1.如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上两点，连接BC，BD，CD。若$∠ C=25°$，则$∠ ABD$的度数为()

A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$65°$

D

【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，观察已知∠C是圆周角，找到与其同弧的圆周角∠BAD，根据同弧所对圆周角相等得到∠BAD的度数；第二步，抓住AB是直径的条件，利用直径所对的圆周角为直角，得到△ABD是直角三角形，∠ADB=90°；第三步，利用直角三角形两锐角互余，即可计算出∠ABD的度数。
【解析】
∵∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠BAD=∠BCD=25°，
∵AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=90°-25°=65°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；直径的圆周角性质；直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础角度计算题型，核心是对圆周角相关性质的灵活应用，解题的突破口是结合直径的性质构造直角三角形，再通过同弧圆周角相等转化已知角度，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8

2.如图，A，B，C是半径为4的$\odot O$上的三点。若$∠ ABC=60°$，则弦AC的长为。

$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$

【分析】
要求弦AC的长，可结合圆的性质转化求解：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，连接OA、OC即可得到圆心角∠AOC的度数；△OAC是腰长等于半径的等腰三角形，再结合垂径定理，过圆心作AC的垂线，可将求AC长的问题转化为解直角三角形的问题，进而计算得到结果。
【解析】
解：连接OA、OC，过点O作OD⊥AC于点D。
∵ ∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ AOC=2∠ ABC=2×60°=120°$。
∵ $OA=OC=4$，$OD⊥ AC$，
∴ $AD=CD$，$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$。
在$Rt△ AOD$中，$∠ OAD=30°$，
∴ $OD=\frac{1}{2}OA=2$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ $AC=2AD=4\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆性质应用的基础题，解题的关键是合理构造辅助线，将弦长计算问题转化为直角三角形的计算问题，熟练掌握圆的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7

3. 如图，若$AB=AC=AD$，$∠ BAC=50°$，则$∠ BDC=$°。
(第3题)

25

【分析】
首先观察已知条件AB=AC=AD，三条线段有公共端点A且长度相等，根据圆的定义可判断点B、C、D都在以A为圆心、AB为半径的同一个圆上；接下来识别两个角的对应关系：∠BAC是该圆中弧BC所对的圆心角，∠BDC是弧BC所对的圆周角，最后根据圆周角定理即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的同一圆上。
∵∠BAC是弧BC所对的圆心角，∠BDC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠BDC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
【答案】
25
【知识点】
圆的定义；圆周角定理
【点评】
本题是常见的几何基础题型，解题关键是根据共端点的等线段条件识别出隐圆，再结合圆周角定理快速求解，也可通过等腰三角形内角和的性质推导得出结果，能锻炼学生的几何模型识别能力。
【难度系数】
0.7

4.如图，$△ ABC$内接于$\odot O$。若$∠ A=45°,OB=3$,则$BC$的长为。

$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$

【分析】
解题时首先观察已知条件：∠A是⊙O中弧BC所对的圆周角，OB是圆的半径，要求弦BC的长。首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；再结合OB、OC都是圆的半径，长度相等，可判断△BOC的形状，最后利用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：∠BOC=2∠A
已知∠A=45°，
∴∠BOC=2×45°=90°
∵OB、OC都是⊙O的半径，OB=3
∴OC=OB=3，△BOC为等腰直角三角形
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是通过圆周角定理推导得到圆心角的度数，确定三角形的形状后结合勾股定理计算边长，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.75

5. 提升题 在半径为3的$\odot O$中，若弦$AC=3$，弦$AD=3\sqrt{2}$，则$∠ OCD$的度数为。

解：
连接OA、OC、OD。
∵ ⊙O的半径为3，
∴ OA=OC=OD=3。
∵ AC=3，
∴ OA=OC=AC，△OAC为等边三角形，
∴ ∠AOC=60°。
∵ AD=3√2，
∴ OA² + OD² = 3² + 3² = 18 = (3√2)² = AD²，
∴ △OAD为等腰直角三角形，∠AOD=90°。
分两种情况讨论：
1. 当点C、D在OA两侧时：
∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 60° + 90° = 150°，
∵ OC=OD，
∴ ∠OCD = $\frac{180° - 150°}{2}$ = 15°。
2. 当点C、D在OA同侧时：
∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 90° - 60° = 30°，
∵ OC=OD，
∴ ∠OCD = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°。
综上，∠OCD的度数为15°或75°。

【分析】
要解这道题，首先按照圆中弦长求角度的常规思路，先连接圆心与各弦端点得到半径，利用半径相等的性质，结合已知弦长判断出△OAC是等边三角形、△OAD是等腰直角三角形，得到两个圆心角的度数；由于弦AC、AD相对OA的位置有同侧、异侧两种情况，需分类讨论求出∠COD的度数，最后根据OC=OD，利用等腰三角形内角和性质即可求出∠OCD的度数。
【解析】
连接OA、OC、OD。
∵ ⊙O的半径为3，
∴ OA=OC=OD=3。
∵ AC=3，
∴ OA=OC=AC，△OAC为等边三角形，
∴ ∠AOC=60°。
∵ AD=3√2，
∴ OA² + OD² = 3² + 3² = 18 = (3√2)² = AD²，
由勾股定理的逆定理可得△OAD为等腰直角三角形，∠AOD=90°。
分两种情况讨论：
1. 当点C、D在OA两侧时：
∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 60° + 90° = 150°，
∵ OC=OD，
∴ ∠OCD = $\frac{180° - 150°}{2}$ = 15°。
2. 当点C、D在OA同侧时：
∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 90° - 60° = 30°，
∵ OC=OD，
∴ ∠OCD = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°。
综上，∠OCD的度数为15°或75°。
【答案】
15°或75°
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理的逆定理，等腰（边）三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合提升题，解题的关键是连接半径构造特殊三角形求出对应圆心角的度数，易错点是忽略弦的两种位置情况导致漏解，解题时需注意分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.5

6.如图,在△ABC中,AB=AC,过点B,C的⊙O与AB,AC分别相交于点D,E。求证:BD=CE。

证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB。
∵ ∠ABC是⊙O的圆周角，其所对的弧为弧DC，
∠ACB是⊙O的圆周角，其所对的弧为弧EB，
∴ 弧DC = 弧EB。
∴ 弧DC - 弧DE = 弧EB - 弧DE，
即 弧BD = 弧CE。
∴ BD=CE。

【分析】
要证BD=CE，结合圆的性质，可先证明两条弦对应的弧相等，即弧BD=弧CE。首先由已知AB=AC，根据等腰三角形两底角相等可得∠ABC=∠ACB；再根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，可得∠ABC所对的弧DC与∠ACB所对的弧EB相等；两段弧同时减去公共弧DE，即可推出弧BD=弧CE，最后根据同圆中等弧对等弦，即可证得BD=CE。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB。
∵ ∠ABC是⊙O的圆周角，其所对的弧为弧DC，
∠ACB是⊙O的圆周角，其所对的弧为弧EB，
∴ 弧DC = 弧EB。
∴ 弧DC - 弧DE = 弧EB - 弧DE，
即 弧BD = 弧CE。
∴ BD=CE。
【答案】
BD=CE，得证
【知识点】
等腰三角形性质、圆周角定理、弧弦关系
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础题型，解题的核心是将弦相等的证明转化为对应弧相等的证明，熟练掌握相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

7.在$\odot O$中，弦$AB⊥ CD$于点$E$，连接$BC$，$BD$。
(1)如图①，弦$AF⊥ BC$于点$G$，求证：$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$。
(2)如图②，连接$OA$，$OB$，$OC$，$OD$，用等式表示$∠ AOC$与$∠ BOD$的数量关系，并证明。

(1) 证明：
∵ $AB⊥ CD$，$AF⊥ BC$
∴ $∠ CEB = 90°$，$∠ AGB = 90°$
∴ $∠ BCD + ∠ ABC = 90°$，$∠ BAF + ∠ ABC = 90°$
∴ $∠ BCD = ∠ BAF$
∵ 在$\odot O$中，相等的圆周角所对的弧相等，$∠ BCD$对应$\overset{\frown}{BD}$，$∠ BAF$对应$\overset{\frown}{BF}$
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$
---
(2) 解：
数量关系为：$\boldsymbol{∠ AOC + ∠ BOD = 180°}$，证明如下：
由圆周角定理：一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍，
$∠ AOC$是弧$AC$对应的圆心角，$∠ ABC$是弧$AC$对应的圆周角，故$∠ AOC = 2∠ ABC$；
$∠ BOD$是弧$BD$对应的圆心角，$∠ BCD$是弧$BD$对应的圆周角，故$∠ BOD = 2∠ BCD$。
∵ $AB⊥ CD$于点$E$
∴ $∠ CEB = 90°$
∴ $∠ ABC + ∠ BCD = 90°$
等式两边同乘2得：$2∠ ABC + 2∠ BCD = 180°$
代入得：$∠ AOC + ∠ BOD = 180°$

【分析】
(1) 要证明$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$，根据圆的性质，只需证明两段弧所对的圆周角相等。结合题目给出的两组垂直条件，可通过“同角的余角相等”推出$∠ BCD=∠ BAF$，两个角分别对应$\overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{BF}$，即可证得弧相等。
(2) 探究$∠ AOC$与$∠ BOD$的数量关系，可借助圆周角定理，将两个圆心角分别转化为对应弧所对的圆周角：$∠ AOC=2∠ ABC$，$∠ BOD=2∠ BCD$。再结合$AB⊥ CD$的条件，可知$∠ ABC+∠ BCD=90°$，代入转化后即可推出两个圆心角的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB⊥ CD$，$AF⊥ BC$
∴ $∠ CEB = 90°$，$∠ AGB = 90°$
∴ $∠ BCD + ∠ ABC = 90°$，$∠ BAF + ∠ ABC = 90°$
∴ $∠ BCD = ∠ BAF$（同角的余角相等）
∵ 在$\odot O$中，相等的圆周角所对的弧相等，$∠ BCD$对应$\overset{\frown}{BD}$，$∠ BAF$对应$\overset{\frown}{BF}$
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$
(2) 解：数量关系为$\boldsymbol{∠ AOC + ∠ BOD = 180°}$，证明如下：
根据圆周角定理：一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍。
$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角，$∠ ABC$是$\overset{\frown}{AC}$对应的圆周角，故$∠ AOC = 2∠ ABC$；
$∠ BOD$是$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角，$∠ BCD$是$\overset{\frown}{BD}$对应的圆周角，故$∠ BOD = 2∠ BCD$。
∵ $AB⊥ CD$于点$E$
∴ $∠ CEB = 90°$
∴ $∠ ABC + ∠ BCD = 90°$
等式两边同时乘2得：$2∠ ABC + 2∠ BCD = 180°$
将圆心角与圆周角的关系代入得：$∠ AOC + ∠ BOD = 180°$
【答案】
(1) 已证$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$；
(2) $\boldsymbol{∠ AOC + ∠ BOD = 180°}$
【知识点】
圆周角定理；同角的余角相等；弧相等的判定
【点评】
本题围绕圆的基本性质考查，解题核心是灵活运用垂直的性质和圆周角定理，实现圆周角、圆心角、弧三者之间的关系转化，是圆章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7