1. 如图,有一个 400 m 的环形跑道,每条跑道的宽度是 1.22 m,现在要在这个跑道上进行 200 m 赛跑,求第一道运动员和第四道运动员的起跑线应相差多少米？(结果保留一位小数,π 取值 3.14)

设400 m的环形跑道的第一道圆弧所在圆的半径为r m,则第一道运动员和第四道运动员的起跑线相差的距离为[π×(r+3×1.22)-πr]=3×1.22×π≈11.5(m).

设400m环形跑道第一道圆弧所在圆的半径为$r$m。
200m赛跑需经过一个半圆弯道，第四道与第一道的半径差为$3×1.22$m。
起跑线相差距离为：$\pi×(r + 3×1.22)-\pi r = 3×1.22×\pi$
$3×1.22×3.14 = 3.66×3.14\approx11.5$（m）
答：第一道运动员和第四道运动员的起跑线应相差约11.5米。

2. 如图是某校田径运动场的平面图,最中间是长方形,长为 a m,两端为两个半圆,半径为 r m,每条跑道的宽为 1.25 m,共四个跑道. 若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程,请解答下列问题(π 取 3).
(1)第二道比第一道长______ m；
(2)已知 $ a = 55 $,且第一道的总长度为 200 m,
① 求 r 的值；
② 如果所有跑道及两端的半圆铺设混合型塑胶,混合型塑胶跑道造价为 200 元/ $ \mathrm{m}^2 $,则学校需付多少铺设费用？

(1)第二道比第一道长m；
(2)已知 $ a = 55 $,且第一道的总长度为 200 m,
① 求 r 的值；
② 如果所有跑道及两端的半圆铺设混合型塑胶,混合型塑胶跑道造价为 200 元/ $ \mathrm{m}^2 $,则学校需付多少铺设费用？

(1) 由题知,第一道的长度为2a+2πr=(2a+6r)m;第二道的长度为2a+2π(r+1.25)=(2a+6r+$\frac{15}{2}$)m;则2a+6r+$\frac{15}{2}$-(2a+6r)=$\frac{15}{2}$(m),即第二道比第一道长$\frac{15}{2}$m.
(2) ① 由题知,2a+6r=200,将a=55代入2a+6r=200,得2×55+6r=200,解得r=15. ② 由题知,需要铺设混合型塑胶部分的面积为55×8×1.25+π×(15+4×1.25)$^2$=550+1 200=1 750(m$^2$),所以1 750×200=350 000(元),故学校需付350 000元铺设费用.

3. 如图是某学校的运动场平面图,中心区域(阴影部分)由一个长方形和两个半圆组成,其中长方形的长为 a m,半圆的半径为 r m,每条跑道的宽为 1.2 m,若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程. 求解下面问题(结果保留 π).
(1)用含 a,r 的代数式表示运动场中心区域的周长；
(2)如果以第一跑道长度为赛程,求第二跑道运动员的起跑位置应比第一跑道运动员起跑位置前移多少米？
(3)小华在 400 m 的跑道上跑了一圈,如果他前三分之一时间内的平均速度为 6 m/s,后三分之二时间内的平均速度为 4.5 m/s,那么他这次 400 m 跑了多长时间？(要求列方程求解)

(1)
∵中心区域的中间是一个长方形,长为a m,
∴长方形两边长为2a m,
∵中心区域的两端是一个半圆,半径为r m,
∴两个半圆的周长为2πr m,
∴运动场中心区域的周长为(2a+2πr)m.
(2) 由题意,得第二跑道长度为2a+2π(r+1.2)=2a+2πr+2.4π(m).
∴(2a+2πr+2.4π)-(2a+2πr)=2a+2πr+2.4π-2a-2πr=2.4π m.
(3) 设小华这次400 m跑了t s.$\frac{1}{3}$t×6+$\frac{2}{3}$t×4.5=400,
∴t=80 s.