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1.[2026威海期末]如图,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图,杯中水面与CD的交点为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为$27°$时,$∠ AED$的大小为（
A.$27°$
B.$53°$
C.$57°$
D.$63°$
D
）A.$27°$
B.$53°$
C.$57°$
D.$63°$
答案
1.D
2. 新考法 作差法 如图,在矩形ABCD中,AD=4,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则四边形ABCE的面积为
$16\sqrt{2}-8$
.答案
2.$16\sqrt{2}-8$
【点拨】由题意可知,$BC=EF=DE=AD=4,AE=AB. \therefore AE=AB=\sqrt{AD^2+DE^2}=4\sqrt{2}$,
$\therefore S_{四边形ABCE}=S_{矩形ABCD}-S_{△ ADE}=AB· AD-\frac{1}{2}AD· DE=4\sqrt{2}×4-\frac{1}{2}×4×4=16\sqrt{2}-8.$
【点拨】由题意可知,$BC=EF=DE=AD=4,AE=AB. \therefore AE=AB=\sqrt{AD^2+DE^2}=4\sqrt{2}$,
$\therefore S_{四边形ABCE}=S_{矩形ABCD}-S_{△ ADE}=AB· AD-\frac{1}{2}AD· DE=4\sqrt{2}×4-\frac{1}{2}×4×4=16\sqrt{2}-8.$
3.如图,矩形ABCD的两条对角线AC,BD交于点O,若∠DBC=26°,则∠AOB等于（
A.52°
B.64°
C.128°
D.76°
（第3题）
A
）A.52°
B.64°
C.128°
D.76°
（第3题）答案
3.A
4. 情境题生活应用 明明的家乡有一片矩形“油菜花田”，政府决定在矩形油菜花田上建两条如图所示的小路AC，BD，方便游客观赏（不考虑路宽），已知AB=30 m，BC=40 m，那么两条小路的总长为
100 m
.答案
4.100 m
5.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且$∠ CDF=∠ BDC,∠ DCF=∠ ACD$.
(1)求证:$DF=CF$;
(2)若$∠ CDF=60°,DF=8$,求矩形ABCD的面积.
(1)求证:$DF=CF$;
(2)若$∠ CDF=60°,DF=8$,求矩形ABCD的面积.
答案
5.(1)【证明】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore OD=\frac{1}{2}BD,OC=\frac{1}{2}AC,$ 且 $AC=BD. \therefore OD=OC.$
$\therefore ∠ ODC=∠ OCD.$
又$\because ∠ CDF=∠ BDC,∠ DCF=∠ ACD,\therefore ∠ FDC=∠ FCD. \therefore DF=CF.$
(2)【解】$\because ∠ CDF=60°,$
$\therefore ∠ CDO=∠ CDF=∠ DCO=∠ DCF=60°.$
$\therefore △ OCD,△ DCF$ 都是等边三角形.
$\therefore DF=CD=OD=8.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore ∠ BCD=90°,BD=2OD=16.$
$\therefore BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}.$
$\therefore S_{矩形ABCD}=BC· CD=64\sqrt{3}.$
$\therefore OD=\frac{1}{2}BD,OC=\frac{1}{2}AC,$ 且 $AC=BD. \therefore OD=OC.$
$\therefore ∠ ODC=∠ OCD.$
又$\because ∠ CDF=∠ BDC,∠ DCF=∠ ACD,\therefore ∠ FDC=∠ FCD. \therefore DF=CF.$
(2)【解】$\because ∠ CDF=60°,$
$\therefore ∠ CDO=∠ CDF=∠ DCO=∠ DCF=60°.$
$\therefore △ OCD,△ DCF$ 都是等边三角形.
$\therefore DF=CD=OD=8.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore ∠ BCD=90°,BD=2OD=16.$
$\therefore BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}.$
$\therefore S_{矩形ABCD}=BC· CD=64\sqrt{3}.$
6. 如图,一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P,若木棍A端沿墙下滑,且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中,点P到点O的距离（
A.变小
B.不变
C.变大
D.无法判断
B
）A.变小
B.不变
C.变大
D.无法判断
答案
6.B
7.如图,在矩形ABCD中,点E为BA的延长线上一点,F为CE的中点,以点B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=
3
.答案
7.3
【解题支架】
8. 新考法 转化思想 如图,在矩形ABCD中,E是CD边的中点,EF⊥AE交BC于点F,连接AF.若∠CFE=α,则∠BAF的度数为（
A.$45° - \frac{α}{2}$
B.$45° + \frac{α}{2}$
C.$2α - 90°$
D.$90° - 2α$
C
）A.$45° - \frac{α}{2}$
B.$45° + \frac{α}{2}$
C.$2α - 90°$
D.$90° - 2α$
答案
8.C
【点拨】延长AE,交BC的延长线于点G,如图所示。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形, $\therefore ∠ BAD=∠ D=∠ DCB=90°,AD// BC. \therefore ∠ ECG=∠ D=90°. \because E$ 为 $CD$ 边的中点, $\therefore DE=CE.$ 又 $\because ∠ AED=∠ GEC, \therefore △ ADE≌△ GCE. \therefore AE=GE.$ 又 $\because EF⊥ AE, \therefore EF$ 垂直平分线段 $AG. \therefore AF=GF. \therefore ∠ FAE=∠ G. \because AD// BC,\therefore ∠ DAE=∠ G. \therefore ∠ DAE=∠ FAE. \therefore ∠ DAE=\frac{90°-∠ BAF}{2}.$
$\because ∠ DAE+∠ AED=90°,∠ AED+∠ FEC=90°,$
$\therefore ∠ FEC=∠ DAE=\frac{90°-∠ BAF}{2}. \because ∠ FEC+∠ EFC=90°, \therefore ∠ EFC=90°-\frac{90°-∠ BAF}{2}=α. \therefore ∠ BAF=2α-90°.$
