6. (新考法·新定义题)(2025·苏州工业园区期末)定义:如果一个三位数,它的十位数字等于个位数字与百位数字的和,那么称这个三位数为“和谐数”.如264,因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6,所以264是“和谐数”.在三位数中,最小的“和谐数”是,最大的“和谐数”是.

6. 110 990

7. (新考法·探究题)(2024·成都)在综合实践活动中，数学兴趣小组对1~n这n个自然数，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究。发现：当n=2时，只有{1,2}一种取法，即k=1；当n=3时，有{1,3}和{2,3}两种取法，即k=2；当n=4时，可得k=4；…。若n=6，则k的值为。

7. 9 解析:当n=6时，从1,2,3,4,5,6中，取两个数的和大于6，这两个数可以是{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3},所以k=5+3+1=9.

8. 如图，先观察图形，再回答下列问题：
（1）图中的点被隔开分成4层，第①层有1个点，第②层有3个点，第③层有5个点，则第④层有个点.
（2）如果要你继续画下去，那么第⑤层有个点.
（3）如果某一层有19个点，那么它是第层.
（4）第①层与第②层点的个数之和是，前3层点的个数之和是，前4层点的个数之和是.你发现了什么规律？根据你的推测，前100层点的个数之和是多少？

8. (1)7 (2)9 (3)⑩ (4)4 9 16 规律:前n层点的个数之和是n² 前100层点的个数之和是10 000

9.（2024·北京）联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位:min)如下:
| 节 目 | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 演员人数 | 10 | | 10 | 1 |
| 彩排时长 | 30 | 10 | 20 | 10 |
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素).
(1) 若节目按“A→B→C→D”的先后顺序彩排,则节目D的演员的候场时间为min;
(2) 若使这23位演员的候场时间之和最小,则节目应按的先后顺序彩排.

9. (1) 60 解析:节目D的演员的候场时间为30+10+20=60(min).
(2) C→A→B→D 解析:第一步:因为A和C的演员人数一样,彩排时长不一样,那么时长较长的节目应该往后排,因此C在A前面.因为B和D彩排时长一样,人数不一样,那么人数较少的应该往后排,这样等待的时长之和会少一些,因此B在D前面.第二步:列举出所有符合“C在A前面、B在D前面”的情况,并计算对应的23位演员候场时间之和,列表如下:
| 情 况 | 彩排顺序 | 23位演员候场时间之和/min |
| --- | --- | --- |
| ① | C→A→B→D | 10×20+2×50+1×60=360 |
| ② | C→B→A→D | 2×20+10×30+1×60=400 |
| ③ | C→B→D→A | 2×20+1×30+10×40=470 |
| ④ | B→C→A→D | 10×10+10×30+1×60=460 |
| ⑤ | B→C→D→A | 10×10+1×30+10×40=530 |
| ⑥ | B→D→C→A | 1×10+10×20+10×40=610 |
从而按照C→A→B→D的先后顺序彩排时,这23位演员的候场时间之和最小.