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3.（无锡惠山）学校计划用12米长的栅栏围成一块形状规则的种植区，面向六年级征集“面积最大的方案”。请先填表，逐步完成以下探究，再写自己的发现。
（1）探究：不靠墙的方案对比
|方案|形状|周长/m|长、宽/边长/半径/m|面积/m²|
|----|----|----|----|----|
|①|长方形（长：宽=2：1）|12
|长= 宽=| |
|②|正方形|12|边长=| |
|③|圆(π取3)|12|半径=| |
我发现：周长相同时，围成（
（2）探究：一面靠墙的方案对比
|方案|形状|周长/m|长、宽/边长/半径/m|面积/m²|
|----|----|----|----|----|
|④|长方形(长：宽=2：1)
|12|长= 宽=| |
|⑤|正方形
|12|边长=| |
|⑥|半圆(π取3)
|12|半径=| |
将这3种图形的面积$S_{\mathrm{④}}$、$S_{\mathrm{⑤}}$、$S_{\mathrm{⑥}}$按照从小到大的顺序排列，我发现：
（3）探究：排水管横截面和靠墙围的鸡舍都设计成圆形或半圆形，结合你的发现，解释原因：
（1）探究：不靠墙的方案对比
|方案|形状|周长/m|长、宽/边长/半径/m|面积/m²|
|----|----|----|----|----|
|①|长方形（长：宽=2：1）|12
|长= 宽=| ||②|正方形|12|边长=| |
|③|圆(π取3)|12|半径=| |
我发现：周长相同时，围成（
圆
）时，面积最大。（2）探究：一面靠墙的方案对比
|方案|形状|周长/m|长、宽/边长/半径/m|面积/m²|
|----|----|----|----|----|
|④|长方形(长：宽=2：1)
|12|长= 宽=| ||⑤|正方形
|12|边长=| |
|⑥|半圆(π取3)
|12|半径=| |
将这3种图形的面积$S_{\mathrm{④}}$、$S_{\mathrm{⑤}}$、$S_{\mathrm{⑥}}$按照从小到大的顺序排列，我发现：
16＜18＜24,即$S_{\mathrm{⑤}}$＜$S_{\mathrm{④}}$＜$S_{\mathrm{⑥}}$,半圆的面积最大
。（3）探究：排水管横截面和靠墙围的鸡舍都设计成圆形或半圆形，结合你的发现，解释原因：
排水管横截面和靠墙围的鸡舍都设计成圆形或半圆形,其面积最大,养鸡的数量最多,排水最快(合理即可)
。答案
(1)4 2 8 3 9 2 12 圆
(2)6 3 18 4 16 4 24
16＜18＜24,即$S_{\mathrm{⑤}}$＜$S_{\mathrm{④}}$＜$S_{\mathrm{⑥}}$,半圆的面积最大
(3)排水管横截面和靠墙围的鸡舍都设计成圆形或半圆形,其面积最大,养鸡的数量最多,排水最快(合理即可)
提示:(1)根据长方形周长=(长+宽)×2,长+宽=周长÷2,代入数据,求出长方形的长与宽的和,再根据按比分配,求出长方形的长和宽,再根据长方形面积=长×宽,求出长方形面积。根据正方形周长=边长×4,边长=周长÷4,代入数据,求出正方形边长,再根据正方形面积=边长×边长,据此求出正方形面积。根据圆的周长C=2πr,r=C÷2÷π,代入数据,求出圆的半径,再根据圆的面积S=πr²,据此求出圆的面积,完成表格,再比较它们的面积,进而解答。(2)方案④:根据长与宽的比是2:1,长方形长:宽:宽=2:1:1,先求出把长方形三边和分成的总份数,再用长方形周长÷总份数,求出1份是多少,即可求出长方形的长和宽,进而求出长方形面积。方案⑤:正方形周长是3边和,用正方形周长÷3,求出正方形边长,进而求出正方形面积。方案⑥:靠墙的半圆是圆周长的一半,用弧长×2,求出这个圆的周长,用半径=圆的周长÷2÷π,求出这个圆的半径,再根据圆的面积公式,求出这个圆的面积,再除以2求出靠墙半圆的面积。比较这3种图形的面积,说出发现。(3)根据发现,面积越大养鸡的数量越多,排水越快,所以设计成圆形或半圆形,据此解答。
(2)6 3 18 4 16 4 24
16＜18＜24,即$S_{\mathrm{⑤}}$＜$S_{\mathrm{④}}$＜$S_{\mathrm{⑥}}$,半圆的面积最大
(3)排水管横截面和靠墙围的鸡舍都设计成圆形或半圆形,其面积最大,养鸡的数量最多,排水最快(合理即可)
提示:(1)根据长方形周长=(长+宽)×2,长+宽=周长÷2,代入数据,求出长方形的长与宽的和,再根据按比分配,求出长方形的长和宽,再根据长方形面积=长×宽,求出长方形面积。根据正方形周长=边长×4,边长=周长÷4,代入数据,求出正方形边长,再根据正方形面积=边长×边长,据此求出正方形面积。根据圆的周长C=2πr,r=C÷2÷π,代入数据,求出圆的半径,再根据圆的面积S=πr²,据此求出圆的面积,完成表格,再比较它们的面积,进而解答。(2)方案④:根据长与宽的比是2:1,长方形长:宽:宽=2:1:1,先求出把长方形三边和分成的总份数,再用长方形周长÷总份数,求出1份是多少,即可求出长方形的长和宽,进而求出长方形面积。方案⑤:正方形周长是3边和,用正方形周长÷3,求出正方形边长,进而求出正方形面积。方案⑥:靠墙的半圆是圆周长的一半,用弧长×2,求出这个圆的周长,用半径=圆的周长÷2÷π,求出这个圆的半径,再根据圆的面积公式,求出这个圆的面积,再除以2求出靠墙半圆的面积。比较这3种图形的面积,说出发现。(3)根据发现,面积越大养鸡的数量越多,排水越快,所以设计成圆形或半圆形,据此解答。
4.（北京西城）线段AB的长是12厘米，点P在线段AB上运动。以线段AP，BP为直径分别画圆（如图），然后分别计算两个圆的面积（计算时π取3），再求出它们的面积之和。
（1）将AP=10厘米时的面积之和填入下表。
（2）当点P运动到某一位置时，大圆的面积恰好是小圆的4倍，这时面积之和是（
（3）当AP分别为5.4厘米、6厘米和6.2厘米时，它们对应的面积之和分别用$ S_1,S_2,S_3 $表示。则下面关系正确的是（
A. $ S_1＜S_2＜S_3 $
B. $ S_2＜S_3＜S_1 $
C. $ S_2＜S_1＜S_3 $
D. $ S_3＜S_2＜S_1 $
（1）将AP=10厘米时的面积之和填入下表。
（2）当点P运动到某一位置时，大圆的面积恰好是小圆的4倍，这时面积之和是（
60
）平方厘米。（3）当AP分别为5.4厘米、6厘米和6.2厘米时，它们对应的面积之和分别用$ S_1,S_2,S_3 $表示。则下面关系正确的是（
B
）。A. $ S_1＜S_2＜S_3 $
B. $ S_2＜S_3＜S_1 $
C. $ S_2＜S_1＜S_3 $
D. $ S_3＜S_2＜S_1 $
答案
(1)78
提示:已知AP=10厘米,则BP=12-10=2(厘米)。以AP为直径的圆的半径$r_1$=10÷2=5(厘米),其面积$S_1$=3×5²=75(平方厘米)。以BP为直径的圆的半径$r_2$=2÷2=1(厘米),其面积$S_2$=3×1²=3(平方厘米)。两圆面积之和S=$S_1$+$S_2$=75+3=78(平方厘米)。
(2)60
提示:圆的面积=πr²,根据积的变化规律,2²=4,即当大圆的面积恰好是小圆面积的4倍时,大圆的半径是小圆半径的2倍,大圆的直径也是小圆直径的2倍。两个圆的直径之和是12厘米,根据和倍问题“和÷(倍数+1)=较小数”,用12除以(2+1)即可求出小圆的直径,用小圆的直径乘2求出大圆的直径,进而根据圆的面积公式分别求出它们的面积和面积之和。小圆直径:12÷(2+1)=4(厘米),大圆直径:4×2=8(厘米),面积之和:3×(4÷2)²+3×(8÷2)²=60(平方厘米)。
(3)B
提示:当AP=5.4厘米时,BP=12-5.4=6.6(厘米)。以AP为直径的圆的半径$r_1$=5.4÷2=2.7(厘米),其面积为3×2.7²=21.87(平方厘米)。以BP为直径的圆的半径$r_2$=6.6÷2=3.3(厘米),其面积为3×3.3²=32.67(平方厘米)。两圆面积之和$S_1$=21.87+32.67=54.54(平方厘米)。当AP=6厘米时,BP=12-6=6(厘米)。以AP为直径的圆的半径$r_1$=6÷2=3(厘米),其面积为3×3²=27(平方厘米)。以BP为直径的圆的半径$r_2$=6÷2=3(厘米),其面积为3×3²=27(平方厘米)。两圆面积之和$S_2$=27+27=54(平方厘米)。当AP=6.2厘米时,BP=12-6.2=5.8(厘米)。以AP为直径的圆的半径$r_1$=6.2÷2=3.1(厘米),其面积为3×3.1²=28.83(平方厘米)。以BP为直径的圆的半径$r_2$=5.8÷2=2.9(厘米),其面积为3×2.9²=25.23(平方厘米)。两圆面积之和$S_3$=28.83+25.23=54.06(平方厘米)。因为54＜54.06＜54.54,所以$S_2$＜$S_3$＜$S_1$,所以此题的正确选项是B。
提示:已知AP=10厘米,则BP=12-10=2(厘米)。以AP为直径的圆的半径$r_1$=10÷2=5(厘米),其面积$S_1$=3×5²=75(平方厘米)。以BP为直径的圆的半径$r_2$=2÷2=1(厘米),其面积$S_2$=3×1²=3(平方厘米)。两圆面积之和S=$S_1$+$S_2$=75+3=78(平方厘米)。
(2)60
提示:圆的面积=πr²,根据积的变化规律,2²=4,即当大圆的面积恰好是小圆面积的4倍时,大圆的半径是小圆半径的2倍,大圆的直径也是小圆直径的2倍。两个圆的直径之和是12厘米,根据和倍问题“和÷(倍数+1)=较小数”,用12除以(2+1)即可求出小圆的直径,用小圆的直径乘2求出大圆的直径,进而根据圆的面积公式分别求出它们的面积和面积之和。小圆直径:12÷(2+1)=4(厘米),大圆直径:4×2=8(厘米),面积之和:3×(4÷2)²+3×(8÷2)²=60(平方厘米)。
(3)B
提示:当AP=5.4厘米时,BP=12-5.4=6.6(厘米)。以AP为直径的圆的半径$r_1$=5.4÷2=2.7(厘米),其面积为3×2.7²=21.87(平方厘米)。以BP为直径的圆的半径$r_2$=6.6÷2=3.3(厘米),其面积为3×3.3²=32.67(平方厘米)。两圆面积之和$S_1$=21.87+32.67=54.54(平方厘米)。当AP=6厘米时,BP=12-6=6(厘米)。以AP为直径的圆的半径$r_1$=6÷2=3(厘米),其面积为3×3²=27(平方厘米)。以BP为直径的圆的半径$r_2$=6÷2=3(厘米),其面积为3×3²=27(平方厘米)。两圆面积之和$S_2$=27+27=54(平方厘米)。当AP=6.2厘米时,BP=12-6.2=5.8(厘米)。以AP为直径的圆的半径$r_1$=6.2÷2=3.1(厘米),其面积为3×3.1²=28.83(平方厘米)。以BP为直径的圆的半径$r_2$=5.8÷2=2.9(厘米),其面积为3×2.9²=25.23(平方厘米)。两圆面积之和$S_3$=28.83+25.23=54.06(平方厘米)。因为54＜54.06＜54.54,所以$S_2$＜$S_3$＜$S_1$,所以此题的正确选项是B。
