中，$∠ C=30°$，$AC=8$，
∴ $CF=AC·\cos30°=4\sqrt{3}$，
∴ $BF=BC-CF=8\sqrt{3}-4\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
即$\sqrt{3}x=4\sqrt{3}$，解得$x=4$，即$BE=4$。
2. 当$∠ CAF=90°$时：
在Rt△AFC中，$∠ C=30°$，$AC=8$，
∴ $CF=\frac{AC}{\cos30°}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴ $BF=BC-CF=8\sqrt{3}-\frac{16\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
即$\sqrt{3}x=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，解得$x=\frac{8}{3}$，即$BE=\frac{8}{3}$。
∵ $∠ C=30°$不可能为直角，综上两种情况均符合题意。
【答案】
$4$或$\frac{8}{3}$
【知识点】
等腰三角形性质，折叠的性质，直角三角形边角关系
【点评】
本题考查几何综合应用，核心考查分类讨论思想，解题时需注意直角三角形的直角顶点存在多种可能性，避免漏解，同时要熟练运用折叠前后对应边、对应角相等的性质建立等量关系，结合直角三角形的边角关系求解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
9.计算：
(1)$\sqrt{9} - \cos 60° + (\frac{1}{8})^{-1} + \tan 60°$；
(2)$\sin 30° - (π - 3)^0 + |\sqrt{2} - 2| + 2\cos 45°$。
9.计算：
(1)$\sqrt{9} - \cos 60° + (\frac{1}{8})^{-1} + \tan 60°$；
(2)$\sin 30° - (π - 3)^0 + |\sqrt{2} - 2| + 2\cos 45°$。
答案
解：
(1) 原式$=3 - \cos60° + 8 + \tan60°$
$=3 - \frac{1}{2} + 8 + \sqrt{3}$
$=\frac{21}{2} + \sqrt{3}$
(2) 原式$=\sin30° - 1 + 2 - \sqrt{2} + 2\cos45°$
$=\frac{1}{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} + 2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{1}{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$=\frac{3}{2}$
(1) 原式$=3 - \cos60° + 8 + \tan60°$
$=3 - \frac{1}{2} + 8 + \sqrt{3}$
$=\frac{21}{2} + \sqrt{3}$
(2) 原式$=\sin30° - 1 + 2 - \sqrt{2} + 2\cos45°$
$=\frac{1}{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} + 2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{1}{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题思路为：先分别化简每一项，涉及算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的化简，再按照有理数的加减法则合并计算即可。（1）中需先分别算出$\sqrt{9}$、$\cos60°$、$(\frac{1}{8})^{-1}$、$\tan60°$的值，再合并；（2）中需先分别算出$\sin30°$、$(π-3)^0$、$|\sqrt{2}-2|$、$2\cos45°$的值，再合并，注意去绝对值的符号判断，以及同类二次根式的抵消。
【解析】
(1) 原式$=3 - \cos60° + 8 + \tan60°$
$=3 - \frac{1}{2} + 8 + \sqrt{3}$
$=\frac{21}{2} + \sqrt{3}$
(2) 原式$=\sin30° - 1 + 2 - \sqrt{2} + 2\cos45°$
$=\frac{1}{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} + 2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{1}{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$=\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $\frac{21}{2}+\sqrt{3}$；(2) $\frac{3}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是牢记相关运算规则和特殊角的三角函数值，计算时注意每一步化简的正确性，尤其是符号问题，避免因记忆混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的混合运算，解题思路为：先分别化简每一项，涉及算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的化简，再按照有理数的加减法则合并计算即可。（1）中需先分别算出$\sqrt{9}$、$\cos60°$、$(\frac{1}{8})^{-1}$、$\tan60°$的值，再合并；（2）中需先分别算出$\sin30°$、$(π-3)^0$、$|\sqrt{2}-2|$、$2\cos45°$的值，再合并，注意去绝对值的符号判断，以及同类二次根式的抵消。
【解析】
(1) 原式$=3 - \cos60° + 8 + \tan60°$
$=3 - \frac{1}{2} + 8 + \sqrt{3}$
$=\frac{21}{2} + \sqrt{3}$
(2) 原式$=\sin30° - 1 + 2 - \sqrt{2} + 2\cos45°$
$=\frac{1}{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} + 2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{1}{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$=\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $\frac{21}{2}+\sqrt{3}$；(2) $\frac{3}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是牢记相关运算规则和特殊角的三角函数值，计算时注意每一步化简的正确性，尤其是符号问题，避免因记忆混淆出错。
【难度系数】
0.8
10.如图,在4×3的正方形网格中,有一条射线OA,请仅用无刻度的直尺分别在图①、图②的网格中作射线OB,使tan∠AOB的值分别为1, $\frac{1}{2}$。(不写作法,保留作图痕迹)
答案
解：
如图所示，在图①中选取格点B，作射线OB，构造以∠AOB为锐角的直角三角形，使其对边与邻边长度相等，此时$\tan∠ AOB=1$；在图②中选取格点B，作射线OB，构造以∠AOB为锐角的直角三角形，使其对边与邻边的长度比为$1:2$，此时$\tan∠ AOB=\frac{1}{2}$，保留作图痕迹即可。
（注：符合要求的格点选取方式不唯一，作出满足条件的射线OB即为正确）
如图所示，在图①中选取格点B，作射线OB，构造以∠AOB为锐角的直角三角形，使其对边与邻边长度相等，此时$\tan∠ AOB=1$；在图②中选取格点B，作射线OB，构造以∠AOB为锐角的直角三角形，使其对边与邻边的长度比为$1:2$，此时$\tan∠ AOB=\frac{1}{2}$，保留作图痕迹即可。
（注：符合要求的格点选取方式不唯一，作出满足条件的射线OB即为正确）
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆锐角正切的定义：锐角的正切值等于该角在直角三角形中对边与邻边的比值。我们的目标是构造∠AOB使得它的正切分别为1和$\frac{1}{2}$，因此只需结合网格的单位长度特性，找到合适的格点B，构造以∠AOB为锐角的直角三角形，让其对边与邻边的比值分别等于1和$\frac{1}{2}$即可，用无刻度直尺连接O、B就能得到所求射线OB。
【解析】
1. 图①中构造$\tan∠ AOB=1$：选取符合要求的格点B，构造包含$∠ AOB$的直角三角形，使$∠ AOB$的对边长度和邻边长度相等，此时$\tan∠ AOB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=1$，用无刻度直尺连接O、B，作出射线OB。
2. 图②中构造$\tan∠ AOB=\frac{1}{2}$：同理选取合适的格点B，构造包含$∠ AOB$的直角三角形，使$∠ AOB$的对边长度与邻边长度的比为$1:2$，此时$\tan∠ AOB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{1}{2}$，用无刻度直尺连接O、B，作出射线OB。
（注：格点B的选取方式不唯一，保留作图痕迹，满足正切比值要求即可。）
【答案】
在图①中选取格点B，作射线OB，构造以∠AOB为锐角的直角三角形，使其对边与邻边长度相等，此时$\tan∠ AOB=1$；在图②中选取格点B，作射线OB，构造以∠AOB为锐角的直角三角形，使其对边与邻边的长度比为$1:2$，此时$\tan∠ AOB=\frac{1}{2}$，保留作图痕迹即可。（符合要求的格点选取方式不唯一，作出满足条件的射线OB即为正确）
【知识点】
正切的定义；网格作图
【点评】
本题考查锐角正切的实际应用，需要结合网格的特点灵活构造符合比例的直角三角形，解题的核心是牢牢掌握正切是对应角对边与邻边的比值，题目灵活性较强，答案不唯一。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆锐角正切的定义：锐角的正切值等于该角在直角三角形中对边与邻边的比值。我们的目标是构造∠AOB使得它的正切分别为1和$\frac{1}{2}$，因此只需结合网格的单位长度特性，找到合适的格点B，构造以∠AOB为锐角的直角三角形，让其对边与邻边的比值分别等于1和$\frac{1}{2}$即可，用无刻度直尺连接O、B就能得到所求射线OB。
【解析】
1. 图①中构造$\tan∠ AOB=1$：选取符合要求的格点B，构造包含$∠ AOB$的直角三角形，使$∠ AOB$的对边长度和邻边长度相等，此时$\tan∠ AOB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=1$，用无刻度直尺连接O、B，作出射线OB。
2. 图②中构造$\tan∠ AOB=\frac{1}{2}$：同理选取合适的格点B，构造包含$∠ AOB$的直角三角形，使$∠ AOB$的对边长度与邻边长度的比为$1:2$，此时$\tan∠ AOB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{1}{2}$，用无刻度直尺连接O、B，作出射线OB。
（注：格点B的选取方式不唯一，保留作图痕迹，满足正切比值要求即可。）
【答案】
在图①中选取格点B，作射线OB，构造以∠AOB为锐角的直角三角形，使其对边与邻边长度相等，此时$\tan∠ AOB=1$；在图②中选取格点B，作射线OB，构造以∠AOB为锐角的直角三角形，使其对边与邻边的长度比为$1:2$，此时$\tan∠ AOB=\frac{1}{2}$，保留作图痕迹即可。（符合要求的格点选取方式不唯一，作出满足条件的射线OB即为正确）
【知识点】
正切的定义；网格作图
【点评】
本题考查锐角正切的实际应用，需要结合网格的特点灵活构造符合比例的直角三角形，解题的核心是牢牢掌握正切是对应角对边与邻边的比值，题目灵活性较强，答案不唯一。
【难度系数】
0.7
11.如图,某游乐场新推出“极速飞车”项目,该项目设有两条难度不同的斜坡轨道,游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由升降,选择对应难度的轨道。已知斜坡轨道BC的坡度$i=1:2$,斜坡轨道AD的坡角($∠ D$)为$36°$, $BC=12\sqrt{5}\ \mathrm{m}$,$CD=8\ \mathrm{m}$,点A,B,C,D,E均在同一平面内。求垂直升降电梯AB的高度。(结果精确到0.1 m。参考数据:$\sin 36°\approx0.59,\cos 36°\approx0.81,\tan 36°\approx0.73$)
12.提升题 在学习直角三角形的边角关系时,小亮产生了这样的思考:一个锐角的大小变为原来的2倍后,它的正切值与原角的正切值之间是否存在关系?并就此展开了如下探究。
【初步尝试】
(1)我们知道:$\tan 60°=$, $\tan 30°=$。
发现:对于任意锐角$α,\tan α$(填“=”或“≠”)$2\tan \frac{α}{2}$。
【实践探究】
(2)在解决“如图①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ BAC=α,AC=2,BC=1$,求$\tan \frac{α}{2}$的值”这一问题时,小亮的思路:构造一个包含$\frac{α}{2}$的直角三角形,通过延长CA到点D,使$DA=AB$,连接BD,可得$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{α}{2}$,从而将问题转化为求$∠ D$的正切值。请按照小亮的思路,求$\tan \frac{α}{2}$的值。
【拓展延伸】
(3)如图②,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ A=α,AC=3,\tan α=\frac{1}{3}$。请仿照小亮的思路或用其他方法,求$\tan 2α$的值。
12.提升题 在学习直角三角形的边角关系时,小亮产生了这样的思考:一个锐角的大小变为原来的2倍后,它的正切值与原角的正切值之间是否存在关系?并就此展开了如下探究。
【初步尝试】
(1)我们知道:$\tan 60°=$, $\tan 30°=$。
发现:对于任意锐角$α,\tan α$(填“=”或“≠”)$2\tan \frac{α}{2}$。
【实践探究】
(2)在解决“如图①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ BAC=α,AC=2,BC=1$,求$\tan \frac{α}{2}$的值”这一问题时,小亮的思路:构造一个包含$\frac{α}{2}$的直角三角形,通过延长CA到点D,使$DA=AB$,连接BD,可得$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{α}{2}$,从而将问题转化为求$∠ D$的正切值。请按照小亮的思路,求$\tan \frac{α}{2}$的值。
【拓展延伸】
(3)如图②,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ A=α,AC=3,\tan α=\frac{1}{3}$。请仿照小亮的思路或用其他方法,求$\tan 2α$的值。
答案
第11题解答：
解：在$Rt△ BCE$中，斜坡轨道$BC$的坡度$i=\frac{BE}{CE}=\frac{1}{2}$，设$BE=x\ \mathrm{m}$，则$CE=2x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$BE^2 + CE^2 = BC^2$
代入$BC=12\sqrt{5}\ \mathrm{m}$：
$x^2 + (2x)^2 = (12\sqrt{5})^2$
$5x^2 = 720$
解得$x=12$（$x＞0$），因此$BE=12\ \mathrm{m}$，$CE=24\ \mathrm{m}$。
$DE = CD + CE = 8 + 24 = 32\ \mathrm{m}$
在$Rt△ ADE$中，$∠ D=36°$，$\tan D=\frac{AE}{DE}$：
$AE = DE·\tan36° \approx 32×0.73 = 23.36\ \mathrm{m}$
因此：
$AB = AE - BE \approx 23.36 - 12 = 11.36 \approx 11.4\ \mathrm{m}$
答：垂直升降电梯$AB$的高度约为$11.4\ \mathrm{m}$。
---
第12题解答：
(1)
$\tan 60° = \boldsymbol{\sqrt{3}}$，$\tan 30° = \boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{3}}$。
发现：对于任意锐角$α$，$\tanα \boldsymbol{≠} 2\tan \frac{α}{2}$。
(2)
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
由题意$DA=AB$，因此$DA=\sqrt{5}$，$∠ D=\frac{α}{2}$。
$CD = DA + AC = \sqrt{5} + 2$
在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$：
$\tan D = \frac{BC}{CD} = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = \sqrt{5} - 2$
即$\tan \frac{α}{2} = \sqrt{5} - 2$。
(3)
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$\tanα=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，因此$BC=1$。
在$AC$边上取点$D$，使$DA=DB$，则$∠ DBA=∠ A=α$，因此$∠ CDB = ∠ DBA + ∠ A = 2α$。
设$CD=x$，则$AD=DB=AC-CD=3-x$。
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC^2 + CD^2 = DB^2$
代入数值：
$1^2 + x^2 = (3-x)^2$
展开化简得：
$1 + x^2 = 9 - 6x + x^2$
解得$x=\frac{4}{3}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$：
$\tan∠ CDB = \frac{BC}{CD} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$
即$\tan 2α = \frac{3}{4}$。
解：在$Rt△ BCE$中，斜坡轨道$BC$的坡度$i=\frac{BE}{CE}=\frac{1}{2}$，设$BE=x\ \mathrm{m}$，则$CE=2x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$BE^2 + CE^2 = BC^2$
代入$BC=12\sqrt{5}\ \mathrm{m}$：
$x^2 + (2x)^2 = (12\sqrt{5})^2$
$5x^2 = 720$
解得$x=12$（$x＞0$），因此$BE=12\ \mathrm{m}$，$CE=24\ \mathrm{m}$。
$DE = CD + CE = 8 + 24 = 32\ \mathrm{m}$
在$Rt△ ADE$中，$∠ D=36°$，$\tan D=\frac{AE}{DE}$：
$AE = DE·\tan36° \approx 32×0.73 = 23.36\ \mathrm{m}$
因此：
$AB = AE - BE \approx 23.36 - 12 = 11.36 \approx 11.4\ \mathrm{m}$
答：垂直升降电梯$AB$的高度约为$11.4\ \mathrm{m}$。
---
第12题解答：
(1)
$\tan 60° = \boldsymbol{\sqrt{3}}$，$\tan 30° = \boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{3}}$。
发现：对于任意锐角$α$，$\tanα \boldsymbol{≠} 2\tan \frac{α}{2}$。
(2)
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
由题意$DA=AB$，因此$DA=\sqrt{5}$，$∠ D=\frac{α}{2}$。
$CD = DA + AC = \sqrt{5} + 2$
在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$：
$\tan D = \frac{BC}{CD} = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = \sqrt{5} - 2$
即$\tan \frac{α}{2} = \sqrt{5} - 2$。
(3)
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$\tanα=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，因此$BC=1$。
在$AC$边上取点$D$，使$DA=DB$，则$∠ DBA=∠ A=α$，因此$∠ CDB = ∠ DBA + ∠ A = 2α$。
设$CD=x$，则$AD=DB=AC-CD=3-x$。
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC^2 + CD^2 = DB^2$
代入数值：
$1^2 + x^2 = (3-x)^2$
展开化简得：
$1 + x^2 = 9 - 6x + x^2$
解得$x=\frac{4}{3}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$：
$\tan∠ CDB = \frac{BC}{CD} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$
即$\tan 2α = \frac{3}{4}$。
解析
---
第11题
【分析】
本题需分两步解直角三角形求解：首先利用斜坡BC的坡度关系，设未知数结合勾股定理求出BE、CE的长度，进而得到DE的长度；再利用斜坡AD的坡角的正切值求出AE的高度，最后通过AE与BE的差得到AB的高度。
【解析】
在$Rt△ BCE$中，斜坡轨道$BC$的坡度$i=\frac{BE}{CE}=\frac{1}{2}$，设$BE=x\ \mathrm{m}$，则$CE=2x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$BE^2 + CE^2 = BC^2$
代入$BC=12\sqrt{5}\ \mathrm{m}$：
$x^2 + (2x)^2 = (12\sqrt{5})^2$
$5x^2 = 720$
解得$x=12$（$x＞0$），因此$BE=12\ \mathrm{m}$，$CE=24\ \mathrm{m}$。
$DE = CD + CE = 8 + 24 = 32\ \mathrm{m}$
在$Rt△ ADE$中，$∠ D=36°$，$\tan D=\frac{AE}{DE}$：
$AE = DE·\tan36° \approx 32×0.73 = 23.36\ \mathrm{m}$
因此：
$AB = AE - BE \approx 23.36 - 12 = 11.36 \approx 11.4\ \mathrm{m}$
【答案】
垂直升降电梯AB的高度约为11.4 m
【知识点】
坡度坡角问题，勾股定理，锐角三角函数应用
【点评】
本题结合游乐场实际场景考查解直角三角形的应用，解题时需准确理解坡度、坡角的概念，合理利用勾股定理和锐角三角函数求解，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
---
第12题
【分析】
(1)直接记忆特殊角30°、60°的正切值，计算比较后即可得出关系；
(2)先利用勾股定理求出AB的长度，结合构造的等腰三角形得到AD=AB，进而求出CD的长度，再在Rt△BCD中根据正切的定义求出$\tan\frac{α}{2}$的值；
(3)仿照(2)的思路，构造等腰三角形得到2α的角，设未知数列勾股定理求出对应线段长度，最后根据正切定义求出$\tan2α$的值。
【解析】
(1)根据特殊角的三角函数值，$\tan 60°=\sqrt{3}$，$\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，显然$\sqrt{3}≠2×\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此对于任意锐角$α$，$\tanα≠2\tan \frac{α}{2}$。
(2)在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
由题意$DA=AB$，因此$DA=\sqrt{5}$，$∠ D=\frac{α}{2}$。
$CD = DA + AC = \sqrt{5} + 2$
在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$：
$\tan D = \frac{BC}{CD} = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = \sqrt{5} - 2$
即$\tan \frac{α}{2} = \sqrt{5} - 2$。
(3)在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$\tanα=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，因此$BC=1$。
在$AC$边上取点$D$，使$DA=DB$，则$∠ DBA=∠ A=α$，因此$∠ CDB = ∠ DBA + ∠ A = 2α$。
设$CD=x$，则$AD=DB=AC-CD=3-x$。
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC^2 + CD^2 = DB^2$
代入数值：
$1^2 + x^2 = (3-x)^2$
展开化简得：
$1 + x^2 = 9 - 6x + x^2$
解得$x=\frac{4}{3}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$：
$\tan∠ CDB = \frac{BC}{CD} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$
即$\tan 2α = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，≠；(2)$\sqrt{5}-2$；(3)$\frac{3}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于探究类题型，从特殊值到一般情况探究锐角倍角、半角的正切值关系，核心是通过构造等腰三角形将目标角转化到直角三角形中，考查学生的知识迁移能力和探究能力。
【难度系数】
0.65
第11题
【分析】
本题需分两步解直角三角形求解：首先利用斜坡BC的坡度关系，设未知数结合勾股定理求出BE、CE的长度，进而得到DE的长度；再利用斜坡AD的坡角的正切值求出AE的高度，最后通过AE与BE的差得到AB的高度。
【解析】
在$Rt△ BCE$中，斜坡轨道$BC$的坡度$i=\frac{BE}{CE}=\frac{1}{2}$，设$BE=x\ \mathrm{m}$，则$CE=2x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$BE^2 + CE^2 = BC^2$
代入$BC=12\sqrt{5}\ \mathrm{m}$：
$x^2 + (2x)^2 = (12\sqrt{5})^2$
$5x^2 = 720$
解得$x=12$（$x＞0$），因此$BE=12\ \mathrm{m}$，$CE=24\ \mathrm{m}$。
$DE = CD + CE = 8 + 24 = 32\ \mathrm{m}$
在$Rt△ ADE$中，$∠ D=36°$，$\tan D=\frac{AE}{DE}$：
$AE = DE·\tan36° \approx 32×0.73 = 23.36\ \mathrm{m}$
因此：
$AB = AE - BE \approx 23.36 - 12 = 11.36 \approx 11.4\ \mathrm{m}$
【答案】
垂直升降电梯AB的高度约为11.4 m
【知识点】
坡度坡角问题，勾股定理，锐角三角函数应用
【点评】
本题结合游乐场实际场景考查解直角三角形的应用，解题时需准确理解坡度、坡角的概念，合理利用勾股定理和锐角三角函数求解，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
---
第12题
【分析】
(1)直接记忆特殊角30°、60°的正切值，计算比较后即可得出关系；
(2)先利用勾股定理求出AB的长度，结合构造的等腰三角形得到AD=AB，进而求出CD的长度，再在Rt△BCD中根据正切的定义求出$\tan\frac{α}{2}$的值；
(3)仿照(2)的思路，构造等腰三角形得到2α的角，设未知数列勾股定理求出对应线段长度，最后根据正切定义求出$\tan2α$的值。
【解析】
(1)根据特殊角的三角函数值，$\tan 60°=\sqrt{3}$，$\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，显然$\sqrt{3}≠2×\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此对于任意锐角$α$，$\tanα≠2\tan \frac{α}{2}$。
(2)在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
由题意$DA=AB$，因此$DA=\sqrt{5}$，$∠ D=\frac{α}{2}$。
$CD = DA + AC = \sqrt{5} + 2$
在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$：
$\tan D = \frac{BC}{CD} = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = \sqrt{5} - 2$
即$\tan \frac{α}{2} = \sqrt{5} - 2$。
(3)在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$\tanα=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，因此$BC=1$。
在$AC$边上取点$D$，使$DA=DB$，则$∠ DBA=∠ A=α$，因此$∠ CDB = ∠ DBA + ∠ A = 2α$。
设$CD=x$，则$AD=DB=AC-CD=3-x$。
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC^2 + CD^2 = DB^2$
代入数值：
$1^2 + x^2 = (3-x)^2$
展开化简得：
$1 + x^2 = 9 - 6x + x^2$
解得$x=\frac{4}{3}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$：
$\tan∠ CDB = \frac{BC}{CD} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$
即$\tan 2α = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，≠；(2)$\sqrt{5}-2$；(3)$\frac{3}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于探究类题型，从特殊值到一般情况探究锐角倍角、半角的正切值关系，核心是通过构造等腰三角形将目标角转化到直角三角形中，考查学生的知识迁移能力和探究能力。
【难度系数】
0.65
