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6 [2025 青岛]如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成，AF=a，BF=b，且a＞b。若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为26和16，则$\frac{ab}{a+b}$的值为
$\dfrac{5}{6}$
。答案
6. $\dfrac{5}{6}$ 【解析】
∵ 正方形ABCD的面积为26,AF=a,BF=b,
∴ AB²=a²+b²=26.
∵ 四个直角三角形全等,
∴ AE=BF=b,
∴ EF=AF-AE=a-b.
∵ 正方形EFGH的面积为16,
∴ (a-b)²=a²+b²-2ab=16,即26-2ab=16,解得ab=5,
∴ (a+b)²=(a-b)²+4ab=16+4×5=36,
∴ a+b=6(负值舍去),
∴ $\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{5}{6}$.
∵ 正方形ABCD的面积为26,AF=a,BF=b,
∴ AB²=a²+b²=26.
∵ 四个直角三角形全等,
∴ AE=BF=b,
∴ EF=AF-AE=a-b.
∵ 正方形EFGH的面积为16,
∴ (a-b)²=a²+b²-2ab=16,即26-2ab=16,解得ab=5,
∴ (a+b)²=(a-b)²+4ab=16+4×5=36,
∴ a+b=6(负值舍去),
∴ $\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{5}{6}$.
7 已知直角三角形的三边长$a,b,c$满足$c＞a＞b$，分别以$a,b,c$为边长作三个正方形，如图，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，设三个正方形无重叠部分的面积为$S_{1}$，重叠部分的面积为$S_{2}$，则$S_{1}\_\_\_\_\_\_S_{2}$（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
7. = 【解析】
∵ 直角三角形的三边长a,b,c满足c＞a＞b,
∴ 该直角三角形的斜边长为c,
∴ c²=a²+b²,即c²-a²-b²=0.根据题意,得$S_1=c^2-a^2-b^2+b(a+b-c)=ab+b^2-bc$,$S_2=b(a+b-c)=ab+b^2-bc$,
∴ $S_1=S_2$.
∵ 直角三角形的三边长a,b,c满足c＞a＞b,
∴ 该直角三角形的斜边长为c,
∴ c²=a²+b²,即c²-a²-b²=0.根据题意,得$S_1=c^2-a^2-b^2+b(a+b-c)=ab+b^2-bc$,$S_2=b(a+b-c)=ab+b^2-bc$,
∴ $S_1=S_2$.
8 如图①所示为用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为$a$和$b$，斜边长为$c$，如图②所示为以$c$为直角边长的等腰直角三角形。请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（不添加其他辅助线）。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的示意图（不要求证明）。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的示意图（不要求证明）。
答案
8. （1）如图①,是直角梯形
（2）
∵ $S_{梯形}=\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)=\dfrac{1}{2}(a+b)^2$,又
∵ $S_{梯形}=2×\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$,
∴ $\dfrac{1}{2}(a+b)^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$,即$a^2+b^2=c^2$
（3）能 答案不唯一,如图②所示
9 如图,在$5×5$的正方形网格中,小正方形的边长都为1,线段$ED$与$AD$的端点都在小正方形的顶点(称为格点)上.
(1) 以线段$AD$为边画正方形$ABCD$,再以线段$DE$为斜边画等腰直角三角形$DEF$,其中,顶点$F$在正方形$ABCD$外;
(2) 在(1)中所画图形的基础上,以$B$为其中一个顶点画一个新正方形,使新正方形的面积为正方形$ABCD$与$△ DEF$的面积之和,且其他顶点也在格点上;
(3) 试证明(2)中你所画的图形是正确的.
(1) 以线段$AD$为边画正方形$ABCD$,再以线段$DE$为斜边画等腰直角三角形$DEF$,其中,顶点$F$在正方形$ABCD$外;
(2) 在(1)中所画图形的基础上,以$B$为其中一个顶点画一个新正方形,使新正方形的面积为正方形$ABCD$与$△ DEF$的面积之和,且其他顶点也在格点上;
(3) 试证明(2)中你所画的图形是正确的.
答案
9. （1）如图,正方形ABCD,△DEF即为所求
（2）如图,正方形BKFG即为所求
（3）
∵ $S_{正方形ABCD}=3×3=9$,$S_{△DEF}=\dfrac{1}{2}×2×1=1$,
∴ $S_{正方形ABCD}+S_{△DEF}=9+1=10$.
∵ $BK^2=BA^2+AK^2=3^2+1^2=10$,
∴ $S_{正方形BKFG}=BK^2=10$,
∴ 所画的图形是正确的
