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8 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍多1，将个位上、十位上的数字交换位置，得到一个新两位数。若新两位数比原两位数的2倍少1，则原两位数为
37
。答案
8. 37 【解析】设原两位数的十位上的数字为x,则个位上的数字为2x+1.所以原两位数为10x+2x+1,新两位数为10(2x+1)+x.根据题意,得10(2x+1)+x=2(10x+2x+1)-1.解这个方程,得x=3.所以原两位数为10x+2x+1=37.
解析
【分析】
这是一道数字类一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；接着根据题干给出的个位与十位数字的数量关系，设十位数字为未知数x，用含x的式子表示出个位数字；再分别写出原两位数和交换位置后的新两位数的代数式；最后根据“新两位数比原两位数的2倍少1”这个等量关系列方程，解方程求出十位数字后即可计算出原两位数。
【解析】
设原两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为2x+1。
原两位数可表示为：$10x + (2x+1) = 12x + 1$
交换位置后的新两位数可表示为：$10(2x+1) + x = 21x + 10$
根据题意列方程：
$21x + 10 = 2(12x + 1) - 1$
解方程：
$21x + 10 = 24x + 2 - 1$
$21x + 10 = 24x + 1$
$3x = 9$
$x = 3$
则个位数字为$2×3 + 1 = 7$，原两位数为$10×3 + 7 = 37$。
【答案】
37
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题属于典型的数位类方程应用题，解题核心是正确掌握多位数的数位表示规则，准确从题干中提取等量关系列方程求解，掌握数位表示方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；接着根据题干给出的个位与十位数字的数量关系，设十位数字为未知数x，用含x的式子表示出个位数字；再分别写出原两位数和交换位置后的新两位数的代数式；最后根据“新两位数比原两位数的2倍少1”这个等量关系列方程，解方程求出十位数字后即可计算出原两位数。
【解析】
设原两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为2x+1。
原两位数可表示为：$10x + (2x+1) = 12x + 1$
交换位置后的新两位数可表示为：$10(2x+1) + x = 21x + 10$
根据题意列方程：
$21x + 10 = 2(12x + 1) - 1$
解方程：
$21x + 10 = 24x + 2 - 1$
$21x + 10 = 24x + 1$
$3x = 9$
$x = 3$
则个位数字为$2×3 + 1 = 7$，原两位数为$10×3 + 7 = 37$。
【答案】
37
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题属于典型的数位类方程应用题，解题核心是正确掌握多位数的数位表示规则，准确从题干中提取等量关系列方程求解，掌握数位表示方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
9 学校组织学生乘汽车去神居山保护区研学.行驶的路段分为平路和坡路两段,其中坡路的长度是平路的2倍.已知汽车在平路上行驶的速度为90 km/h,在坡路上行驶的速度为60 km/h,汽车从学校到神居山保护区一共行驶了2 h,求汽车在坡路上行驶的时间.
小明和小芳分别列出了下面两个不完整的方程:
小明: $60x=2×90(\quad)$;小芳: $\frac{y}{90}+\frac{(\quad)}{60}=2$.
(1) 小明所设未知数$x$表示________,小芳所设未知数$y$表示________;
(2) 请你选择其中一种方法求出该汽车在坡路上行驶的时间.
小明和小芳分别列出了下面两个不完整的方程:
小明: $60x=2×90(\quad)$;小芳: $\frac{y}{90}+\frac{(\quad)}{60}=2$.
(1) 小明所设未知数$x$表示________,小芳所设未知数$y$表示________;
(2) 请你选择其中一种方法求出该汽车在坡路上行驶的时间.
答案
9.（1）汽车在坡路上行驶的时间 平路的路程 （2）小明的方法:设汽车在坡路上行驶的时间为x h,则汽车在平路上行驶的时间为(2-x)h.根据题意,得60x=2×90(2-x),解得x=1.5.答:该汽车在坡路上行驶的时间为1.5 h(或小芳的方法:设平路的路程是y km,则坡路的路程是2y km.根据题意,得$\frac{y}{90}+\frac{2y}{60}=2$,解得y=45.所以$\frac{2y}{60}=\frac{2×45}{60}=1.5$.答:该汽车在坡路上行驶的时间为1.5 h)
解析
【分析】
(1) 分析小明的方程：左边$60x$是坡路速度乘未知数$x$，对应坡路路程，题目说明坡路长度是平路的2倍，因此右边是2倍的平路路程，平路速度为90km/h，括号内应填平路行驶时间，总行驶时间为2h，平路时间为$(2-x)$，因此$x$表示汽车在坡路上行驶的时间。分析小芳的方程：左边两个分式分别为平路、坡路的行驶时间，和为总时间2h，第一个分式$\frac{y}{90}$是平路路程除以平路速度，对应平路行驶时间，因此$y$表示平路的路程。
(2) 若选小明的方法，用总时间减去坡路时间得到平路时间，根据坡路路程是平路2倍的等量关系补全方程求解即可；若选小芳的方法，用$2y$表示坡路路程，根据总行驶时间为2h补全方程，先求出平路路程再计算坡路行驶时间即可。
【解析】
(1) 根据上述分析可知，小明所设$x$为汽车在坡路上行驶的时间，小芳所设$y$为平路的路程。
(2) 选择小明的方法求解：
设汽车在坡路上行驶的时间为$x$ h，则平路上行驶的时间为$(2-x)$ h。
根据坡路长度是平路的2倍，列方程：
$60x=2×90(2-x)$
展开得：$60x=360-180x$
移项合并同类项得：$240x=360$
解得：$x=1.5$
（也可选择小芳的方法：
设平路的路程是$y$ km，则坡路的路程是$2y$ km。
根据总行驶时间为2h，列方程：
$\frac{y}{90}+\frac{2y}{60}=2$
两边同乘180去分母得：$2y+6y=360$
解得：$y=45$
坡路行驶时间为$\frac{2×45}{60}=1.5$ h）
【答案】
(1) 汽车在坡路上行驶的时间；平路的路程
(2) 汽车在坡路上行驶的时间为1.5 h
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；列方程解应用题
【点评】
本题结合实际出行场景命题，核心考查行程问题中路程、速度、时间三者的关系，解题关键是找准题目给出的两个等量关系，合理设未知数列方程求解，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 分析小明的方程：左边$60x$是坡路速度乘未知数$x$，对应坡路路程，题目说明坡路长度是平路的2倍，因此右边是2倍的平路路程，平路速度为90km/h，括号内应填平路行驶时间，总行驶时间为2h，平路时间为$(2-x)$，因此$x$表示汽车在坡路上行驶的时间。分析小芳的方程：左边两个分式分别为平路、坡路的行驶时间，和为总时间2h，第一个分式$\frac{y}{90}$是平路路程除以平路速度，对应平路行驶时间，因此$y$表示平路的路程。
(2) 若选小明的方法，用总时间减去坡路时间得到平路时间，根据坡路路程是平路2倍的等量关系补全方程求解即可；若选小芳的方法，用$2y$表示坡路路程，根据总行驶时间为2h补全方程，先求出平路路程再计算坡路行驶时间即可。
【解析】
(1) 根据上述分析可知，小明所设$x$为汽车在坡路上行驶的时间，小芳所设$y$为平路的路程。
(2) 选择小明的方法求解：
设汽车在坡路上行驶的时间为$x$ h，则平路上行驶的时间为$(2-x)$ h。
根据坡路长度是平路的2倍，列方程：
$60x=2×90(2-x)$
展开得：$60x=360-180x$
移项合并同类项得：$240x=360$
解得：$x=1.5$
（也可选择小芳的方法：
设平路的路程是$y$ km，则坡路的路程是$2y$ km。
根据总行驶时间为2h，列方程：
$\frac{y}{90}+\frac{2y}{60}=2$
两边同乘180去分母得：$2y+6y=360$
解得：$y=45$
坡路行驶时间为$\frac{2×45}{60}=1.5$ h）
【答案】
(1) 汽车在坡路上行驶的时间；平路的路程
(2) 汽车在坡路上行驶的时间为1.5 h
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；列方程解应用题
【点评】
本题结合实际出行场景命题，核心考查行程问题中路程、速度、时间三者的关系，解题关键是找准题目给出的两个等量关系，合理设未知数列方程求解，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
10 新情境 科技创新 [2024济南]近年来，光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A，B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元.修建A，B两种光伏车棚每个分别需投资多少万元？
答案
10. 设修建A种光伏车棚每个需投资x万元,则修建B种光伏车棚每个需投资(8-2x)万元.根据题意,得5x+3(8-2x)=21,解得x=3,此时8-2x=2.答:修建A种光伏车棚每个需投资3万元,修建B种光伏车棚每个需投资2万元
解析
【分析】
本题是利用一元一次方程解决实际投资的应用题，解题可按以下思路思考：首先梳理题目中的两个等量关系：①修建2个A种车棚的费用+修建1个B种车棚的费用=8万元；②修建5个A种车棚的费用+修建3个B种车棚的费用=21万元。我们可以先设A种车棚每个投资x万元，借助第一个等量关系用含x的代数式表示出B种车棚的单投资金额，再将两个单价代入第二个等量关系列出方程，解方程即可依次求出A、B两种车棚的单投资金额。
【解析】
设修建A种光伏车棚每个需投资x万元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元”，可得修建B种光伏车棚每个需投资$(8-2x)$万元。
根据“修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”列方程：
$5x+3(8-2x)=21$
展开得：$5x+24-6x=21$
移项合并同类项得：$-x=-3$
解得：$x=3$
将$x=3$代入$8-2x$，得$8-2×3=2$
答：修建A种光伏车棚每个需投资3万元，修建B种光伏车棚每个需投资2万元。
【答案】
修建A种光伏车棚每个需投资3万元，修建B种光伏车棚每个需投资2万元
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 代数式表示未知量
3. 解一元一次方程
【点评】
本题结合光伏建筑一体化的科技创新新情境命题，贴近生活实际，核心考查列一元一次方程解决实际问题的能力，解题的关键是准确提取题目中的等量关系，合理设未知数并正确解方程。
【难度系数】
0.8
本题是利用一元一次方程解决实际投资的应用题，解题可按以下思路思考：首先梳理题目中的两个等量关系：①修建2个A种车棚的费用+修建1个B种车棚的费用=8万元；②修建5个A种车棚的费用+修建3个B种车棚的费用=21万元。我们可以先设A种车棚每个投资x万元，借助第一个等量关系用含x的代数式表示出B种车棚的单投资金额，再将两个单价代入第二个等量关系列出方程，解方程即可依次求出A、B两种车棚的单投资金额。
【解析】
设修建A种光伏车棚每个需投资x万元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元”，可得修建B种光伏车棚每个需投资$(8-2x)$万元。
根据“修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”列方程：
$5x+3(8-2x)=21$
展开得：$5x+24-6x=21$
移项合并同类项得：$-x=-3$
解得：$x=3$
将$x=3$代入$8-2x$，得$8-2×3=2$
答：修建A种光伏车棚每个需投资3万元，修建B种光伏车棚每个需投资2万元。
【答案】
修建A种光伏车棚每个需投资3万元，修建B种光伏车棚每个需投资2万元
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 代数式表示未知量
3. 解一元一次方程
【点评】
本题结合光伏建筑一体化的科技创新新情境命题，贴近生活实际，核心考查列一元一次方程解决实际问题的能力，解题的关键是准确提取题目中的等量关系，合理设未知数并正确解方程。
【难度系数】
0.8
11 [2026 沭阳段考]为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满。已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元。
（1）原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少名？
（2）若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，则应该怎样租车才合算？
（1）原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少名？
（2）若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，则应该怎样租车才合算？
答案
11.（1）设原计划租用x辆45座客车.依题意,得45x+40=70(x-3),解得x=10.所以45x+40=45×10+40=490.答:原计划租用10辆45座客车,该校七年级师生共490名 （2）租用45座客车所需费用为290×(10+1)=3190(元),租用70座客车所需费用为450×(10-3)=3150(元).因为3190＞3150,所以租用7辆70座客车合算
解析
【分析】
（1）第一问的核心是抓住“七年级师生总人数不变”这一等量关系。我们可以设原计划租用45座客车的数量为未知数x，分别用含x的式子表示两种租车方式对应的总人数，列出一元一次方程求解即可得到车辆数，再代入式子算出总人数。
（2）第二问属于方案优化问题，首先要根据总人数分别算出租用两种客车各需要多少辆（注意车辆数必须为正整数，保证所有师生都有座位），再分别计算两种租车方案的总费用，比较费用大小就能得出更合算的方案。
【解析】
（1）设原计划租用$x$辆45座客车。
根据师生总人数不变，列方程得：
$45x + 40 = 70(x - 3)$
去括号得：$45x + 40 = 70x - 210$
移项、合并同类项得：$25x = 250$
解得：$x = 10$
则七年级师生总人数为：$45×10 + 40 = 490$（名）
（2）若租用45座客车，需保证所有师生有座，共需租$10+1=11$辆，总费用为：$290×11 = 3190$（元）
若租用70座客车，刚好坐满需要$10-3=7$辆，总费用为：$450×7 = 3150$（元）
因为$3190＞3150$，所以租用7辆70座客车更合算。
【答案】
（1）原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490名；
（2）租用7辆70座客车合算。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案优化选择，有理数运算
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是第一问抓住总人数不变的等量关系建立方程，第二问要结合实际需求确定租车数量，不能直接套用原计划的车辆数，再通过费用对比得出最优方案，考查了方程建模能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问的核心是抓住“七年级师生总人数不变”这一等量关系。我们可以设原计划租用45座客车的数量为未知数x，分别用含x的式子表示两种租车方式对应的总人数，列出一元一次方程求解即可得到车辆数，再代入式子算出总人数。
（2）第二问属于方案优化问题，首先要根据总人数分别算出租用两种客车各需要多少辆（注意车辆数必须为正整数，保证所有师生都有座位），再分别计算两种租车方案的总费用，比较费用大小就能得出更合算的方案。
【解析】
（1）设原计划租用$x$辆45座客车。
根据师生总人数不变，列方程得：
$45x + 40 = 70(x - 3)$
去括号得：$45x + 40 = 70x - 210$
移项、合并同类项得：$25x = 250$
解得：$x = 10$
则七年级师生总人数为：$45×10 + 40 = 490$（名）
（2）若租用45座客车，需保证所有师生有座，共需租$10+1=11$辆，总费用为：$290×11 = 3190$（元）
若租用70座客车，刚好坐满需要$10-3=7$辆，总费用为：$450×7 = 3150$（元）
因为$3190＞3150$，所以租用7辆70座客车更合算。
【答案】
（1）原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490名；
（2）租用7辆70座客车合算。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案优化选择，有理数运算
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是第一问抓住总人数不变的等量关系建立方程，第二问要结合实际需求确定租车数量，不能直接套用原计划的车辆数，再通过费用对比得出最优方案，考查了方程建模能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
