探索神秘的勾股数:满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的三个正整数,称为勾股数.可以验证:若 $a,b,c$ 是一组勾股数,则 $ka,kb,kc$ ( $k$ 为正整数)也是勾股数.以下几种方法都可以产生勾股数:
①设 $n$ 为正整数,且 $n＞1$,令 $a=2n,b=n^2 -1,c=n^2 +1$,则有 $a^2 + b^2 = c^2$;
②设 $n$ 为正整数,令 $a=2n +1,b=2n^2 +2n,c=2n^2 +2n +1$,则有 $a^2 + b^2 = c^2$;
③设 $m,n$ 为正整数,且 $m＞n$,令 $a=m^2 -n^2,b=2mn,c=m^2 +n^2$,则有 $a^2 + b^2 = c^2$;
④设 $m,n,k$ 为正整数,且 $m＞n$,令 $a=k(m^2 -n^2),b=2kmn,c=k(m^2 +n^2)$,则有 $a^2 + b^2 = c^2$.
请通过举例验证熟悉这些勾股数吧!你还有哪些关于产生勾股数的方法?把它写下来.

解：
一、举例验证给出的4种勾股数生成方法
1. 验证方法①：
取$n=2$，得$a=2×2=4$，$b=2^2-1=3$，$c=2^2+1=5$
计算：$a^2+b^2=4^2+3^2=16+9=25$，$c^2=5^2=25$，满足$a^2+b^2=c^2$，(3,4,5)是勾股数。
取$n=4$，得$a=8$，$b=15$，$c=17$，$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，符合要求。
2. 验证方法②：
取$n=3$，得$a=2×3+1=7$，$b=2×3^2+2×3=24$，$c=2×3^2+2×3+1=25$
计算：$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，满足等式，(7,24,25)是勾股数。
3. 验证方法③：
取$m=4$，$n=2$，得$a=4^2-2^2=12$，$b=2×4×2=16$，$c=4^2+2^2=20$
计算：$12^2+16^2=144+256=400=20^2$，满足等式，(12,16,20)是勾股数。
4. 验证方法④：
取$m=3$，$n=2$，$k=3$，得$a=3×(9-4)=15$，$b=2×3×3×2=36$，$c=3×(9+4)=39$
计算：$15^2+36^2=225+1296=1521=39^2$，满足等式，(15,36,39)是勾股数。
二、其他产生勾股数的方法
1. 若两个正整数$b,c$满足$c=b+1$，且$a$是大于1的奇数，令$b=\frac{a^2-1}{2}$，$c=\frac{a^2+1}{2}$，则$(a,b,c)$是勾股数。例如$a=9$时，$b=40$，$c=41$，$9^2+40^2=41^2$，成立。
2. 若两个正整数$b,c$满足$c=b+2$，且$a$是大于4的4的倍数，令$b=\frac{a^2}{4}-1$，$c=\frac{a^2}{4}+1$，则$(a,b,c)$是勾股数。例如$a=12$时，$b=35$，$c=37$，$12^2+35^2=37^2$，成立。
3. 任意一组勾股数的正整数倍仍然是勾股数，例如将(3,4,5)同时乘5，得到(15,20,25)，满足$15^2+20^2=25^2$。