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7 [2024宿豫三模]在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(2,1)，(0,4)，将线段AB平移得到线段CD。若点A的对应点C的坐标为(-1,-1)，则点D的坐标是 (
A.$(-3,2)$
B.$(-3,-2)$
C.$(-2,3)$
D.$(-2,-3)$
A
)A.$(-3,2)$
B.$(-3,-2)$
C.$(-2,3)$
D.$(-2,-3)$
答案
7.A
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中线段平移的坐标变化，解题思路如下：首先根据平移的性质，平移过程中所有对应点的平移方向和距离完全相同，即对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。因此我们可以先通过已知的点A及其对应点C的坐标，计算出平移时横坐标和纵坐标的变化量，再将这个变化量应用到点B上，即可求出点D的坐标。
【解析】
第一步：计算平移的坐标变化量
已知点A坐标为(2,1)，对应点C坐标为(-1,-1)
横坐标变化量：$\Delta x = -1 - 2 = -3$，即向左平移3个单位
纵坐标变化量：$\Delta y = -1 - 1 = -2$，即向下平移2个单位
第二步：计算点D的坐标
点B坐标为(0,4)，根据平移规律，点B的对应点D的坐标为：
横坐标：$0 + (-3) = -3$
纵坐标：$4 + (-2) = 2$
因此点D的坐标为$(-3,2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 平移的性质
2. 点平移的坐标变化规律
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平移过程中对应点的坐标变化特征，只要掌握“平移前后所有对应点的横、纵坐标变化量分别相等”这一规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中线段平移的坐标变化，解题思路如下：首先根据平移的性质，平移过程中所有对应点的平移方向和距离完全相同，即对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。因此我们可以先通过已知的点A及其对应点C的坐标，计算出平移时横坐标和纵坐标的变化量，再将这个变化量应用到点B上，即可求出点D的坐标。
【解析】
第一步：计算平移的坐标变化量
已知点A坐标为(2,1)，对应点C坐标为(-1,-1)
横坐标变化量：$\Delta x = -1 - 2 = -3$，即向左平移3个单位
纵坐标变化量：$\Delta y = -1 - 1 = -2$，即向下平移2个单位
第二步：计算点D的坐标
点B坐标为(0,4)，根据平移规律，点B的对应点D的坐标为：
横坐标：$0 + (-3) = -3$
纵坐标：$4 + (-2) = 2$
因此点D的坐标为$(-3,2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 平移的性质
2. 点平移的坐标变化规律
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平移过程中对应点的坐标变化特征，只要掌握“平移前后所有对应点的横、纵坐标变化量分别相等”这一规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
8 如图,点A,B的坐标分别是$(-3,1),(-1,-2)$.若将线段AB平移至$A_1B_1$的位置,点$A_1,B_1$的坐标分别是$(m,4)$和$(3,n)$,则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为 (
A.18
B.20
C.28
D.36
A
)A.18
B.20
C.28
D.36
答案
8.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆平移的性质：平移过程中，所有点的横坐标变化量Δx相同，纵坐标变化量Δy也相同。第一步先根据已知点A、B和对应点A₁、B₁的坐标，求出Δx和Δy，确定A₁、B₁的完整坐标；第二步明确线段AB平移扫过的图形是平行四边形ABB₁A₁；第三步用割补法计算这个平行四边形的面积即可得到结果。
【解析】
1. 求平移的坐标变化量：
平移时纵坐标变化量Δy相等，点A纵坐标从1变为4，因此Δy=4-1=3，可得$n=-2+\Delta y=-2+3=1$；
平移时横坐标变化量Δx相等，点B横坐标从-1变为3，因此$\Delta x=3-(-1)=4$，可得$m=-3+\Delta x=-3+4=1$；
即$A_1$坐标为$(1,4)$，$B_1$坐标为$(3,1)$。
2. 计算平移扫过的平行四边形面积：
线段AB平移扫过的图形是平行四边形$ABB_1A_1$，用割补法计算面积：
作包围该平行四边形的矩形，矩形横向范围$x=-3$到$x=3$，纵向范围$y=-2$到$y=4$，矩形面积$=6×6=36$；
减去矩形内四个角落直角三角形的面积：
① 左下角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×3=3$
② 右下角三角形面积：$\frac{1}{2}×4×3=6$
③ 右上角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×3=3$
④ 左上角三角形面积：$\frac{1}{2}×4×3=6$
四个三角形总面积$=3+6+3+6=18$；
因此平行四边形面积$=36-18=18$。
【答案】
A
【知识点】
平移的坐标特征、割补法求面积
【点评】
本题核心是应用平移的性质，解题的关键是先根据对应点坐标的变化规律求出平移的水平和竖直距离，再通过割补法将不规则面积转化为规则图形面积的差求解，需要熟练掌握平移的基本性质和坐标与图形面积的计算方法。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先回忆平移的性质：平移过程中，所有点的横坐标变化量Δx相同，纵坐标变化量Δy也相同。第一步先根据已知点A、B和对应点A₁、B₁的坐标，求出Δx和Δy，确定A₁、B₁的完整坐标；第二步明确线段AB平移扫过的图形是平行四边形ABB₁A₁；第三步用割补法计算这个平行四边形的面积即可得到结果。
【解析】
1. 求平移的坐标变化量：
平移时纵坐标变化量Δy相等，点A纵坐标从1变为4，因此Δy=4-1=3，可得$n=-2+\Delta y=-2+3=1$；
平移时横坐标变化量Δx相等，点B横坐标从-1变为3，因此$\Delta x=3-(-1)=4$，可得$m=-3+\Delta x=-3+4=1$；
即$A_1$坐标为$(1,4)$，$B_1$坐标为$(3,1)$。
2. 计算平移扫过的平行四边形面积：
线段AB平移扫过的图形是平行四边形$ABB_1A_1$，用割补法计算面积：
作包围该平行四边形的矩形，矩形横向范围$x=-3$到$x=3$，纵向范围$y=-2$到$y=4$，矩形面积$=6×6=36$；
减去矩形内四个角落直角三角形的面积：
① 左下角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×3=3$
② 右下角三角形面积：$\frac{1}{2}×4×3=6$
③ 右上角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×3=3$
④ 左上角三角形面积：$\frac{1}{2}×4×3=6$
四个三角形总面积$=3+6+3+6=18$；
因此平行四边形面积$=36-18=18$。
【答案】
A
【知识点】
平移的坐标特征、割补法求面积
【点评】
本题核心是应用平移的性质，解题的关键是先根据对应点坐标的变化规律求出平移的水平和竖直距离，再通过割补法将不规则面积转化为规则图形面积的差求解，需要熟练掌握平移的基本性质和坐标与图形面积的计算方法。
【难度系数】
0.6
9 如图，$△ ABC$中任意一点$P(m,n)$经平移后对应点为$Q(m+4,n+2)$，$△ ABC$经过同样的平移得到$△ DEF$，点$A,B,C$的对应点分别是$D,E,F$.
（1）求点$D,E,F$的坐标；
（2）连接$OD$，请在$x$轴上找一点$G$，使得$△ DOG$的面积为$4$，求满足条件的点$G$的坐标.
（1）求点$D,E,F$的坐标；
（2）连接$OD$，请在$x$轴上找一点$G$，使得$△ DOG$的面积为$4$，求满足条件的点$G$的坐标.
答案
9.(1) 由题意可知，$△ ABC$是向上平移2个单位长度，向右平移4个单位长度得到的$△ DEF$，$\therefore D(1,4)$，$E(5,2)$，$F(-1,0)$
(2) $\because △ DOG$的面积为4，$D(1,4),\therefore \frac{1}{2}OG×4=4,\therefore OG=2,\therefore$ 点$G$的坐标为$(-2,0)$或$(2,0)$
(2) $\because △ DOG$的面积为4，$D(1,4),\therefore \frac{1}{2}OG×4=4,\therefore OG=2,\therefore$ 点$G$的坐标为$(-2,0)$或$(2,0)$
解析
【分析】
（1）首先根据点P平移前后的坐标变化，确定平移规则：横坐标加4，纵坐标加2，即图形向右平移4个单位、向上平移2个单位。再将A、B、C三点的坐标分别按照该平移规则计算，即可得到对应点D、E、F的坐标。
（2）要在x轴上找G点，首先明确x轴上的点纵坐标为0，△DOG以OG为底时，高就是D点到x轴的距离（即D点纵坐标的绝对值）。结合已知的面积，利用三角形面积公式列方程求出OG的长度，再考虑G点可以在原点左侧或右侧，即可得到两个符合条件的坐标。
【解析】
（1）由点$P(m,n)$平移后对应点为$Q(m+4,n+2)$，可知平移规则为：横坐标加4，纵坐标加2，即△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△DEF。
已知$A(-3,2)$，$B(1,0)$，$C(-5,-2)$，按照平移规则计算：
$D$点横坐标：$-3+4=1$，纵坐标：$2+2=4$，即$D(1,4)$；
$E$点横坐标：$1+4=5$，纵坐标：$0+2=2$，即$E(5,2)$；
$F$点横坐标：$-5+4=-1$，纵坐标：$-2+2=0$，即$F(-1,0)$。
（2）设点$G$的坐标为$(x,0)$，则$OG$的长度为$|x|$，点$D(1,4)$到$x$轴的距离为4，即△DOG中OG边上的高为4。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△DOG}=4$，代入得：
$\frac{1}{2}×|x|×4=4$
化简得$2|x|=4$，解得$|x|=2$，即$x=2$或$x=-2$，所以点$G$的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。
【答案】
(1) $D(1,4)$，$E(5,2)$，$F(-1,0)$
(2) 点$G$的坐标为$(-2,0)$或$(2,0)$
【知识点】
坐标平移规律，三角形面积计算，坐标轴上点的特征
【点评】
本题考查平移的坐标变化及坐标系内三角形面积的计算，解题时需准确掌握平移时横、纵坐标的变化规则，求解x轴上的点时要注意分原点左右两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据点P平移前后的坐标变化，确定平移规则：横坐标加4，纵坐标加2，即图形向右平移4个单位、向上平移2个单位。再将A、B、C三点的坐标分别按照该平移规则计算，即可得到对应点D、E、F的坐标。
（2）要在x轴上找G点，首先明确x轴上的点纵坐标为0，△DOG以OG为底时，高就是D点到x轴的距离（即D点纵坐标的绝对值）。结合已知的面积，利用三角形面积公式列方程求出OG的长度，再考虑G点可以在原点左侧或右侧，即可得到两个符合条件的坐标。
【解析】
（1）由点$P(m,n)$平移后对应点为$Q(m+4,n+2)$，可知平移规则为：横坐标加4，纵坐标加2，即△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△DEF。
已知$A(-3,2)$，$B(1,0)$，$C(-5,-2)$，按照平移规则计算：
$D$点横坐标：$-3+4=1$，纵坐标：$2+2=4$，即$D(1,4)$；
$E$点横坐标：$1+4=5$，纵坐标：$0+2=2$，即$E(5,2)$；
$F$点横坐标：$-5+4=-1$，纵坐标：$-2+2=0$，即$F(-1,0)$。
（2）设点$G$的坐标为$(x,0)$，则$OG$的长度为$|x|$，点$D(1,4)$到$x$轴的距离为4，即△DOG中OG边上的高为4。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△DOG}=4$，代入得：
$\frac{1}{2}×|x|×4=4$
化简得$2|x|=4$，解得$|x|=2$，即$x=2$或$x=-2$，所以点$G$的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。
【答案】
(1) $D(1,4)$，$E(5,2)$，$F(-1,0)$
(2) 点$G$的坐标为$(-2,0)$或$(2,0)$
【知识点】
坐标平移规律，三角形面积计算，坐标轴上点的特征
【点评】
本题考查平移的坐标变化及坐标系内三角形面积的计算，解题时需准确掌握平移时横、纵坐标的变化规则，求解x轴上的点时要注意分原点左右两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
10 如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点 O 出发,沿着箭头所指方向,每次移动1个单位长度,依次得到点$P_1(0,1),P_2(1,1),P_3(1,0),P_4(1,-1),P_5(2,-1),P_6(2,0)……$
（1）填写下列各点的坐标$:P_9(\_\_\_\_\_\_),P_{12}(\_\_\_\_\_\_),P_{15}($, _________);（2）写出点$P_{3n}$的坐标(n是正整数);（3）点$P_{60}$的坐标是(_________, _________);（4）指出动点从点$P_{210}$到点$P_{211}$的移动方向.
（1）填写下列各点的坐标$:P_9(\_\_\_\_\_\_),P_{12}(\_\_\_\_\_\_),P_{15}($, _________);（2）写出点$P_{3n}$的坐标(n是正整数);（3）点$P_{60}$的坐标是(_________, _________);（4）指出动点从点$P_{210}$到点$P_{211}$的移动方向.
答案
10.(1)3 0 4 0 5 0
(2) 点$P_{3n}$的坐标为$(n,0)$
(3) 20 0
(4) 向上
(2) 点$P_{3n}$的坐标为$(n,0)$
(3) 20 0
(4) 向上
解析
【分析】
首先观察已知点的坐标特征，重点关注下标为3的正整数倍的点：$P_3(1,0)$、$P_6(2,0)$，可发现这类点都在x轴上，横坐标为下标除以3的商，纵坐标为0。再结合每段移动的方向规律，依次求解各问题：第一问直接代入3的倍数的坐标规律即可；第二问对规律进行总结；第三问将60代入3的倍数的规律求解；第四问先判断210是3的倍数，再根据对应n的奇偶性判断移动方向。
【解析】
（1）观察已知点坐标：$P_3(1,0)$（下标$3=3×1$，横坐标为1），$P_6(2,0)$（下标$6=3×2$，横坐标为2），可得规律：当下标为$3k$（$k$为正整数）时，点的坐标为$(k,0)$。
因此：
$P_9$的下标$9=3×3$，坐标为$(3,0)$；
$P_{12}$的下标$12=3×4$，坐标为$(4,0)$；
$P_{15}$的下标$15=3×5$，坐标为$(5,0)$。
（2）结合（1）的规律，当$n$为正整数时，下标$3n$对应$k=n$，因此点$P_{3n}$的坐标为$(n,0)$。
（3）对$P_{60}$，计算$60÷3=20$，符合$3n$（$n=20$）的形式，因此$P_{60}$的坐标为$(20,0)$。
（4）先计算$210÷3=70$，即$P_{210}$对应$3n$中$n=70$，坐标为$(70,0)$。观察移动规律：当$n$为奇数时，$P_{3n}$下一步向下移动；当$n$为偶数时，$P_{3n}$下一步向上移动。70为偶数，因此动点从$P_{210}$到$P_{211}$的移动方向为向上。
【答案】
(1) 3，0；4，0；5，0
(2) $(n,0)$
(3) 20，0
(4) 向上
【知识点】
坐标规律探究，平移的坐标变化，归纳推理
【点评】
本题是平面直角坐标系中的动点规律题，解题核心是先找到下标为3的倍数的点的坐标共性，再结合方向的奇偶规律求解，能有效锻炼观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65
首先观察已知点的坐标特征，重点关注下标为3的正整数倍的点：$P_3(1,0)$、$P_6(2,0)$，可发现这类点都在x轴上，横坐标为下标除以3的商，纵坐标为0。再结合每段移动的方向规律，依次求解各问题：第一问直接代入3的倍数的坐标规律即可；第二问对规律进行总结；第三问将60代入3的倍数的规律求解；第四问先判断210是3的倍数，再根据对应n的奇偶性判断移动方向。
【解析】
（1）观察已知点坐标：$P_3(1,0)$（下标$3=3×1$，横坐标为1），$P_6(2,0)$（下标$6=3×2$，横坐标为2），可得规律：当下标为$3k$（$k$为正整数）时，点的坐标为$(k,0)$。
因此：
$P_9$的下标$9=3×3$，坐标为$(3,0)$；
$P_{12}$的下标$12=3×4$，坐标为$(4,0)$；
$P_{15}$的下标$15=3×5$，坐标为$(5,0)$。
（2）结合（1）的规律，当$n$为正整数时，下标$3n$对应$k=n$，因此点$P_{3n}$的坐标为$(n,0)$。
（3）对$P_{60}$，计算$60÷3=20$，符合$3n$（$n=20$）的形式，因此$P_{60}$的坐标为$(20,0)$。
（4）先计算$210÷3=70$，即$P_{210}$对应$3n$中$n=70$，坐标为$(70,0)$。观察移动规律：当$n$为奇数时，$P_{3n}$下一步向下移动；当$n$为偶数时，$P_{3n}$下一步向上移动。70为偶数，因此动点从$P_{210}$到$P_{211}$的移动方向为向上。
【答案】
(1) 3，0；4，0；5，0
(2) $(n,0)$
(3) 20，0
(4) 向上
【知识点】
坐标规律探究，平移的坐标变化，归纳推理
【点评】
本题是平面直角坐标系中的动点规律题，解题核心是先找到下标为3的倍数的点的坐标共性，再结合方向的奇偶规律求解，能有效锻炼观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65
